歐拉公式——最令人著迷的公式之一

歐拉公式是數(shù)學(xué)里最令人著迷的公式之一，它將數(shù)學(xué)里最重要的幾個常數(shù)聯(lián)系到了一起：兩個超越數(shù)：自然對數(shù)的底e，圓周率π；兩個單位：虛數(shù)單位i和自然數(shù)的單位1，以及數(shù)學(xué)里常見的0。

而且它對數(shù)學(xué)領(lǐng)的締造也產(chǎn)生了廣泛影響，如三角函數(shù)、傅里葉級數(shù)、泰勒級數(shù)、概率論、群論等都有她的倩影。 因此，數(shù)學(xué)家們評價它是“上帝創(chuàng)造的公式，我們只能看它卻不能完全理解它”。 而且，這個公式對物理學(xué)影響也非常巨大，如機(jī)械波論、電磁學(xué)、波動光學(xué)、量子力學(xué)等匍匐在她的腳下；難怪物理學(xué)家查德·費(fèi)曼驚呼：歐拉恒等式不但是“數(shù)學(xué)最奇妙的公式”，也是現(xiàn)代物理學(xué)的定量之跟，因?yàn)樗炎罨镜?個數(shù)學(xué)常數(shù)簡潔地連系起來，而且也將物理學(xué)中的圓周運(yùn)動、簡諧振動、機(jī)械波、電磁波、概率波等聯(lián)系在了一起......

歐拉恒等式是：

其中e是自然指數(shù)的底，i是虛數(shù)單位，π是圓周率。 這條恒等式第一次出現(xiàn)于1748年歐拉在洛桑出版的書Introduction，它是復(fù)分析的歐拉公式特例。 對于任意實(shí)數(shù)x，則有

令x=π代入上式，則可得出歐拉恒等式。 在歐拉公式中，虛數(shù)i占有特殊的地位，認(rèn)識這個公式就需先從i開始： 虛數(shù)i大家在高中接觸過，但那時我們只知道它是-1的平方根，可是它真正的意義是什么呢? 這里有一條數(shù)軸，在數(shù)軸上有一個紅色線段，它的長度是1。當(dāng)它乘以3的時候，它的長度發(fā)生了變化，變成了藍(lán)色的線段3，而當(dāng)它乘以-1的時候，就變成了綠色的線段，或者說線段在數(shù)軸上圍繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)了180度。

我們知道乘-1其實(shí)就等于乘了兩次 i，因i×i=-1，這樣就使線段旋轉(zhuǎn)了180度，那么乘一次 i 呢？ 答案很簡單：旋轉(zhuǎn)了90度唄。

如果我們將這種運(yùn)算放到坐標(biāo)平面上來表示，則實(shí)軸與虛軸就構(gòu)成了一組對稱線段，我們再在0處安插一個垂直此線段的軸，這樣就構(gòu)成了一個平面，我們稱之為復(fù)數(shù)平面；在這個平面上，我們可以看出，虛數(shù)i的功能就是旋轉(zhuǎn)。

對于歐拉公式

這個公式在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的意義要遠(yuǎn)大于傅里葉分析，當(dāng)x=π時，則有

它對描述圓周運(yùn)動的物理意義就是圓心位移為0，如下圖：

這個公式的關(guān)鍵作用就是將正弦波統(tǒng)一成了簡單的指數(shù)形式，我們來看看它圖像上的涵義：

可見，歐拉公式所描繪的正是在復(fù)平面上做圓周運(yùn)動的點(diǎn)，隨著時間的改變，這個點(diǎn)在時間軸上就成了一條螺旋線。如果只看它的實(shí)數(shù)部分，也就是螺旋線在左側(cè)的投影，就是一個最基礎(chǔ)的余弦函數(shù)，而右側(cè)投影則是一個正弦函數(shù)。

現(xiàn)代物理學(xué)告訴我們，宏觀宇宙的構(gòu)成本質(zhì)是旋轉(zhuǎn)的，帶有圓周運(yùn)動和自旋性；微觀世界也是旋轉(zhuǎn)的，也帶有圓周運(yùn)動和自旋性，而歐拉公式描述的核心正是旋轉(zhuǎn)與頻率，因此，在物理學(xué)定量意義上講，稱它是宇宙第一公式一點(diǎn)也不為過！

審核編輯 ：李倩