DSP技巧：頻率解調(diào)算法

一種常用的測量復(fù)雜正弦信號瞬時頻率的技術(shù)是計(jì)算信號瞬時 θ（ n ） 相位的導(dǎo)數(shù)，如下面的圖 13–60所示。

圖 13–60 使用反正切函數(shù)的頻率解調(diào)器。

這是傳統(tǒng)的離散信號調(diào)頻解調(diào)方法，效果很好。解調(diào)器的瞬時輸出頻率為下面的 Eq13-111：

其中f s 是以赫茲為單位的采樣率。

計(jì)算瞬時相位 θ（ n ） 需要反正切運(yùn)算，如果沒有大量的計(jì)算資源，很難準(zhǔn)確實(shí)現(xiàn)。這是用于計(jì)算等式Δθ（ n ）的方案。（13–111） 沒有中間 θ（ n ） 相位計(jì)算（及其討厭的反正切函數(shù)）。我們推導(dǎo)出 ？θ（ n ） 計(jì)算算法如下，初使用基于以下定義的連續(xù)時間變量：

i （ t ） = 同相信號，

q （ t ） = 正交相位信號，

θ（ t ） = tan –1 ［ q （ t ）/ i （ t ）］ = 瞬時相位，

Δθ（ t ） = 時間導(dǎo)數(shù)的 θ （ t ）。（13-112）

首先，我們讓r （ t ）= q （ t ）/ i （ t ） 成為我們試圖計(jì)算其反正切導(dǎo)數(shù)的信號。微積分恒等式tan –1 ［ r （ t ）］的時間導(dǎo)數(shù)是

因?yàn)?d［ r （ t ）］/dt = d［ q （ t ）/ i （ t ）］/dt，我們使用微積分恒等式對比率的導(dǎo)數(shù)來寫

堵塞方程 （13–114） 的結(jié)果進(jìn)入 Eq. （13–113），我們有

替換等式中的r （ t ）。（13–115） 和q （ t ）/ i （ t ） 產(chǎn)量

我們到了那里。接下來我們將方程式中個比率的分子和分母相乘。（13–116） 乘以i 2 （ t ），并將t替換為我們的離散時間變量索引n以得出我們的終結(jié)果

圖 13–61。 無反正切頻率解調(diào)器：（a）標(biāo)準(zhǔn)過程； （b） 簡化程序。

圖 13–61（a） 顯示了該算法的實(shí)現(xiàn)，其中i （ n ） 和q （ n ） 的導(dǎo)數(shù)分別為i ‘（ n ） 和q ’（ n ）。Δφ（ n ） 輸出序列用于等式。（13–111） 計(jì)算瞬時頻率。

微分器是抽頭數(shù)為奇數(shù)的抽頭延遲線 FIR 微分濾波器。當(dāng)微分器是一個系數(shù)為 1，0，–1 的 FIR 濾波器時，參考文獻(xiàn) ［54］ 了可接受的結(jié)果。

圖 13–61 中的延遲元件用于將i （ n ） 和q （ n ） 與微分器的輸出進(jìn)行時間對齊，以便在使用K抽頭微分器時延遲為 （ K –1）/2 個樣本。 實(shí)際上，可以通過關(guān)閉微分濾波器的中心抽頭來獲得延遲。

如果i （ n ）+ jq （ n ） 信號是純粹的 FM 和硬限制使得i 2 （ n ）+ q 2 （ n ） = 常數(shù)，則方程式中的分母計(jì)算。（13–117） 不需要執(zhí)行。在這種情況下，使用 1，0，–1 系數(shù)微分器，F(xiàn)M 解調(diào)器被簡化為圖 13–61（b） 中所示的解調(diào)器，其中縮放操作是乘以常數(shù)的倒數(shù)。