我印象中的快速傅里葉變換 (FFT)

首先，F(xiàn)FT是離散傅立葉變換 (DFT) 的快速算法，那么說到FFT，我們自然要先講清楚傅立葉變換。先來看看傅立葉變換是從哪里來的？

傅立葉是一位法國數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家的名字，英語原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830)，F(xiàn)ourier對(duì)熱傳遞很感興趣，于1807年在法國科學(xué)學(xué)會(huì)上發(fā)表了一篇論文，運(yùn)用正弦曲線來描述溫度分布，論文里有個(gè)在當(dāng)時(shí)頗具爭議性的命題：任何連續(xù)周期信號(hào)可以由一組適當(dāng)?shù)恼仪€組合而成。當(dāng)時(shí)審查這個(gè)論文的人，其中有兩位是歷史上著名的數(shù)學(xué)家拉格朗日 (Joseph Louis Lagrange, 1736-1813) 和拉普拉斯 (Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，當(dāng)拉普拉斯和其他審查者投票通過并要發(fā)表這個(gè)論文時(shí)，拉格朗日?qǐng)?jiān)決反對(duì)，在近50年的時(shí)間里，拉格朗日?qǐng)?jiān)持認(rèn)為傅立葉的方法無法表示帶有棱角的信號(hào)，如在方波中出現(xiàn)非連續(xù)變化斜率。法國科學(xué)學(xué)會(huì)屈服于拉格朗日的權(quán)威，拒絕了傅立葉的工作。幸運(yùn)的是，傅立葉還有其它事情可忙，他參加了政治運(yùn)動(dòng)，隨拿破侖遠(yuǎn)征埃及，法國大革命后因?yàn)榕卤煌粕蠑囝^臺(tái)而一直在逃難，直到拉格朗日死后15年這個(gè)論文才被發(fā)表出來。

誰是對(duì)的呢？拉格朗日是對(duì)的：正弦曲線無法組合成一個(gè)帶有棱角的信號(hào)。但是，我們可以用正弦曲線來非常逼近地表示它，逼近到兩種表示方法不存在能量差別，基于此，傅立葉是對(duì)的。

二、傅里葉變換的意義

為什么我們要用正弦曲線來代替原來的曲線呢？如果我們也還可以用方波或三角波來代替，分解信號(hào)的方法是無窮的，但分解信號(hào)的目的是為了更加簡單地處理原來的信號(hào)。用正余弦來表示原信號(hào)會(huì)更加簡單，因?yàn)檎嘞覔碛衅渌盘?hào)所不具備的性質(zhì)：正弦曲線保真度。一個(gè)正弦曲線信號(hào)輸入后，輸出的仍是正弦曲線，只有幅度和相位可能發(fā)生變化，但是頻率和波的形狀仍是一樣的，且只有正弦曲線才擁有這樣的性質(zhì)，正因如此我們才不用方波或三角波來表示。

傅立葉變換的物理意義在哪里呢？

傅立葉原理表明：任何連續(xù)測量的時(shí)序或信號(hào)，都可以表示為不同頻率的正弦波信號(hào)的無限疊加。而根據(jù)該原理創(chuàng)立的傅立葉變換算法利用直接測量到的原始信號(hào)，以累加方式來計(jì)算該信號(hào)中不同正弦波信號(hào)的頻率、振幅和相位。當(dāng)然，這是從數(shù)學(xué)的角度去看傅立葉變換。

那么從物理的角度去看待傅立葉變換，它其實(shí)是幫助我們改變從傳統(tǒng)的時(shí)間域分析信號(hào)的方法轉(zhuǎn)到從頻率域分析問題的思維，下面的一幅立體圖形可以幫助我們更好得理解這種角度的轉(zhuǎn)換：

所以，最前面的時(shí)域信號(hào)在經(jīng)過傅立葉變換的分解之后，變?yōu)榱瞬煌也ㄐ盘?hào)的疊加，我們再去分析這些正弦波的頻率，可以將一個(gè)信號(hào)變換到頻域。有些信號(hào)在時(shí)域上是很難看出什么特征的，但是如果變換到頻域之后，就很容易看出特征了。這就是很多信號(hào)分析采用FFT變換的原因。另外，F(xiàn)FT可以將一個(gè)信號(hào)的頻譜提取出來，這在頻譜分析方面也是經(jīng)常用的。

傅立葉變換提供給我們這種換一個(gè)角度看問題的工具，看問題的角度不同了，問題也許就迎刃而解！

三、FFT是怎樣完成的

首先，按照被變換的輸入信號(hào)類型不同，傅立葉變換可以分為 4種類型：

• 非周期性連續(xù)信號(hào)傅立葉變換 (Fourier Transform)
• 周期性連續(xù)信號(hào)傅立葉級(jí)數(shù) (Fourier Series)
• 非周期性離散信號(hào)離散時(shí)域傅立葉變換 (Discrete Time Fourier Transform)
• 周期性離散信號(hào)離散傅立葉變換 (Discrete Fourier Transform)

下面是四種原信號(hào)圖例：

這里我們要討的論是離散信號(hào)，對(duì)于連續(xù)信號(hào)我們不作討論，因?yàn)橛?jì)算機(jī)只能處理離散的數(shù)值信號(hào)，我們的最終目的是運(yùn)用計(jì)算機(jī)來處理信號(hào)的。所以對(duì)于離散信號(hào)的變換只有離散傅立葉變換 (DFT) 才能被適用，對(duì)于計(jì)算機(jī)來說只有離散的和有限長度的數(shù)據(jù)才能被處理，對(duì)于其它的變換類型只有在數(shù)學(xué)演算中才能用到，在計(jì)算機(jī)面前我們只能用DFT方法，我們要討論的FFT也只不過是DFT的一種快速的算法。

DFT的運(yùn)算過程是這樣的：

可見，在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行的DFT，使用的輸入值是數(shù)字示波器經(jīng)過ADC后采集到的采樣值，也就是時(shí)域的信號(hào)值，輸入采樣點(diǎn)的數(shù)量決定了轉(zhuǎn)換的計(jì)算規(guī)模。變換后的頻譜輸出包含同樣數(shù)量的采樣點(diǎn)，但是其中有一半的值是冗余的，通常不會(huì)顯示在頻譜中，所以真正有用的信息是N/2+1個(gè)點(diǎn)。

FFT的過程大大簡化了在計(jì)算機(jī)中進(jìn)行DFT的過程。簡單來說，如果原來計(jì)算DFT的復(fù)雜度是NN 次運(yùn)算（N 代表輸入采樣點(diǎn)的數(shù)量），進(jìn)行FFT的運(yùn)算復(fù)雜度是Nlg10( N )，因此，計(jì)算一個(gè)1000采樣點(diǎn)的DFT，使用FFT算法只需要計(jì)算3000次，而常規(guī)的DFT算法需要計(jì)算1000000次！

典型的時(shí)域2分裂算法圖示如下：

四、變換前后信號(hào)的對(duì)應(yīng)關(guān)系

以一個(gè)實(shí)際的信號(hào)為例來說明：

示波器采樣得到的數(shù)字信號(hào)，就可以做FFT變換了。N個(gè)采樣點(diǎn)，經(jīng)過FFT之后，就可以得到N個(gè)點(diǎn)的FFT結(jié)果。為了方便進(jìn)行FFT運(yùn)算，通常N取2的整數(shù)次方。

假設(shè)采樣頻率為Fs，信號(hào)頻率F，采樣點(diǎn)數(shù)為N。那么，F(xiàn)FT之后結(jié)果就是一個(gè)為N點(diǎn)的復(fù)數(shù)。每一個(gè)點(diǎn)就對(duì)應(yīng)著一個(gè)頻率點(diǎn)。這個(gè)點(diǎn)的模值，就是該頻率值下的幅度特性。

具體跟原始信號(hào)的幅度有什么關(guān)系呢？

假設(shè)原始信號(hào)的峰值為A，那么FFT的結(jié)果的每個(gè)點(diǎn)（除了第一個(gè)點(diǎn)直流分量之外）的模值就是A的N/2倍。而第一個(gè)點(diǎn)就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。而每個(gè)點(diǎn)的相位呢，就是在該頻率下的信號(hào)的相位。第一個(gè)點(diǎn)表示直流分量（即0Hz），而最后一個(gè)點(diǎn)N的再下一個(gè)點(diǎn)（實(shí)際上這個(gè)點(diǎn)是不存在的，這里是假設(shè)的第N+1個(gè)點(diǎn)，也可以看做是將第一個(gè)點(diǎn)分做兩半分，另一半移到最后）則表示采樣頻率Fs，這中間被N-1個(gè)點(diǎn)平均分成N等份，每個(gè)點(diǎn)的頻率依次增加。例如某點(diǎn)n所表示的頻率為：Fn=(n-1)*Fs/N。由上面的公式可以看出，F(xiàn)n所能分辨到頻率為為Fs/N，如果采樣頻率Fs為1024Hz，采樣點(diǎn)數(shù)為1024點(diǎn)，則可以分辨到1Hz。1024Hz的采樣率采樣1024點(diǎn)，剛好是1秒，也就是說，采樣1秒時(shí)間的信號(hào)并做FFT，則結(jié)果可以分析精確到1Hz，如果采樣2秒時(shí)間的信號(hào)并做FFT，則結(jié)果可以分析精確到0.5Hz。如果要提高頻率分辨率，則必須增加采樣點(diǎn)數(shù)，也即采樣時(shí)間。頻率分辨率和采樣時(shí)間是倒數(shù)關(guān)系。

下面這幅圖更能夠清晰地表示這種對(duì)應(yīng)關(guān)系：

變換之后頻譜的寬度 (Frequency Span) 與原始信號(hào)也存在一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系。根據(jù)Nyquist采樣定理，F(xiàn)FT之后的頻譜寬度 (Frequency Span) 最大只能是原始信號(hào)采樣率的1/2，如果原始信號(hào)采樣率是4GS/s，那么，F(xiàn)FT之后的頻寬最多只能是2GHz。時(shí)域信號(hào)采樣周期 (Sample Period) 的倒數(shù)，即采樣率 (Sample Rate) 乘上一個(gè)固定的系數(shù)即是變換之后頻譜的寬度，即Frequency Span=K*(1/ΔT)，其中，ΔT為采樣周期，K值取決于我們在進(jìn)行FFT之前是否對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行降采樣（抽點(diǎn)），因?yàn)檫@樣可以降低FFT的運(yùn)算量。如下圖所示：

可見，更高的頻譜分辨率要求有更長的采樣時(shí)間，更寬的頻譜分布需要提高對(duì)于原始信號(hào)的采樣率。當(dāng)然，我們希望頻譜更寬，分辨率更精確，那么示波器的長存儲(chǔ)就是必要的！它能提供在高采樣率下采集更長時(shí)間信號(hào)的能力！

五、幾種典型周期函數(shù)的頻譜圖

頻譜泄露：

所謂頻譜泄露，就是信號(hào)頻譜中各譜線之間相互干擾，使測量的結(jié)果偏離實(shí)際值，同時(shí)在真實(shí)譜線的兩側(cè)的其它頻率點(diǎn)上出現(xiàn)一些幅值較小的假譜。產(chǎn)生頻譜泄露的主要原因是采樣頻率和原始信號(hào)頻率不同步，造成周期的采樣信號(hào)相位在始端和終端不連續(xù)。簡單來說就是因?yàn)橛?jì)算機(jī)的FFT運(yùn)算能力有限，只能處理有限點(diǎn)數(shù)的FFT，所以在截取時(shí)域的周期信號(hào)時(shí)，沒有能夠截取整數(shù)倍的周期。信號(hào)分析時(shí)不可能取無限大的樣本。只要有截?cái)嗖煌骄蜁?huì)有泄露，如下圖所示：

上圖的信號(hào)頻率為2.1MHz，采集時(shí)間內(nèi)沒有截取整數(shù)倍周期的信號(hào)，F(xiàn)FT運(yùn)算之后譜線的泄露現(xiàn)象嚴(yán)重，可以看到能量較低的譜線很容易被臨近的能量較高的譜線的泄露給淹沒住。

因此，避免頻譜泄露的方法除了盡量使采集速率與信號(hào)頻率同步之外，還可以采用適當(dāng)?shù)拇昂瘮?shù)。

不同的窗函數(shù)對(duì)頻譜譜線的影響不同，基本形狀可以參看下圖：

可以看到，不同的窗函數(shù)的主瓣寬度和旁瓣的衰減速度都不一樣，所以對(duì)于不同信號(hào)的頻譜應(yīng)該使用適當(dāng)?shù)拇昂瘮?shù)進(jìn)行處理。

• 矩形窗(Rectangular)： 加矩形窗等于不加窗，因?yàn)樵诮厝r(shí)域信號(hào)時(shí)本身就是采用矩形截取，所以矩形窗適用于瞬態(tài)變化的信號(hào)，只要采集的時(shí)間足夠長，信號(hào)寬度基本可以覆蓋整個(gè)有效的瞬態(tài)部分。
• 漢寧窗(Von Hann)： 如果測試信號(hào)有多個(gè)頻率分量，頻譜表現(xiàn)的十分復(fù)雜，且測試的目的更多關(guān)注頻率點(diǎn)而非能量的大小。在這種情況下，需要選擇一個(gè)主瓣夠窄的窗函數(shù)，漢寧窗是一個(gè)很好的選擇。
• flattop窗： 如果測試的目的更多的關(guān)注某周期信號(hào)頻率點(diǎn)的能量值，比如，更關(guān)心其EUpeak,EUpeak-peak,EUrms，那么，其幅度的準(zhǔn)確性則更加的重要，可以選擇一個(gè)主瓣稍寬的窗，flattop窗在這樣的情況下經(jīng)常被使用。

六、總 結(jié)

FFT是離散傅立葉變換的快速算法，可以將一個(gè)信號(hào)變換到頻域。有些信號(hào)在時(shí)域上是很難看出什么特征的，但是如果變換到頻域之后，就很容易看出特征了。這就是很多信號(hào)分析采用FFT變換的原因。另外，F(xiàn)FT可以將一個(gè)信號(hào)的頻譜提取出來，這在頻譜分析方面也是經(jīng)常用的。

雖然很多人都知道FFT是什么，可以用來做什么，怎么去做，但是卻不知道FFT之后的結(jié)果是什意思、如何決定要使用多少點(diǎn)來做FFT。

現(xiàn)在我就根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)來說說FFT結(jié)果的具體物理意義。一個(gè)模擬信號(hào)，經(jīng)過ADC采樣之后，就變成了數(shù)字信號(hào)。采樣定理告訴我們，采樣頻率要大于信號(hào)最高頻率的兩倍，這些我就不在此啰嗦了。

采樣得到的數(shù)字信號(hào)，就可以做FFT變換了。N個(gè)采樣點(diǎn)，經(jīng)過FFT之后，就可以得到N個(gè)點(diǎn)的FFT結(jié)果。為了方便進(jìn)行FFT運(yùn)算，通常N取2的整數(shù)次方（參見FFT原理）。FFT運(yùn)算量：Nlog2N（2為對(duì)數(shù)的底）

假設(shè)采樣頻率為Fs，信號(hào)頻率F，采樣點(diǎn)數(shù)為N。那么FFT之后結(jié)果就是一個(gè)為N點(diǎn)的復(fù)數(shù)。每一個(gè)點(diǎn)就對(duì)應(yīng)著一個(gè)頻率點(diǎn)。這個(gè)點(diǎn)的模值，就是該頻率值下的幅度特性。具體跟原始信號(hào)的幅度有什么關(guān)系呢？假設(shè)原始信號(hào)的峰值為A，那么FFT的結(jié)果的每個(gè)點(diǎn)（除了第一個(gè)點(diǎn)直流分量之外）的模值就是A的N/2倍。而第一個(gè)點(diǎn)就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。而每個(gè)點(diǎn)的相位呢，就是在該頻率下的信號(hào)的相位。第一個(gè)點(diǎn)表示直流分量（即0Hz），而最后一個(gè)點(diǎn)N的再下一個(gè)點(diǎn)（實(shí)際上這個(gè)點(diǎn)是不存在的，這里是假設(shè)的第N+1個(gè)點(diǎn)，也可以看做是將第一個(gè)點(diǎn)分做兩半，另一半移到最后）則表示采樣頻率Fs，這中間被N-1個(gè)點(diǎn)平均分成N等份，每個(gè)點(diǎn)的頻率依次增加。例如某點(diǎn)n所表示的頻率為：Fn=(n-1)*Fs/N。由上面的公式可以看出，F(xiàn)n所能分辨到頻率F0=Fs/N。假設(shè)頻率分辨率F0=Fs/N限定，采樣頻率Fs也給定，也已知信號(hào)最高頻率Fh，那么由采樣定理：Fs≥2Fh得到：N=Fs/F0≥2Fh/F0，即采樣點(diǎn)必須滿足這樣一個(gè)關(guān)系式。

如果采樣頻率Fs為1024Hz，采樣點(diǎn)數(shù)為1024點(diǎn)，則可以分辨到1Hz。1024Hz的采樣率采樣1024點(diǎn)，剛好是1秒。也就是說，采樣1秒時(shí)間的信號(hào)并做FFT，則結(jié)果可以分析到1Hz；如果采樣2秒時(shí)間的信號(hào)并做FFT，相應(yīng)的采樣點(diǎn)也為原來2倍，則結(jié)果可以分析到0.5Hz。如果要提高頻率分辨力，則必須增加采樣點(diǎn)數(shù)，即延長采樣時(shí)間，所以頻率分辨率和采樣時(shí)間是倒數(shù)關(guān)系。就是說，要想分辨出頻率間隔越小的頻率（頻率分辨率越高），采樣時(shí)間越長越好。