從經(jīng)典電容到量子電容

大家都知道，電容器是一種能夠儲(chǔ)存電荷的器件，它由兩個(gè)相對(duì)的導(dǎo)體極板和中間的絕緣介質(zhì)組成。當(dāng)我們給電容器接上一個(gè)電源時(shí)，電源就會(huì)給電容器充電，使得一個(gè)極板帶正電，另一個(gè)極板帶負(fù)電。這樣，兩個(gè)極板之間就形成了一個(gè)電場(chǎng)，而這個(gè)電場(chǎng)就儲(chǔ)存了一定的能量。

電容的大小取決于導(dǎo)體板的面積、介質(zhì)的介電常數(shù)和兩板之間的距離。在最簡(jiǎn)單的情況下，它有如下的關(guān)系：C=εA/d。一般來說，面積越大、介電常數(shù)越高、距離越小，電容就越大。

在經(jīng)典物理中，電容也可以用電荷和電壓之間的比例表示：C=Q/V。這個(gè)公式告訴我們，電容量越大，在相同的電壓下，極板上可以儲(chǔ)存更多的電荷。這個(gè)關(guān)系也意味著，在給定的電壓下，無論導(dǎo)體板的厚度如何變化，只要兩板之間的距離不變，電容就不會(huì)改變。

然而，當(dāng)導(dǎo)體板的厚度足夠小，即與電子的德布羅意波長(zhǎng)相當(dāng)或更小時(shí)，導(dǎo)體板上的電子就會(huì)受到量子力學(xué)效應(yīng)的影響。

當(dāng)導(dǎo)體板很薄時(shí)，導(dǎo)體板上的電子有一定概率穿透導(dǎo)體板和介質(zhì)層而到達(dá)另一塊導(dǎo)體板上。這樣就會(huì)產(chǎn)生一個(gè)額外的漏電流，并降低兩塊導(dǎo)體板上的電荷差。因此，在量子隧穿效應(yīng)下，Q=CV這個(gè)關(guān)系會(huì)被破壞。

當(dāng)導(dǎo)體板很薄時(shí)，導(dǎo)體板上的電子運(yùn)動(dòng)受到限制，其能級(jí)由連續(xù)變?yōu)榉至ⅲl(fā)生量子化。這樣就會(huì)改變導(dǎo)體板上的能帶結(jié)構(gòu)和費(fèi)米能級(jí)，并影響導(dǎo)體板上的載流子密度和輸運(yùn)性質(zhì)。因此，在量子尺寸效應(yīng)下，C=εA/d這個(gè)關(guān)系會(huì)被破壞。

當(dāng)導(dǎo)體板很薄時(shí)，導(dǎo)體板上的每個(gè)格點(diǎn)只能容納一個(gè)或少數(shù)幾個(gè)電子。當(dāng)一個(gè)格點(diǎn)已經(jīng)被占據(jù)時(shí)，其他格點(diǎn)上的電子就不能進(jìn)入該格點(diǎn)。這樣就會(huì)阻礙導(dǎo)體板上的載流子輸運(yùn)，并增加其有效阻抗。因此，在庫(kù)侖阻塞效應(yīng)下，C=εA/d這個(gè)關(guān)系也會(huì)被破壞。

綜上所述，在經(jīng)典物理中有效的C=εA/d和Q=CV這兩個(gè)關(guān)系，在量子物理中都會(huì)受到破壞。為了量化量子力學(xué)效應(yīng)對(duì)電容的影響，我們可以引入一個(gè)概念，叫做量子電容。

量子電容是指當(dāng)導(dǎo)體板上的電子運(yùn)動(dòng)受到量子力學(xué)限制時(shí)，導(dǎo)體板上的電荷和電壓之間的關(guān)系不再是線性的，而是呈現(xiàn)出一定的非線性和飽和特性。量子電容可以用以下公式定義：C_Q=dμ/dQ。

其中，C_Q是量子電容，Q是導(dǎo)體板上的電荷，μ是導(dǎo)體板上的化學(xué)勢(shì)（也可以用費(fèi)米能級(jí)代替）。這個(gè)公式表明，量子電容是導(dǎo)體板上的電荷對(duì)化學(xué)勢(shì)的變化率。當(dāng)導(dǎo)體板上的電荷增加時(shí)，化學(xué)勢(shì)也會(huì)增加，從而抑制進(jìn)一步的電荷注入。因此，量子電容會(huì)隨著導(dǎo)體板上的電荷增加而減小。

量子電容的大小取決于導(dǎo)體板上的態(tài)密度和能帶結(jié)構(gòu)。態(tài)密度是指在單位能量范圍內(nèi)，導(dǎo)體板上能夠被占據(jù)的能級(jí)數(shù)目。態(tài)密度越大，意味著導(dǎo)體板上能夠容納更多的電子，因此量子電容越大。能帶結(jié)構(gòu)是指導(dǎo)體板上不同能級(jí)之間的分布和間隔。能帶結(jié)構(gòu)越寬，意味著導(dǎo)體板上有更多的可用能級(jí)，因此量子電容越大。

審核編輯：劉清