在連續(xù)時(shí)間域中比較Papoulis濾波器和Chebyshev濾波器

本文詳細(xì)對(duì)比了切比雪夫濾波器和Papoulis濾波器特性，并且得出結(jié)論切比雪夫?yàn)V波器要優(yōu)于Papoulis濾波器。這里的Papoulis濾波器也叫勒讓德濾波器或者L濾波器。可以學(xué)習(xí)下本文的研究方法，討論如何通過移位雅可比多項(xiàng)式來替代勒讓德多項(xiàng)式來推導(dǎo)Papoulis濾波器。

A Comparison of Papoulis and Chebyshev Filters in the Continuous Time Domain

在連續(xù)時(shí)間域中比較Papoulis濾波器和Chebyshev濾波器

Negovan STAMENKOVIC, Nikola STOJANOVIC, Dijana JOVANOVIC, Zeljko STANKOVIC

University of Pri?tina, Faculty of Sciences, 38220 K. Mitrovica, Serbia
Faculty of Electronic Engineering, University of Ni?, A. Medvedeva 14, 18106 Ni?, Serbia
Department of Informatics, College of academic studies "Dositej", 11000 Belgrade
Faculty of Informatics, Paneuropean University Apeiron, 78000 Banja Luka, Bosnia and Herzegovina
negovan.stamenkovic@pr.ac.rs, nikola.stojanovic@elfak.ni.ac.rs

Submitted March 21, 2021 / Accepted June 13, 2021

摘要

本文的主題是重新審視Chebyshev（等波紋）和Papoulis（單調(diào)或階梯）低通濾波器以進(jìn)行比較?？梢悦鞔_地說，現(xiàn)有文獻(xiàn)中并未找到Papoulis和Chebyshev濾波器的公正比較。在開始階段，本文展示了如何使用波紋參數(shù)使Chebyshev濾波器的幅度響應(yīng)比標(biāo)準(zhǔn)Chebyshev響應(yīng)的通帶波紋更少。與此同時(shí)，通帶截止頻率保持在。接著，解釋了設(shè)計(jì)奇數(shù)和偶數(shù)次Papoulis濾波器的統(tǒng)一方法。為了比較，將Chebyshev濾波器作為Papoulis濾波器的對(duì)等物引入。因此得到的Chebyshev濾波器具有與Papoulis濾波器相同的阻帶插入損耗、群延遲和瞬態(tài)響應(yīng)，然而，切比雪夫?yàn)V波器的通帶性能明顯更好。結(jié)果顯示，除了需要通帶衰減具有階梯形狀的應(yīng)用外，Chebyshev濾波器的對(duì)等物在所有應(yīng)用中都提供了比Papoulis濾波器更好的解決方案。

Keywords

Electronic filters, approximation, Chebyshev filter, Papoulis filter, insertion loss, return loss

1. 引言

Papoulis提出了全極點(diǎn)低通濾波器[1]，它可以被視為從Butterworth濾波器到Chebyshev濾波器之間的良好過渡。這些濾波器的通帶幅度特性隨單調(diào)遞減，并呈現(xiàn)階梯行為。如文獻(xiàn)中所述，"這些濾波器可以用于許多應(yīng)用；即，當(dāng)瞬態(tài)響應(yīng)也被考慮時(shí)，通帶內(nèi)的高波紋是不能容忍的；此時(shí)，人們通常作為簡(jiǎn)單妥協(xié)選擇Butterworth濾波器，盡管它的截止特性不是太好。"在這篇論文發(fā)表后，單調(diào)濾波器引起了研究者的關(guān)注。例如：提供最大漸近斜率(maximum asymptotic slope)的H類（Halpern）濾波器[2]、帶寬性能改進(jìn)的單調(diào)濾波器[3]、LSM（最小二乘單調(diào)）濾波器[4]（在所有通帶幅度響應(yīng)被限制為單調(diào)的濾波器中，提供最小的通帶插損）以及論文[5]中，作者表明Halpern濾波器只具有學(xué)術(shù)性的興趣。單調(diào)濾波器和拋物濾波器(parabolic filter)的比較在[6]中給出，而在論文[7]中可以找到單調(diào)濾波器之間的比較。還應(yīng)注意的是，單調(diào)濾波器占據(jù)了最近出版的一本書[8]的大部分內(nèi)容。

本文有兩個(gè)主要目標(biāo):

首先，將展示等波紋（Chebyshev）逼近在與階梯（Papoulis）逼近比較時(shí)，前者提供更好或者在最壞的情況下相等的性能。

其次，已經(jīng)證明了Chebyshev濾波器作為Papoulis濾波器的對(duì)等物，可以在所有應(yīng)用中代替Papoulis濾波器。最后，我們普遍認(rèn)為階梯濾波器僅具有學(xué)術(shù)的重要性。

2. 濾波器的傳遞函數(shù)

假設(shè)一個(gè)線性時(shí)不變的雙端網(wǎng)絡(luò)可以由階線性微分方程來描述。相應(yīng)的功率損耗[9]是的有理函數(shù)，形式如下：

其中，是的完全偶數(shù)或奇數(shù)階特征函數(shù)。插入損耗以表示，由給出

負(fù)載電阻吸收的功率與輸入端反射回源的功率之間的關(guān)系由Feldtkeller方程給出，其中是輸入端的反射系數(shù)。將傳輸系數(shù)的表達(dá)式（1）代入Feldtkeller方程，得到

回波損耗以表示，形式為。

確定了后，可以使用標(biāo)準(zhǔn)程序找到連續(xù)時(shí)間低通傳遞函數(shù)。第一步是在復(fù)平面上進(jìn)行的解析延拓，通過替換。第二步是因子分解。平面的左半部分因子是穩(wěn)定且時(shí)間不變的傳遞函數(shù)所需的分母：

其中，是保證幅度以1為上界的約束常數(shù)，。如果為奇數(shù)，則特征函數(shù)在零頻率處等于零，即，這給出和。

2.1 縮放的切比雪夫特征函數(shù)

眾所周知，關(guān)于截止斜率的最優(yōu)濾波器設(shè)計(jì)可以通過使用切比雪夫多項(xiàng)式來實(shí)現(xiàn)[10]。當(dāng)濾波器的通帶內(nèi)存在高波紋時(shí)，這無法容忍，必須降低通帶的波紋并保持通帶截止頻率在。因此，將標(biāo)準(zhǔn)切比雪夫函數(shù)通過波紋參數(shù)進(jìn)行縮放，并相對(duì)于實(shí)角頻率進(jìn)行重新歸一化?，F(xiàn)在，低通濾波器的縮放的切比雪夫特征函數(shù)可以按以下形式獲得：

由于考慮了歸一化到1的通帶截止頻率，即，特征函數(shù)的角頻率可以方便地在封閉形式中找到，結(jié)果如下：

因此，在區(qū)間上，其中是波紋帶，在0和之間振蕩，導(dǎo)致在1和之間振蕩，同時(shí)?？梢杂?jì)算出波紋帶上的插入損耗值為。

值得注意的是，特征函數(shù)(4)是階數(shù)為的切比雪夫多項(xiàng)式的平方，以縮放并通過重新歸一化，其形式為：

以下我們將其稱為縮放的切比雪夫多項(xiàng)式或簡(jiǎn)稱為切比雪夫多項(xiàng)式，因?yàn)樗耐◣堑炔y的。我們也可以認(rèn)為波紋因子可以被視為縮放的切比雪夫多項(xiàng)式的階數(shù)。嵌入的參數(shù)就像在Gegenbauer多項(xiàng)式[11]的情況下的階數(shù)一樣，作為自由度的一種表現(xiàn)。這些多項(xiàng)式并不是相對(duì)于切比雪夫權(quán)重函數(shù)在區(qū)間上的正交，因?yàn)橹匦職w一化的頻率同時(shí)依賴于濾波器的階數(shù)和波紋參數(shù)。另一方面，這些多項(xiàng)式是純偶或純奇多項(xiàng)式，它們的實(shí)根位于通帶內(nèi)。

圖 1中給出了三個(gè)縮放的切比雪夫特征函數(shù)，，對(duì)于和和7。

這些特征函數(shù)的波紋帶也在圖1中描繪出來。因此，縮放的切比雪夫多項(xiàng)式(6)是切比雪夫多項(xiàng)式的一種，可以用來近似濾波器傳輸系數(shù)的幅度函數(shù)。

圖 1. 對(duì)于和和7的縮放的切比雪夫特征函數(shù)。波紋帶已標(biāo)記。

2.2 Papoulis濾波器的特征函數(shù)

在原始論文[1]和[12]中，Papoulis教授分別提出了奇數(shù)階和偶數(shù)階的單調(diào)（階梯型）低通濾波器。這類濾波器被稱為L(zhǎng)型濾波器，因?yàn)樵谠纪茖?dǎo)中使用了勒讓德多項(xiàng)式。以下文本詳細(xì)描述了奇偶數(shù)階濾波器的唯一解。

階數(shù)為的階梯型濾波器的奇偶特征函數(shù)的生成公式，其實(shí)系數(shù)可以表述如下形式[14]：

這是的正實(shí)函數(shù)。為了使得是一個(gè)單調(diào)多項(xiàng)式，多項(xiàng)式被使用，以形成一個(gè)完全平方形式。為了確定，它被展開為一個(gè)正交多項(xiàng)式的平方和，這個(gè)正交多項(xiàng)式的正交區(qū)間匹配低通濾波器的歸一化通帶，即。使用雅可比多項(xiàng)式代替勒讓德多項(xiàng)式[1]，也可以推導(dǎo)出階梯型（單調(diào)的）Papoulis濾波器。

具有兩個(gè)固有參數(shù)和的雅可比多項(xiàng)式，在區(qū)間在權(quán)重函數(shù)下是正交的。對(duì)于，它有個(gè)不同的零點(diǎn)，但是它們既不是偶數(shù)也不是奇數(shù)。這種類型的多項(xiàng)式不適合作為濾波器特征函數(shù)，需要進(jìn)行修改以滿足作為濾波器函數(shù)的要求[15]。為了設(shè)計(jì)單調(diào)濾波器，使用了移位雅可比多項(xiàng)式(shifted Jacobi polynomials)。它們通過線性替代定義，即，其中，（滿足 和）。這些多項(xiàng)式在區(qū)間上相對(duì)于權(quán)重函數(shù)是正交的。可以證明如果且，那么且?？梢酝ㄟ^Matlab符號(hào)函數(shù)方便地確定移位雅可比多項(xiàng)式。

由于參數(shù)值被限制為整數(shù)值，并設(shè)，那么就是一個(gè)純偶正交多項(xiàng)式，相對(duì)于權(quán)重函數(shù)。換句話說，多項(xiàng)式相對(duì)于權(quán)重是正交的。然后有：

其中，并且它可以在濾波器特征函數(shù)的某個(gè)位置使用。

為了確定Papoulis濾波器的特征函數(shù)（7），我們首先將多項(xiàng)式展開為移位雅可比正交多項(xiàng)式的級(jí)數(shù)形式，得到以下表達(dá)式：

其中，對(duì)于偶數(shù)，為2，對(duì)于奇數(shù)，為1。常數(shù)根據(jù)多項(xiàng)式的正交性條件計(jì)算得出。為此首先計(jì)算內(nèi)積：

所以，根據(jù)公式 (10)，我們得到，其中的的取值范圍對(duì)于偶數(shù)是，而對(duì)于奇數(shù)的，我們得到，其中的取值范圍是。由于，我們可以推導(dǎo)出，然后可以得出dB帶寬被歸一化為1。從公式 (9) 中，我們可以得到在通帶截止頻率時(shí)，特征函數(shù)的截止斜率是最大的：

這是由Papoulis [1] 首次提出的。未知系數(shù)可以通過求解一個(gè)極值問題來確定，該問題需要借助拉格朗日乘數(shù)和拉格朗日函數(shù)來解決：

這里的是包含系數(shù)的向量。函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)給出了個(gè)等式，這些等式通過設(shè)定它們?yōu)榱銇砬蠼?，如下?/p>

以及

使用公式 (13)，系數(shù)可以表示為。將這些值代入公式 (14)，就可以得到參數(shù)，然后得到。由于已知系數(shù)，所以特征函數(shù)可以通過使用公式 (9) 中給出的定積分得到。例如，設(shè)定 和。然后 并且。

圖 2 顯示了三個(gè)奇數(shù)階Papoulis（階梯型）特征函數(shù)，對(duì)等的值為3，5和7。最接近通帶邊緣的拐點(diǎn)被標(biāo)記出來。這些頻率被用來定義階梯型頻帶和階梯型插入損耗水平。如果濾波器的階數(shù)增加，階梯型通帶會(huì)增加，相應(yīng)的通帶衰減也會(huì)稍微增加。

圖 2. 對(duì)等和7的Papoulis特征函數(shù)。

譯注：
這里處理感覺不妥，以這個(gè)平臺(tái)作為評(píng)估帶寬和插入損耗水平有點(diǎn)勉強(qiáng)。

3. 切比雪夫?yàn)V波器作為Papoulis濾波器的對(duì)等物

在縮放后的C類濾波器的第一種邊界類別中，當(dāng)時(shí)，我們可以得到Butterworth濾波器。第二種邊界類別和則對(duì)等于有通帶紋波的切比雪夫?yàn)V波器。我們可以觀察到，如果紋波參數(shù)從0增加到1，那么漸進(jìn)斜率就會(huì)從Butterworth濾波器的1增加到切比雪夫?yàn)V波器的，其中是濾波器的階數(shù)。Papoulis濾波器的漸進(jìn)斜率位于這兩者之間。在接下來的內(nèi)容中，我們將展示如果切比雪夫?yàn)V波器具有與Papoulis濾波器相同的漸進(jìn)速率，那么它就可以被視為Papoulis濾波器的對(duì)等物。

由于這兩種濾波器應(yīng)具有相同的漸進(jìn)斜率，因此可以通過求解以下非線性方程來找到切比雪夫?yàn)V波器的階數(shù)，其中是切比雪夫?yàn)V波器的漸進(jìn)斜率。

而是已知的Papoulis濾波器的漸進(jìn)斜率。換句話說，漸進(jìn)斜率是濾波器特性函數(shù)的主系數(shù)的平方根。例如，如果，那么Papoulis濾波器的漸進(jìn)斜率是，而切比雪夫?yàn)V波器，作為Papoulis濾波器的對(duì)等物，其特性由決定。

表 1. 作為階梯型濾波器對(duì)等物設(shè)計(jì)的等波紋濾波器分母中的多項(xiàng)式的歸一化系數(shù)。

表 1列出了切比雪夫?yàn)V波器作為Papoulis濾波器的對(duì)等物的系數(shù)，其階數(shù)高達(dá)11階。表中還總結(jié)了相應(yīng)的性能：對(duì)等物的值，通帶內(nèi)特性函數(shù)下的面積（面積），漸進(jìn)斜率（AS），紋波帶，以及紋波帶內(nèi)的插入損耗水平。切比雪夫?yàn)V波器（Papoulis濾波器的對(duì)等物）的插入損耗水平小于，并且如果濾波器的階數(shù)增加，損耗將會(huì)減少。因此，我們可以說，在通帶內(nèi)，它是近似單調(diào)的[16]。

Papoulis濾波器的性能可以通過使用第2.2節(jié)中提出的方法進(jìn)行計(jì)算，或者可以在[7]中找到。

4. 對(duì)比

我們?cè)趫D 3中給出了9階Papoulis濾波器、切比雪夫?yàn)V波器和巴特沃濾波器的頻率響應(yīng)。將切比雪夫?yàn)V波器的階數(shù)降低到值，使得切比雪夫?yàn)V波器的群時(shí)延響應(yīng)和阻帶插入損耗與Papoulis濾波器的相同。這兩個(gè)濾波器具有相同的漸近斜率，如圖 3所示。

圖 3. Papoulis濾波器和其對(duì)等的切比雪夫?yàn)V波器的頻率響應(yīng)。

切比雪夫?yàn)V波器在通帶中提供了更好的性能。紋波帶內(nèi)的插入損耗水平，遠(yuǎn)低于階梯帶內(nèi)的插入損耗水平。階梯帶略窄于紋波帶。階梯特性函數(shù)下的面積幾乎是等紋波特性函數(shù)下的面積的四倍。換句話說，Papoulis濾波器的反射功率大約是其四倍。

給出頻率響應(yīng)在圖 3中的濾波器的回波損耗響應(yīng)可以在圖 4中看到。切比雪夫?yàn)V波器的回波損耗水平為，它比Papoulis濾波器的回波損耗水平低約。

圖 4. Papoulis濾波器和其對(duì)等的切比雪夫?yàn)V波器的回波損耗。

反射系數(shù)的零點(diǎn)可以通過找到縮放的C多項(xiàng)式(6)的根來得到。求解，得到封閉形式的反射零點(diǎn)

其中表示向下取整函數(shù)。顯然，所有反射零點(diǎn)都在通帶的-軸上，濾波器的最大功率傳輸在這些頻率下發(fā)生。

Papoulis濾波器和其對(duì)等的切比雪夫?yàn)V波器的單位階躍響應(yīng)之間沒有差異，如圖 5所示。

圖 5. 等紋波濾波器和階梯濾波器的階躍響應(yīng)對(duì)比。

正如Orchard [17]所解釋的，如果存在最大功率從源到負(fù)載的頻率，濾波器傳輸函數(shù)對(duì)元件變化（在通帶內(nèi)）的敏感度可以達(dá)到零。切比雪夫?yàn)V波器也設(shè)計(jì)為在通帶內(nèi)的某些頻率（反射零點(diǎn)）實(shí)現(xiàn)最大功率傳輸。對(duì)于，最大功率傳輸發(fā)生在傳輸系數(shù)大小等于一的四個(gè)頻率處，而這些值不能被超過。在這些頻率下，實(shí)現(xiàn)為L(zhǎng)C階梯電路的切比雪夫?yàn)V波器對(duì)線圈和電容器值的變化顯示出零敏感度，并保持整個(gè)通帶的敏感度較低[17]。因此，隨著通帶紋波的減小，敏感度也會(huì)減小。另一方面，Papoulis濾波器并未設(shè)計(jì)為最小化通帶內(nèi)對(duì)元件變化的敏感度，因?yàn)樽畲蠊β蕚鬏斨辉谥绷飨掳l(fā)生。因此，Papoulis濾波器在通帶內(nèi)的敏感度遠(yuǎn)高于其切比雪夫?yàn)V波器對(duì)等物的敏感度。

5. 結(jié)論

本文提出了一種新型全極點(diǎn)低通濾波器，其在通帶中具有等紋波（切比雪夫）響應(yīng)。此處我們討論了這種新提出的濾波器與全極Papoulis濾波器的對(duì)比，因?yàn)檫@兩種濾波器具有相同的漸近斜率。我們提供了一張表格，包含了3至11階切比雪夫?yàn)V波器的傳輸系數(shù)，用于與Papoulis濾波器進(jìn)行比較。新提出的濾波器相比階梯濾波器的主要優(yōu)勢(shì)如下：

譯注：嚴(yán)格來說這不能算是一種新濾波器，這本來就是切比雪夫?yàn)V波器。

額外的自由度使得可以調(diào)整通帶中的紋波，因此可以生成階梯濾波器的對(duì)等物的濾波器性能。

當(dāng)時(shí)，得到切比雪夫?yàn)V波器的一個(gè)特殊情況——巴特沃斯濾波器。

特性函數(shù)，反射零點(diǎn)，漸近斜率和截止斜率都可以用封閉形式表示。

與每個(gè)已知的階梯濾波器相比，通過特性函數(shù)在通帶下的面積以及通帶內(nèi)插損更小。

濾波器系數(shù)的數(shù)值計(jì)算簡(jiǎn)單。階梯濾波器的系數(shù)是通過復(fù)雜數(shù)學(xué)運(yùn)算得到的。

如果濾波器的階數(shù)增加，那么插損和元件變化的敏感度會(huì)減小，而在階梯濾波器的情況下，插損和敏感度會(huì)增加。

回波損耗在通帶內(nèi)呈等紋波形式，其水平低于Papoulis濾波器的回波損耗水平?；夭〒p耗為零的頻率以數(shù)學(xué)封閉形式給出。

通帶敏感度在某些頻率處為零，而且在整個(gè)通帶內(nèi)明顯降低。在這些頻率下，可以進(jìn)一步調(diào)整濾波器的特性。

奇數(shù)階特征函數(shù)是完全平方，并在原點(diǎn)處為零，因此，實(shí)現(xiàn)的LC梯形網(wǎng)絡(luò)具有對(duì)稱性，并且額外降低了靈敏度，這對(duì)階梯濾波器來說是無效的。

因此，可以得出的結(jié)論是，在具有階梯通帶響應(yīng)和優(yōu)化截止斜率的濾波器以及具有等紋波通帶響應(yīng)的濾波器之間，后者在所有應(yīng)用中都提供了更好的解決方案。由于等紋波濾波器的設(shè)計(jì)方程式簡(jiǎn)單，其性能與階梯濾波器相同或更好，根據(jù)以上的比較，人們普遍認(rèn)為階梯濾波器只在學(xué)術(shù)上具有重要意義。

致謝

作者感謝尼什大學(xué)的V. S. Stojanovi?教授提供的寶貴評(píng)論和建議。此處展示的部分工作得到了塞爾維亞教育和科學(xué)部在TR 32009項(xiàng)目框架內(nèi)的部分支持。

注:

Fukada [13]發(fā)布了相同的結(jié)果，但只針對(duì)偶數(shù)階濾波器。
漸近斜率將以特性函數(shù)的主要系數(shù)的平方根來表示。具有通帶紋波的切比雪夫?yàn)V波器的漸近斜率為。
所需面積通過積分獲得：Area，它與濾波器輸入端的反射功率有關(guān)。

關(guān)于作者 ...

Negovan STAMENKOVI? 他于1979年出生。他于2006年從普里什蒂納大學(xué)技術(shù)科學(xué)學(xué)院的電子和電信系獲得碩士學(xué)位，于2011年從塞爾維亞尼什電子工程學(xué)院獲得電子與計(jì)算機(jī)工程博士學(xué)位。他現(xiàn)在是普里什蒂納大學(xué)自然科學(xué)與數(shù)學(xué)學(xué)院的教授。他目前的研究興趣在基于余數(shù)系統(tǒng)的模擬和數(shù)字信號(hào)處理領(lǐng)域。

Nikola STOJANOVI? 他于1973年出生。他于1997年在普里什蒂納大學(xué)技術(shù)科學(xué)學(xué)院獲得電子與電信學(xué)士學(xué)位，2013年在尼什大學(xué)電子工程學(xué)院獲得多媒體技術(shù)碩士學(xué)位，并于2018年從尼什大學(xué)電子工程學(xué)院獲得電子與計(jì)算機(jī)工程博士學(xué)位。目前他在尼什大學(xué)電子學(xué)院擔(dān)任多媒體和3D動(dòng)畫講師。他的研究興趣包括數(shù)字和模擬信號(hào)處理，3D動(dòng)畫和數(shù)字化。

Dijana JOVANOVI? 她于1996年出生。她于2018年和2019年分別從貝爾格萊德“Dositej”學(xué)院學(xué)術(shù)研究部的信息學(xué)系獲得學(xué)士和碩士學(xué)位。從2018年開始，她在“Dositej”學(xué)院學(xué)術(shù)研究部擔(dān)任研究助理。她是貝爾格萊德大學(xué)的博士研究生。

?eljko STANKOVI? 他于1957年出生。他于2006年從塞爾維亞諾維薩德大學(xué)的數(shù)學(xué)與自然科學(xué)系獲得碩士學(xué)位，2010年從貝爾格萊德辛吉杜努姆大學(xué)的信息技術(shù)系獲得信息技術(shù)博士學(xué)位。他是巴尼亞盧卡泛歐大學(xué) Apeiron 信息學(xué)系的助理教授。