使用積分器模塊進(jìn)行濾波器設(shè)計(jì)

本應(yīng)用筆記解釋了一種使用積分器模塊和一些簡單的數(shù)學(xué)操作來產(chǎn)生任意階次濾波器響應(yīng)的方法。該方法精確，易于應(yīng)用，并且在需要非標(biāo)準(zhǔn)濾波器響應(yīng)時(shí)可替代“標(biāo)準(zhǔn)”濾波器網(wǎng)絡(luò)集。

介紹

關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)濾波器響應(yīng)的設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)，已經(jīng)發(fā)表了許多文獻(xiàn)和軟件。當(dāng)需要非標(biāo)準(zhǔn)濾波器響應(yīng)時(shí)，通常由電路設(shè)計(jì)人員使用自己的“標(biāo)準(zhǔn)”濾波器網(wǎng)絡(luò)集來生成解決方案。但是，這種方法還有另一種選擇，該方法精確，易于應(yīng)用，并使用積分器塊和一些簡單的數(shù)學(xué)操作來生成任何階次的濾波器響應(yīng)。

濾波器設(shè)計(jì)方法

該系統(tǒng)使用簡單的運(yùn)算放大器積分器模塊，其示例如圖1所示。該方法可應(yīng)用于連續(xù)時(shí)間和開關(guān)濾波器（例如開關(guān)電容濾波器）設(shè)計(jì)。

圖1.基于運(yùn)算放大器的（線性）積分器電路模塊和符號(hào)表示。

圖1中積分器的傳遞函數(shù)及其符號(hào)表示如圖2中的表達(dá)式所示。該電路對(duì)輸入電壓的響應(yīng)（輸出）以每倍頻程6dB的速率隨頻率而減小增益，單位增益以赫茲為單位的頻率為1/2πCR。

圖2.圖1中積分器電路模塊的傳遞函數(shù)。

該技術(shù)的應(yīng)用

設(shè)計(jì)過程從所需的濾波器傳遞函數(shù)開始。圖3中的公式表示二階低通濾波器響應(yīng)，將用于說明。該技術(shù)可用于任何濾波器類型，并且易于擴(kuò)展到高階系統(tǒng)。

圖3.具有低通響應(yīng)的二階濾波器的傳遞函數(shù)。

然后將一系列數(shù)學(xué)步驟應(yīng)用于傳遞函數(shù)，以獲得以下形式的表達(dá)式：

VOUT = ?(VIN, VOUT, 1/S)

請注意，結(jié)果表達(dá)式中的所有頻率相關(guān)項(xiàng)（出現(xiàn) S）都必須出現(xiàn)在分母項(xiàng)中。這是因?yàn)樽罱K電路將由積分器組成，即1/S的功能。需要三個(gè)基本的數(shù)學(xué)步驟。每個(gè)階段獲得的表達(dá)式如下。

第 1 步。交叉乘法得到

S2 × VOUT + ω0/q × S × VOUT + ω02 × VOUT = ω02 × VIN

第 2 步。除以 S 的最高冪得到

VOUT + [(ω0/q) × VOUT]/S + (ω02 × VOUT)/S2 = ω02 × VIN/S2

第 3 步。重新排列以獲取 V 的表達(dá)式外

VOUT = VIN × (ω02/S2) - VOUT × (ω02/S2) - VOUT × [(ω0/q)/S]

步驟3中產(chǎn)生的方程現(xiàn)在是將執(zhí)行所需濾波功能的積分器模塊網(wǎng)絡(luò)的定義方程。

剩下的兩個(gè)設(shè)計(jì)步驟有些直觀，但規(guī)則很簡單。首先，生成集成器網(wǎng)絡(luò)圖。這使用許多積分器和求和節(jié)點(diǎn)來生成由步驟 3 中的定義方程描述的網(wǎng)絡(luò)。要生成此網(wǎng)絡(luò)，首先要考慮定義方程的形式。這表示輸出電壓（V外） 就 V 的功能而言外和 V在，其中每個(gè)函數(shù)都是一個(gè)或多個(gè)積分器項(xiàng)的乘積。

從左到右考慮這些項(xiàng)，第一項(xiàng)是VIN和兩個(gè)積分器級(jí)（1/S2）的函數(shù)。因此，信號(hào)VIN必須通過兩個(gè)積分器模塊，然后才能出現(xiàn)在VOUT上。生成圖表的第一步是繪制VIN碼，為兩個(gè)串聯(lián)的積分器模塊供電，第二個(gè)積分器的輸出連接到VOUT。第二項(xiàng)也是兩個(gè)積分器級(jí)的函數(shù)，但這次積分器模塊從VOUT信號(hào)饋電。此外，前兩項(xiàng)的1/S2系數(shù)相同，為ω02，因此使前兩項(xiàng)的源電壓共享一條通往輸出的公共路徑是合理的。因此，求和結(jié)插入到第一個(gè)積分器級(jí)之前，并通過與VIN和VOUT的連接提供。方程的第三項(xiàng)是VOUT和單個(gè)積分器級(jí)的函數(shù)。為了說明這一點(diǎn)，VOUT還必須饋送到第二個(gè)積分器模塊的輸入端。這是通過插入第二個(gè)求和結(jié)來完成的，這次是在第二個(gè)積分器塊之前，輸入來自第一個(gè)積分器塊和 V外.

要完成網(wǎng)絡(luò)，必須為每個(gè)求和結(jié)輸入分配正確的符號(hào)（反相或同相）。圖1所示積分器的傳遞函數(shù)形式為-1/ST，因此積分器模塊將內(nèi)置信號(hào)反轉(zhuǎn)。符號(hào)被分配給從輸出返回到輸入的求和交匯點(diǎn)。步驟 3 等式中的第三項(xiàng)表明來自 V 的反饋路徑外通過第二個(gè)求和結(jié)和第二個(gè)積分器，然后回到 V外應(yīng)該是反轉(zhuǎn)的。由于積分器已經(jīng)包含反轉(zhuǎn)，因此從 V 到第二個(gè)求和結(jié)的輸入外應(yīng)該是同相的。通過類似的分析可以看出，由于定義方程的第一項(xiàng)是正數(shù)，因此從 V 開始的路徑在到 V外應(yīng)該是同相的。由于兩個(gè)積分器都反轉(zhuǎn)信號(hào)，因此如果第一和第二求和結(jié)的輸入，即來自V在和第一個(gè)積分器模塊分別是同相的。請注意，如果兩個(gè)輸入都反相，這也適用。然而，正如我們將在最終設(shè)計(jì)階段看到的那樣，簡單積分器電路的自然形式是同相求和結(jié)，然后是反相積分器。積分器圖是通過將一個(gè)符號(hào)分配給最終求和結(jié)輸入來完成的，該輸入來自 V外到第一個(gè)求和交匯點(diǎn)。這是由定義方程中的第二項(xiàng)給出的，該項(xiàng)為負(fù)數(shù)。由于通過兩個(gè)積分器的路徑是同相的，因此必須將所需的反演置于信號(hào)輸入端，以便從V進(jìn)行第一次求和外.步驟 3 定義方程的結(jié)果網(wǎng)絡(luò)如圖 4 所示。

圖4.積分器網(wǎng)絡(luò)表示步驟 3 的定義方程。

積分器時(shí)間常數(shù)，T1和 T2現(xiàn)在可以分配。從積分器網(wǎng)絡(luò)中，對(duì)定義方程的第三項(xiàng)的推導(dǎo)和分析，我們發(fā)現(xiàn)：

-ω0/qS = -1/ST2 → T2 = q/ω0

同樣，從定義方程的第一項(xiàng)和第二項(xiàng)中，我們發(fā)現(xiàn)：

ω02/S2 = 1/S2T1T2 → T1 = 1/ω02T2 = 1/ω0q

ω 的值0然后選擇 q 和時(shí)間常數(shù) T1和 T2計(jì)算方法如下：

最后一步是將圖4所示的積分器網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)換為運(yùn)算放大器/電阻/電容電路。標(biāo)準(zhǔn)反相運(yùn)算放大器積分器模塊由運(yùn)算放大器、反饋電容和輸入電阻組成，相當(dāng)于單個(gè)（同相）求和節(jié)點(diǎn)，后跟一個(gè)（反相）積分器。然后，通過在運(yùn)算放大器積分器模塊中添加更多輸入電阻來容納多個(gè)輸入求和節(jié)點(diǎn)。

圖5所示電路為所得有源濾波電路，由圍繞MAX4322運(yùn)算放大器構(gòu)建的運(yùn)算放大器積分模塊構(gòu)成。為 R 給出的值1/ 12， C1和 C2T的產(chǎn)生值分別為14.96μs和7.05μs。濾波器的增益響應(yīng)如圖6所示。

注意向 IC 反饋的技巧1.要嚴(yán)格再現(xiàn)圖2中的網(wǎng)絡(luò)，需要在第一個(gè)求和節(jié)點(diǎn)的反饋中放置一個(gè)逆變器。應(yīng)用來自 V 的反饋外到IC的同相輸入1在IC的輸出端產(chǎn)生信號(hào)1的 （V外+ V外/圣1），提供必要的積分輸出以及從 V 施加的信號(hào)的副本外到第二個(gè)求和節(jié)點(diǎn)。刪除第二個(gè)求和節(jié)點(diǎn)的反饋路徑可恢復(fù)正確的傳遞函數(shù)。

圖5.圖2中積分器網(wǎng)絡(luò)的電路實(shí)現(xiàn)。

圖6.濾波器的增益響應(yīng)如圖5所示。

上述示例可以使用簡單的雙通道運(yùn)算放大器IC和少量無源元件來實(shí)現(xiàn)。在考慮高階系統(tǒng)的情況下，通過使用多級(jí)濾波器IC，可以大大簡化整體設(shè)計(jì)任務(wù)。這類元件的兩個(gè)例子是MAX274/MAX275。這些器件分別提供基于一系列積分器模塊的四階和八階連續(xù)時(shí)間濾波。這些器件的濾波時(shí)間常數(shù)僅由外部電阻值定義，因?yàn)槊總€(gè)積分器級(jí)的反饋電容均在片內(nèi)提供。

如果設(shè)計(jì)人員希望濾波器設(shè)計(jì)具有更高程度的可編程性，那么開關(guān)電容濾波器方法可能很合適。提供開關(guān)電容構(gòu)建模塊IC，可通過可編程時(shí)鐘或電阻進(jìn)行調(diào)整。某些器件還具有微處理器接口功能。MAX260和MAX268系列開關(guān)電容濾波器構(gòu)建模塊IC為尋求可編程濾波功能的人士提供了全方位的控制方法。

這里描述的設(shè)計(jì)過程功能強(qiáng)大且用途廣泛。它幾乎可以應(yīng)用于任何有源濾波要求和任何順序的功能。此外，由此產(chǎn)生的簡單集成器模塊的實(shí)現(xiàn)簡化了組件的選擇和公差問題。一些有源濾波器實(shí)現(xiàn)加劇了基本元件容差的影響，而積分器方法產(chǎn)生的基本容差敏感性與無源LCR濾波器電路相同的基本容差敏感性。此外，運(yùn)算放大器帶寬變化的影響相對(duì)容易計(jì)算，因?yàn)槊總€(gè)積分器模塊的（所需）單位增益帶寬只需由1/T rad/s = 1/2πRC Hz給出。

審核編輯：郭婷