3D曲面重建之移動最小二乘法
本文我們思考這樣一個問題：如何在一組逐點值的給定域上估計該域的一般函數(shù)？這種估計對于給定域上PDE數(shù)值的求解，根據(jù)掃描數(shù)據(jù)進行表面重建，或者理解采集到數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)結構都有所幫助。下面介紹幾種常見的最小二乘法：
一、全局最小二乘估計
為了解決多項式擬合中的未知系數(shù)，我們構建如下的目標函數(shù)：
然后我們可以寫個歸一化方程為：
用矩陣的形式表示為：
這個矩陣方程也可以直接用于計算系數(shù)向量 ：
或者在大型系統(tǒng)中使用迭代的方法。
或者在大型系統(tǒng)中使用迭代的方法。
圖1 全局最小二乘（實曲線）
二、全局加權最小二乘擬合
我們可以為每個數(shù)據(jù)值分配一個權重用于最小二乘擬合中，這樣我們將目標函數(shù)最小化為：
歸一化方程的解為：
三、加權局部最小二乘
在全局最小二乘擬合中，我們假設整個域中都可以用一個單一的多項式精確地描述數(shù)據(jù)所代表的函數(shù)。但是，對于大型、復雜的數(shù)據(jù)集，這將要求我們擬合出一個不理想的高階多項式，即便如此，這也不能捕獲數(shù)據(jù)的所有特征。所以，為了替代全局解決方案，我們嘗試通過對每個數(shù)據(jù)點 及其鄰域擬合出一個低階多項式來獲得更好的解決方案。因此，有 個最小二乘擬合的值 ，每個值都是點 的近似值并且每個點的系數(shù)向量 都不同。注意：不同于其它討論的方法，這不是一種公認的方法并且也不常見。它僅僅是為了我們更好的理解下一部分將要介紹的移動最小二乘法。
用通用的方法就可解決。
圖2 加權局部最小二乘擬合
四、移動最小二乘法
總結
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原文標題：3D曲面重建之移動最小二乘法
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