色散介質(zhì)中的平面波介紹

光波在介質(zhì)中的傳播可由介質(zhì)中的麥克斯韋方程組精確描述。物質(zhì)方程描述了感應(yīng)電磁場(chǎng)（D、B）與電磁場(chǎng)（E、H）、極化場(chǎng)（P、M）之間的關(guān)系。不考慮非線性效應(yīng)，而僅在線性光學(xué)的情形下討論，那么極化場(chǎng)與電磁場(chǎng)之間呈線性關(guān)系。利用上述這些方程可以推導(dǎo)出在各向同性、均勻、無(wú)磁性、無(wú)自由電荷及電流的介質(zhì)中的波動(dòng)方程。電場(chǎng)與磁場(chǎng)之間存在固定的關(guān)系，所以只需要考慮電場(chǎng)即可，磁場(chǎng)可以由電場(chǎng)得到。

在求解波動(dòng)方程時(shí)，如果不考慮介質(zhì)的色散，而且假定電磁波沿z軸方向傳播，那么波動(dòng)方程可以進(jìn)行簡(jiǎn)化。簡(jiǎn)化后的波動(dòng)方程有一個(gè)最基本的特解——平面波解，而其他任何復(fù)雜的波都可以展開(kāi)成平面波解的線性疊加。因此，暫時(shí)只需要討論平面波解。平面波是一種橫向電磁波，其電場(chǎng)、磁場(chǎng)的方向，以及波傳播的方向三者兩兩垂直。當(dāng)平面波從光疏介質(zhì)傳輸?shù)焦饷芙橘|(zhì)中時(shí)，其頻率ν不發(fā)生變化，但是波數(shù)k、波速vp和波長(zhǎng)λ均會(huì)發(fā)生改變。

平面波的常見(jiàn)偏振狀態(tài)可分為線偏振、圓偏振和橢圓偏振三種。最一般的情況就是橢圓偏振，這種偏振狀態(tài)的電場(chǎng)由沿x軸和y軸兩個(gè)方向、具有一定相位差且振幅任意的振動(dòng)矢量疊加得到。逆著波傳播的方向觀察，橢圓偏振狀態(tài)總的電場(chǎng)振動(dòng)向量的軌跡是一個(gè)橢圓。當(dāng)沿x軸和y軸的振動(dòng)相位差為0時(shí)，總的電場(chǎng)振動(dòng)向量的軌跡是一條線段，此時(shí)的平面波處于線偏振狀態(tài)；當(dāng)沿x軸和y軸的振動(dòng)相位差為±π/2，且振幅相等時(shí)，總的電場(chǎng)振動(dòng)向量的軌跡是一個(gè)圓，這樣的平面波處于圓偏振狀態(tài)。

電場(chǎng)和磁場(chǎng)之間的叉乘用來(lái)定義Poynting矢量，也即能流密度。對(duì)于平面波來(lái)說(shuō)，能流密度矢量與傳播時(shí)的等相位面垂直，即沿著波數(shù)k的方向。在計(jì)算能流密度與能量密度的瞬時(shí)值時(shí)需要注意利用的是平面波電場(chǎng)和磁場(chǎng)的實(shí)數(shù)部分；而計(jì)算能流密度與能量密度的時(shí)間平均值時(shí)，需要對(duì)代入復(fù)數(shù)電磁場(chǎng)后的最終結(jié)果取實(shí)部，并乘以1/2。

下面介紹平面波在色散介質(zhì)中的傳播。我們可以用兩個(gè)例子來(lái)理解色散。第一個(gè)是白光光束經(jīng)過(guò)介質(zhì)折射后的“擴(kuò)束”現(xiàn)象；第二個(gè)是光脈沖經(jīng)過(guò)介質(zhì)傳播后的脈沖寬度展寬現(xiàn)象。這些現(xiàn)象源于不同頻率的光在介質(zhì)中傳播時(shí)具有不同的折射率，使得光的偏折角度和傳播速度會(huì)彼此不同。這種折射率對(duì)光頻率（或波長(zhǎng)）的依賴就導(dǎo)致了各種色散現(xiàn)象，色散現(xiàn)象分為三種：正常色散、反常色散和無(wú)色散。在介質(zhì)正常色散的區(qū)間內(nèi)，長(zhǎng)波長(zhǎng)的光波傳播速度要比短波長(zhǎng)的光波快，反常色散則剛好相反。

除了色散，不同光學(xué)材料擁有不同的可透光波長(zhǎng)范圍，由光學(xué)材料的吸收特性所決定。

介質(zhì)的色散（折射率的頻率依賴性）和吸收與極化率密切相關(guān)。極化率通常為復(fù)數(shù)，其實(shí)部與折射率n相關(guān)，虛部與吸收系數(shù)α相關(guān)，并且極化率的實(shí)部和虛部滿足Kramers-Kronig關(guān)系，根據(jù)這一關(guān)系，知道實(shí)部和虛部中的一個(gè)就可以得到另一個(gè)。如果所關(guān)注的波長(zhǎng)范圍遠(yuǎn)離介質(zhì)的共振吸收頻率，那么可以將介質(zhì)的共振吸收峰近似為無(wú)限銳吸收線，也即可以用δ函數(shù)近似表示吸收系數(shù)，進(jìn)而根據(jù)吸收系數(shù)α再求得折射率n的表達(dá)式，也即Sellmeier公式。

根據(jù)Sellmeier公式，對(duì)于特定的介質(zhì)，當(dāng)知道該式中的各個(gè)參數(shù)的值，就可以得到折射率隨波長(zhǎng)的變化關(guān)系。下面的幻燈片列舉了熔融二氧化硅、SF10玻璃和藍(lán)寶石這三種介質(zhì)利用Sellmeier公式得到折射率與波長(zhǎng)的關(guān)系曲線。

當(dāng)我們關(guān)注的波長(zhǎng)小于200nm，到達(dá)真空紫外、極紫外甚至是X射線的區(qū)域時(shí)，由于介質(zhì)強(qiáng)烈的吸收，Sellmeier公式不再適用，這時(shí)需要利用新的計(jì)算公式來(lái)得到介質(zhì)的折射率。

在計(jì)算中需要用到的各種參數(shù)也可以通過(guò)查閱工具書(shū)得到，下面的幻燈片展示了碳（C）和鋁（Al）的計(jì)算結(jié)果。

以上從麥克斯韋方程組和物質(zhì)方程出發(fā)，推導(dǎo)得到波動(dòng)方程，隨后討論平面波解的特性，最后介紹平面波在色散介質(zhì)中傳播時(shí)的色散現(xiàn)象，以及在不同波長(zhǎng)范圍內(nèi)如何計(jì)算介質(zhì)的折射率。

審核編輯：劉清