簡述優(yōu)化電磁線圈電流的3種方法

如果您想要設(shè)計(jì)電磁線圈， COMSOL Multiphysics? 軟件的 AC/DC 模塊與優(yōu)化模塊可以幫助您快速實(shí)現(xiàn)并進(jìn)行迭代改進(jìn)。今天，我們將研究如何進(jìn)行線圈系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)，并通過改變線圈的驅(qū)動(dòng)電流來實(shí)現(xiàn)所需的磁場分布。還將介紹三種不同的優(yōu)化目標(biāo)和約束。如果您對線圈建?；騼?yōu)化感興趣，這篇文章將滿足您的好奇心！

磁場模型與優(yōu)化問題陳述

我們今天要研究的問題是十匝軸對稱線圈結(jié)構(gòu)的優(yōu)化，如下圖所示。xy 平面兩側(cè)的五匝線圈中的每一匝都是對稱但獨(dú)立驅(qū)動(dòng)的。

帶有五個(gè)獨(dú)立驅(qū)動(dòng)線圈對的十匝線圈。目標(biāo)是改變中心線處的磁場（綠色突出顯示）。

線圈旋轉(zhuǎn)軸對稱，且關(guān)于 z=0 平面對稱，因此我們可以將計(jì)算模型簡化為二維軸對稱模型，如下圖所示。建模域被無限元域 截?cái)?。我們使用理想磁?dǎo)體邊界條件來模擬關(guān)于 z = 0 平面的對稱性。因此，我們的模型簡化為四分之一圓域，有五個(gè)獨(dú)立的線圈，這些線圈使用線圈域 特征建模。

計(jì)算模型示意圖。

如果所有線圈都以相同的 10A 電流驅(qū)動(dòng)，我們可以繪制沿中心線的磁通密度的 z 分量，如下圖所示。我們想要通過優(yōu)化來改變沿一部分中心線的場分布。

沿線圈中心線的磁場分布。我們希望在優(yōu)化區(qū)域內(nèi)磁場。

從上圖可以看出，由于每個(gè)線圈的電流為 10A，我們可以看到沿著一部分中心線存在磁場。我們希望通過調(diào)整線圈電流來改變磁場分布。我們的控制變量是五個(gè)獨(dú)立的線圈電流：。這些控制變量有界限：。也就是說，電流不能太大，否則線圈會過熱。

我們將研究三種不同的優(yōu)化問題：

1. 使中心線處的磁場盡可能接近期望的目標(biāo)值
2. 最小化驅(qū)動(dòng)線圈所需的功率，以及在幾個(gè)點(diǎn)上對場最小值的約束
3. 最小化沿中心線的磁場梯度，以及在某一點(diǎn)上對場的約束

針對特定場值進(jìn)行優(yōu)化

我們用更數(shù)學(xué)化的語言描述這些優(yōu)化問題。第一個(gè)優(yōu)化問題可以寫成：

這里的目標(biāo)是最小化計(jì)算得到的 Bz 與目標(biāo)值之間的差異，其中目標(biāo)值 B0 = 250μT，將 Bz 沿線圈中心線從 z = 0 到 z = L0進(jìn)行積分。注意，該目標(biāo)是相對于 L0 和 B0 歸一化的。這樣做是為了使這個(gè)目標(biāo)函數(shù)的大小約為 1。對于任何優(yōu)化問題，都應(yīng)該對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行縮放。

現(xiàn)在，我們看看這個(gè)問題在 COMSOL Multiphysics 中的實(shí)現(xiàn)過程。我們首先在模型中添加一個(gè)優(yōu)化 接口，該接口包含兩個(gè)特征。第一個(gè)特征是全局控制變量，如下面的屏幕截圖所示。我們可以看到設(shè)置了五個(gè)控制變量：I1,...,I5。這些變量用于通過磁場接口的五個(gè)線圈特征指定電流。

這些變量的初始值、上界和下界也由兩個(gè)全局參數(shù) I_init 和 I_max 指定。另請注意，比例因子 設(shè)置為控制變量的幅值也接近 1。在所有三個(gè)示例中，我們將對控制變量使用相同的設(shè)置。

設(shè)置全局控制變量特征，該特征指定線圈電流。

接下來，通過邊界上的積分目標(biāo) 特征定義目標(biāo)函數(shù)，如下面的屏幕截圖所示。請注意，沒有勾選乘以 2πr 。

設(shè)置目標(biāo)函數(shù)確保沿一個(gè)邊界滿足所需的場。

我們在研究中包含優(yōu)化 步驟，如下面的屏幕截圖所示。由于可以得到目標(biāo)函數(shù)關(guān)于控制變量的解析梯度，因此我們可以使用 SNOPT 求解器。該求解器利用解析梯度，在幾秒鐘內(nèi)求解優(yōu)化問題。所有其他求解器設(shè)置都可以保留為默認(rèn)設(shè)置。

優(yōu)化研究步驟。

求解后，我們可以繪制場和結(jié)果。下圖顯示 Bz 場與目標(biāo)值非常接近。

沿中心線優(yōu)化磁通量目標(biāo)值的結(jié)果。

通過場約束最小化功率

我們的第二個(gè)優(yōu)化問題是最小化驅(qū)動(dòng)線圈所需的總功率，并約束中心線上若干點(diǎn)上對場的最小值。這可以表示為：

其中 Po 是所有線圈中消耗的初始總功率，是第 k 個(gè)線圈中消耗的功率。

我們還希望將中心線上 M 個(gè)點(diǎn)處的場限制在 B0 值以上。

此問題的實(shí)現(xiàn)使用了與以前相同的“全局控制變量”特征。最小化線圈總功率的目標(biāo)是通過全局目標(biāo) 特征實(shí)現(xiàn)的，如下面的屏幕截圖所示。每個(gè)線圈特征中功率的內(nèi)置變量（mf.PCoil_1,...,mf.PCoil5）可以直接使用。目標(biāo)相對于初始總功率進(jìn)行歸一化，使其接近統(tǒng)一。

實(shí)現(xiàn)將總功率降至最低的目標(biāo)。

對場最小值的約束必須在模型中的一組離散點(diǎn)上實(shí)現(xiàn)。本例中，我們引入了優(yōu)化區(qū)域上均勻分布的五個(gè)點(diǎn)。必須使用單獨(dú)的點(diǎn)總和不等式約束 特征引入每一個(gè)約束，如下所示。我們再次應(yīng)用歸一化，使得此約束的大小為 1。請注意，不勾選乘以 2πr 選項(xiàng)，原因是這些點(diǎn)位于中心線上。

在某一點(diǎn)上實(shí)現(xiàn)對場最小值的約束。

我們可以使用與以前相同的方法解決這個(gè)問題，結(jié)果如下圖所示。值得注意的是，最小功率解下目標(biāo)區(qū)域上常分布為非均勻的。

通過對場最小值的約束來優(yōu)化最小功耗的結(jié)果。

通過場約束最小化梯度

最后，我們考慮最小化沿著優(yōu)化區(qū)域的場梯度，在中心點(diǎn)對場進(jìn)行約束。這可以表示為：

這里的約束線圈中心點(diǎn)處的場。盡管優(yōu)化 接口確實(shí)有明確的等式約束，但我們可以使用具有相等上界和下界的不等式約束來實(shí)現(xiàn)相同的結(jié)果。我們再次應(yīng)用歸一化，這樣我們的約束實(shí)際上為，如下圖所示。

實(shí)現(xiàn)等式約束。

最小化目標(biāo)區(qū)域內(nèi)場梯度的目標(biāo)是通過“積分目標(biāo)”特征實(shí)現(xiàn)的（如下所示）。Bz 場相對于 z 方向的梯度是用導(dǎo)數(shù)算子 d(mf.Bz,z) 計(jì)算的。

最小化場梯度的目標(biāo)。

我們可以使用與以前相同的求解器設(shè)置。本例的結(jié)果如下所示。優(yōu)化區(qū)域內(nèi)的場非常均勻，并且與中心點(diǎn)的目標(biāo)相匹配。

對某一點(diǎn)的場有約束的最小場梯度進(jìn)行優(yōu)化的結(jié)果。

雖然這里的場看起來與第一種情況幾乎相同，但線圈電流的解卻截然不同，這就引出了一個(gè)有趣的問題。線圈電流有多種組合，可以在最小化場差或梯度方面給出幾乎相同的解。另一種說法是，目標(biāo)函數(shù)有多個(gè)局部最小點(diǎn)。

SNOPT 優(yōu)化求解器使用一種基于梯度的方法，并針對線圈電流的不同初始條件接近不同的局部最小值。雖然基于梯度的求解器會收斂到局部最小值，但不能保證這實(shí)際上是全局最小值。一般來說（除非我們對設(shè)計(jì)空間進(jìn)行徹底的搜索），永遠(yuǎn)不可能保證優(yōu)化的解是全局最小值。

此外，如果我們要增加這個(gè)問題中的線圈數(shù)量，我們可以得出線圈電流的多種組合幾乎等同于最優(yōu)的情況。也就是說，設(shè)計(jì)空間（線圈電流的組合）中沒有單個(gè)最佳點(diǎn)，而是幾乎相等的“最佳線”或“最佳表面”。優(yōu)化求解器不提供直接反饋，但在這種情況下往往會收斂得更慢。

結(jié)束語

本文我們介紹了三種不同的方法來優(yōu)化流經(jīng)不同匝線圈的電流。在這三種方法中，我們引入了不同類型的目標(biāo)函數(shù)和約束，它們也可以適用于其他各種情況。根據(jù)線圈設(shè)計(jì)問題的整體目標(biāo)和目的，您可以使用其中任何一個(gè)，甚至是完全不同的目標(biāo)函數(shù)和約束集。這些示例表明了 COMSOL 優(yōu)化模塊與 AC/DC 模塊結(jié)合使用的強(qiáng)大功能和靈活性。