PyTorch教程-18.1. 高斯過程簡(jiǎn)介

在許多情況下，機(jī)器學(xué)習(xí)相當(dāng)于從數(shù)據(jù)中估計(jì)參數(shù)。這些參數(shù)通常很多且相對(duì)難以解釋——例如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)重。相比之下，高斯過程提供了一種機(jī)制，可以直接推理適合我們數(shù)據(jù)的函數(shù)的高級(jí)屬性。例如，我們可能了解這些函數(shù)是否快速變化、周期性、涉及條件獨(dú)立性或平移不變性。高斯過程使我們能夠通過直接指定適合我們數(shù)據(jù)的函數(shù)值的高斯分布，輕松地將這些屬性合并到我們的模型中。

讓我們從一些例子開始，感受一下高斯過程是如何運(yùn)作的。

假設(shè)我們觀察以下回歸目標(biāo)（輸出）的數(shù)據(jù)集，y，由輸入索引，x. 例如，目標(biāo)可以是二氧化碳濃度的變化，輸入可以是記錄這些目標(biāo)的時(shí)間。數(shù)據(jù)有哪些特點(diǎn)？它看起來變化多快？我們是否定期收集數(shù)據(jù)點(diǎn)，或者是否缺少輸入？您如何想象填補(bǔ)缺失的區(qū)域，或預(yù)測(cè)直到x=25？

圖 18.1.1觀測(cè)數(shù)據(jù)。

為了用高斯過程擬合數(shù)據(jù)，我們首先指定我們認(rèn)為合理的函數(shù)類型的先驗(yàn)分布。在這里，我們展示了幾個(gè)來自高斯過程的示例函數(shù)。這個(gè)先驗(yàn)看起來合理嗎？請(qǐng)注意，這里我們不是在尋找適合我們數(shù)據(jù)集的函數(shù)，而是在尋找解決方案的合理高級(jí)屬性，例如它們隨輸入變化的速度。請(qǐng)注意，我們將在下一個(gè)關(guān)于先驗(yàn)和推理的筆記本中看到用于重現(xiàn)此筆記本中所有圖的代碼。

圖 18.1.2我們可能希望用我們的模型表示的示例先驗(yàn)函數(shù)。

一旦我們以數(shù)據(jù)為條件，我們就可以使用它來推斷適合數(shù)據(jù)的函數(shù)的后驗(yàn)分布。在這里，我們展示了示例后驗(yàn)函數(shù)。

圖 18.1.3樣本后驗(yàn)函數(shù)，一旦我們觀察到數(shù)據(jù)。

我們看到這些函數(shù)中的每一個(gè)都與我們的數(shù)據(jù)完全一致，完美地貫穿了每一次觀察。為了使用這些后驗(yàn)樣本進(jìn)行預(yù)測(cè)，我們可以對(duì)后驗(yàn)中每個(gè)可能的樣本函數(shù)的值進(jìn)行平均，以創(chuàng)建下面的粗藍(lán)色曲線。請(qǐng)注意，我們實(shí)際上不必采用無限數(shù)量的樣本來計(jì)算此期望；正如我們稍后將看到的，我們可以計(jì)算封閉形式的期望。

圖 18.1.4后驗(yàn)樣本，以及后驗(yàn)均值，可用于點(diǎn)預(yù)測(cè)，藍(lán)色。

我們可能還需要不確定性的表示，因此我們知道我們應(yīng)該對(duì)我們的預(yù)測(cè)有多大的信心。直覺上，我們應(yīng)該有更多的不確定性，因?yàn)闃颖竞篁?yàn)函數(shù)的可變性更大，因?yàn)檫@告訴我們真實(shí)函數(shù)可以采用更多可能的值。這種不確定性稱為認(rèn)知不確定性，即可約化的不確定性。與缺乏信息有關(guān)。隨著我們獲取更多數(shù)據(jù)，這種不確定性就會(huì)消失，因?yàn)榕c我們觀察到的一致的解決方案將越來越少。與后驗(yàn)均值一樣，我們可以計(jì)算封閉形式的后驗(yàn)方差（這些函數(shù)在后驗(yàn)中的可變性）。使用陰影，我們?cè)诰祪蓚?cè)顯示兩倍的后驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差，創(chuàng)建一個(gè)可信區(qū)間 ，該區(qū)間有 95% 的概率包含任何輸入的函數(shù)真實(shí)值x.

圖 18.1.5后驗(yàn)樣本，包括 95% 的可信集。

如果我們刪除后驗(yàn)樣本，只需可視化數(shù)據(jù)、后驗(yàn)均值和 95% 可信集，該圖看起來會(huì)更清晰一些。注意不確定性如何從數(shù)據(jù)中增長(zhǎng)，這是認(rèn)知不確定性的一個(gè)特性。

圖 18.1.6點(diǎn)預(yù)測(cè)和可信集。

我們用來擬合數(shù)據(jù)的高斯過程的屬性受到所謂的協(xié)方差函數(shù)（也稱為內(nèi)核）的強(qiáng)烈控制。我們使用的協(xié)方差函數(shù)稱為RBF（徑向基函數(shù)）核，其形式為

這個(gè)內(nèi)核的超參數(shù)是可解釋的。振幅 參數(shù)_a控制函數(shù)變化的垂直尺度，以及長(zhǎng)度尺度參數(shù)?控制函數(shù)的變化率（擺動(dòng)度）。更大a 意味著更大的函數(shù)值，并且更大?意味著更緩慢地改變函數(shù)。讓我們看看我們的樣本先驗(yàn)函數(shù)和后驗(yàn)函數(shù)隨著我們的變化會(huì)發(fā)生什么a和?.

長(zhǎng)度尺度對(duì) GP 的預(yù)測(cè)和不確定性有特別顯著的影響。在||x?x′||=?，一對(duì)函數(shù)值之間的協(xié)方差是a2exp?(?0.5). 在比更遠(yuǎn)的距離?，函數(shù)值變得幾乎不相關(guān)。這意味著如果我們想在某個(gè)點(diǎn)做出預(yù)測(cè)x?，然后是帶有輸入的函數(shù)值 x這樣||x?x′||>?不會(huì)對(duì)我們的預(yù)測(cè)產(chǎn)生強(qiáng)烈影響。

讓我們看看更改長(zhǎng)度尺度如何影響樣本先驗(yàn)和后驗(yàn)函數(shù)以及可信集。以上擬合使用長(zhǎng)度尺度2. 現(xiàn)在讓我們考慮 ?=0.1,0.5,2,5,10. 的長(zhǎng)度尺度0.1相對(duì)于我們正在考慮的輸入域的范圍來說非常小， 25. 例如，函數(shù)的值在x=5和 x=10在這樣的長(zhǎng)度范圍內(nèi)基本上沒有相關(guān)性。另一方面，對(duì)于長(zhǎng)度尺度10，這些輸入的函數(shù)值將高度相關(guān)。請(qǐng)注意，下圖中的垂直比例發(fā)生了變化。

請(qǐng)注意，隨著長(zhǎng)度尺度的增加，函數(shù)的“擺動(dòng)性”會(huì)降低，我們的不確定性也會(huì)降低。如果長(zhǎng)度尺度很小，隨著我們遠(yuǎn)離數(shù)據(jù)，不確定性會(huì)迅速增加，因?yàn)閿?shù)據(jù)點(diǎn)對(duì)函數(shù)值的信息變得越來越少。

現(xiàn)在，讓我們改變振幅參數(shù)，將長(zhǎng)度尺度固定在2. 請(qǐng)注意，垂直比例對(duì)于先驗(yàn)樣本保持固定，而對(duì)于后驗(yàn)樣本則不同，因此您可以清楚地看到函數(shù)的增加比例以及對(duì)數(shù)據(jù)的擬合。

我們看到振幅參數(shù)影響函數(shù)的尺度，但不影響變化率。在這一點(diǎn)上，我們也感覺到我們程序的泛化性能將取決于這些超參數(shù)的合理值。價(jià)值觀?=2 和a=1似乎提供了合理的擬合，而其他一些值卻沒有。幸運(yùn)的是，有一種強(qiáng)大且自動(dòng)的方法可以使用所謂的邊際似然來指定這些超參數(shù)，我們將在筆記本中進(jìn)行推理。

那么究竟什么是全科醫(yī)生呢？在我們開始時(shí)，GP 簡(jiǎn)單地說任何函數(shù)值的集合f(x1),…,f(xn), 由任何輸入集合索引x1,…,xn具有聯(lián)合多元高斯分布。均值向量μ此分布的 由均值函數(shù)給出，該函數(shù)通常被視為常數(shù)或零。該分布的協(xié)方差矩陣由 在所有輸入對(duì)上評(píng)估的內(nèi)核給出x.

等式(18.1.2)指定了一個(gè) GP 先驗(yàn)。我們可以計(jì)算條件分布f(x)對(duì)于任何x給予 f(x1),…,f(xn)，我們觀察到的函數(shù)值。這種條件分布稱為后驗(yàn)分布，我們用它來進(jìn)行預(yù)測(cè)。

尤其，

在哪里

在哪里k(x,x1:n)是一個(gè)1×n通過評(píng)估形成的向量k(x,xi)為了i=1,…,n和 k(x1:n,x1:n)是一個(gè)n×n通過評(píng)估形成的矩陣k(xi,xj)為了i,j=1,…,n.m是我們可以用作任何的點(diǎn)預(yù)測(cè)器x， 和s2 是我們用于不確定性的東西：如果我們想創(chuàng)建一個(gè)有 95% 概率的區(qū)間f(x)在區(qū)間內(nèi)，我們將使用 m±2s. 上述所有數(shù)字的預(yù)測(cè)方法和不確定性都是使用這些方程式創(chuàng)建的。觀察到的數(shù)據(jù)點(diǎn)由f(x1),…,f(xn)并選擇了一組細(xì)粒度的x點(diǎn)來做出預(yù)測(cè)。

假設(shè)我們觀察到一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，f(x1)，我們想確定的價(jià)值f(x)在一些x. 因?yàn)?f(x)由高斯過程描述，我們知道聯(lián)合分布(f(x),f(x1))是高斯分布的：

非對(duì)角表達(dá)式k(x,x1)=k(x1,x)告訴我們函數(shù)值的相關(guān)程度——確定程度 f(x)將來自f(x1). 我們已經(jīng)看到，如果我們使用大長(zhǎng)度尺度，相對(duì)于之間的距離x 和x1,||x?x1||，則函數(shù)值將高度相關(guān)。我們可以想象確定的過程 f(x)從f(x1)無論是在功能空間，還是在聯(lián)合分布f(x1),f(x). 讓我們首先考慮一個(gè)x這樣k(x,x1)=0.9， 和 k(x,x)=1，這意味著f(x)與值適度相關(guān)f(x1). 在聯(lián)合分布中，恒定概率的等高線將是相對(duì)較窄的橢圓。

假設(shè)我們觀察f(x1)=1.2. 以這個(gè)值為條件 f(x1)，我們可以畫一條水平線1.2在我們的密度圖上，可以看到f(x)主要限于[0.64,1.52]. 我們還在函數(shù)空間中繪制了這個(gè)圖，顯示了觀察點(diǎn)f(x1)橙色，高斯過程預(yù)測(cè)分布的 1 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差 f(x)藍(lán)色，關(guān)于的平均值1.08.

現(xiàn)在假設(shè)我們有更強(qiáng)的相關(guān)性，k(x,x1)=0.95. 現(xiàn)在橢圓進(jìn)一步縮小，并且值f(x)更強(qiáng)烈地決定于f(x1). 畫一條水平線在1.2，我們看到輪廓f(x)支持值主要在[0.83,1.45]. 同樣，我們還在函數(shù)空間中顯示了該圖，其中關(guān)于平均預(yù)測(cè)值的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)偏差1.14.

我們看到我們的高斯過程的后驗(yàn)均值預(yù)測(cè)器更接近于1.2，因?yàn)楝F(xiàn)在有更強(qiáng)的相關(guān)性。我們還看到我們的不確定性（誤差條）有所減少。盡管這些函數(shù)值之間存在很強(qiáng)的相關(guān)性，但我們的不確定性仍然相當(dāng)大，因?yàn)槲覀冎挥^察到一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)！

這個(gè)過程可以給我們一個(gè)后驗(yàn)f(x)對(duì)于任何 x，對(duì)于我們觀察到的任意數(shù)量的點(diǎn)。假設(shè)我們觀察 f(x1),f(x2). 我們現(xiàn)在將后驗(yàn)可視化為f(x) 在特定的x=x′在函數(shù)空間。的確切分布f(x)由上述等式給出。f(x)是高斯分布的，均值

和方差

在這個(gè)介紹性筆記本中，我們一直在考慮無噪聲 觀察。正如我們將看到的，很容易包含觀察噪聲。如果我們假設(shè)數(shù)據(jù)是從潛在無噪聲函數(shù)生成的f(x)加上 iid 高斯噪聲 ?(x)～N(0,σ2)有方差 σ2，那么我們的協(xié)方差函數(shù)就變成了 k(xi,xj)→k(xi,xj)+δijσ2， 在哪里 δij=1如果i=j和0否則。

我們已經(jīng)開始對(duì)如何使用高斯過程指定先驗(yàn)和后驗(yàn)解以及核函數(shù)如何影響這些解的屬性有了一些直覺。在后面的notebook中，我們將準(zhǔn)確地展示如何先驗(yàn)指定高斯過程，介紹和推導(dǎo)各種核函數(shù)，然后通過如何自動(dòng)學(xué)習(xí)核超參數(shù)，形成高斯過程后驗(yàn)進(jìn)行預(yù)測(cè)的機(jī)制。雖然習(xí)慣“函數(shù)分布”等概念需要時(shí)間和實(shí)踐，但尋找 GP 預(yù)測(cè)方程的實(shí)際機(jī)制實(shí)際上非常簡(jiǎn)單——通過實(shí)踐可以很容易地形成對(duì)這些概念的直觀理解。