聊聊連續(xù)時(shí)間的傅里葉分析

這一期接著聊連續(xù)時(shí)間的傅里葉分析，主要內(nèi)容如下。

1、大牛傅里葉的簡(jiǎn)介；

2、傅里葉級(jí)數(shù)到傅里葉變換的轉(zhuǎn)換過(guò)程；

3、周期信號(hào)的傅里葉變換表示；

4、卷積和乘法在時(shí)域及頻域的對(duì)偶關(guān)系。

上一期，我們講到了連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)。傅里葉的名字可謂聲名遠(yuǎn)播，是個(gè)不得不聊的人物。

約瑟夫·傅里葉(1768-1830)，法國(guó)數(shù)學(xué)家，物理學(xué)家。一生富有傳奇色彩。兒時(shí)淪為孤兒，長(zhǎng)大后，扛過(guò)槍，當(dāng)過(guò)地方行政長(zhǎng)官，出將入相。又那么熱愛(ài)學(xué)習(xí)。在研究熱傳導(dǎo)問(wèn)題時(shí)，于1811年，通過(guò)論文《熱的傳播》提出了任一函數(shù)可以展開(kāi)成三角函數(shù)的無(wú)窮級(jí)數(shù)，也就是上一期中關(guān)于傅里葉級(jí)數(shù)的內(nèi)容，積分變換基礎(chǔ)。

1822年，出版專著《熱的解析理論》將三角函數(shù)級(jí)數(shù)的理論一般化。將周期信號(hào)推廣到更一般的信號(hào)，更系統(tǒng)地總結(jié)歸納為傅里葉分析。

根據(jù)時(shí)域信號(hào)的表現(xiàn)的不同特點(diǎn)（連續(xù)或離 散 ，周期或 非周期 ），傅里葉分析有不同的類型，不同的叫法以示區(qū)別，如圖1所示。這里也看到了時(shí)域和頻率的對(duì)偶性（Duality）。這期還是先討論連續(xù)時(shí)間類型，對(duì)于離散情況，后續(xù)會(huì)專門總結(jié)。

圖1

傅里葉變換可以認(rèn)為是對(duì)傅里葉級(jí)數(shù)結(jié)論的一般化推廣過(guò)程，這里先給出兩個(gè)動(dòng)圖說(shuō)明這個(gè)趨近過(guò)程。其中圖2是上一篇(積分變換基礎(chǔ)中講到的定義在區(qū)間[-1,1]的三角波，周期T=2。隨著周期T增加，并趨近于+∞，信號(hào)就等效為單周期的三角波（其他定義域的值都為零）。

圖2

當(dāng)周期T增加時(shí)，其傅里葉級(jí)數(shù)ak和周期T乘積的變化過(guò)程如圖3中藍(lán)色的離散幅值，紅色為akT的包絡(luò)線。至于為什么是akT的乘積，我們先留個(gè)疑問(wèn)。

圖3

圖2和3可以看到，當(dāng)周期T增加時(shí)，時(shí)域信號(hào)越來(lái)越稀疏，而其傅里葉級(jí)數(shù)的頻譜卻越來(lái)越密集。直覺(jué)相信，在極限情況下，其終極形態(tài)就是 紅色的包絡(luò)線函數(shù) 。

下邊試著從極限的角度，理清如何將周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)轉(zhuǎn)化為非周期信號(hào)的 傅里葉變換 。

圖4

圖4重新給出了周期為T的周期信號(hào)圖4(a)和其極限情況，僅定義在-T/2和T/2區(qū)間的非周期信號(hào)圖4(b)。

圖4(a)周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)如圖5。通過(guò)變形，注意和定義函數(shù) X(jω) 的關(guān)系。 X(jω) 就是akT的包絡(luò)線函數(shù)。

圖5

我們?cè)倏纯磮D4(a)周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表示。利用圖5的包絡(luò)線函數(shù) X(jω) 定義，可以看到圖6中的階梯型面積之和。極限情況下，等于被積函數(shù) X(jω)e^(j ωt ) 和ω軸形成面積。

圖6

把傅里葉變換對(duì)重寫如圖7所示。時(shí)域信號(hào)x(t)的表示從周期信號(hào)的 線性累加 ，變成非周期信號(hào)的積分表示形式。注意其傅里葉變換實(shí)際上是 復(fù)變函數(shù) ，自變量為jω，僅僅位于復(fù)平面的虛軸上。函數(shù)值也為復(fù)數(shù)形式，同時(shí)包含了幅度和相位的信息復(fù)合形式。

圖7

注意傅里葉變換 X(jω) 的積分結(jié)果收斂存在，同樣需要滿足狄利克雷條件。

針對(duì)時(shí)域一般信號(hào)，通過(guò)傅里葉變換對(duì)，將信號(hào)從時(shí)域和頻域緊密的聯(lián)系在一起，建立了人們認(rèn)識(shí)問(wèn)題的新角度。從頻域分析去解釋問(wèn)題也能夠很好的符合人們實(shí)驗(yàn)觀測(cè)的結(jié)果。使傅里葉變換在現(xiàn)代眾多技術(shù)領(lǐng)域中得到廣泛應(yīng)用。

我們希望能夠?qū)⒏道锶~變換推廣到更寬的適用范圍。就必須解釋和回答第三個(gè)問(wèn)題，周期信號(hào)如何用傅里葉變換來(lái)表示？

如圖8所示，首先考慮頻域中位于頻率點(diǎn)（ kω0 ）處的單位沖激函數(shù)。單位沖激函數(shù)（出于傅里葉級(jí)數(shù)的頻譜是離散頻率點(diǎn)的若干值，所以考慮頻域的單位沖激函數(shù)）的傅里葉反變換對(duì)應(yīng)的時(shí)域信號(hào)應(yīng)該是什么樣的。

圖8

圖8中可給出了周期信號(hào)的傅里葉變化表示，是在k次諧波位置，為ak乘2π的離散頻譜形式。(注意2πak****也是包含了幅度和相位的符合信息，也就是說(shuō)是復(fù)數(shù)形式)

從時(shí)域和頻域不同角度分析，就像觀察硬幣的正反面。雖然觀測(cè)角度不同，事物本質(zhì)上是一致的。就像歷史上人們對(duì)電磁波的認(rèn)識(shí)過(guò)程，到底是“波”還是“粒子”，是人們對(duì)電磁波“波粒二象性”不同角度的觀測(cè)結(jié)果。

圖9

就像我們對(duì)聲音的理解一樣，物體的振動(dòng)產(chǎn)生聲音。不同的樂(lè)器，根據(jù)同樣的樂(lè)譜，都能演奏出近乎一樣的樂(lè)曲（音色有各自的特色）。實(shí)際感受到的是悅耳動(dòng)聽(tīng)的音樂(lè)（時(shí)域）。樂(lè)譜就算是從頻域記錄音樂(lè)的方式。

傅里葉變換中兩個(gè)重要到不能再重要的關(guān)系，值得我們重點(diǎn)回顧一下，卷積和 乘法 。兩者之間的相互轉(zhuǎn)換的近似性關(guān)系稱之為 對(duì)偶性（Duality） 。

圖10

我們知道，時(shí)域卷積是信號(hào)與系統(tǒng)的基礎(chǔ)概念，時(shí)域中，需要通過(guò)卷積運(yùn)算計(jì)算系統(tǒng)響應(yīng)。相信很多人，都知道卷積這概念，要真是讓大家通過(guò)卷積來(lái)推導(dǎo)一下時(shí)域中系統(tǒng)響應(yīng)。估計(jì)還是要撓撓頭皮的。相反，時(shí)域的卷積運(yùn)算映射到頻域，仿佛一下子就降級(jí)到了只需要小學(xué)生的運(yùn)算能力了，即乘法。從而大幅度降低運(yùn)算復(fù)雜性，也符合我們一貫懶惰的本性。

轉(zhuǎn)換為頻域乘法，一個(gè)簡(jiǎn)單概念為濾波器。從頻域角度描，對(duì)不同頻率分量的幅度和相位進(jìn)行需要的衰減和增強(qiáng)等操作。

另一個(gè)就是時(shí)域的乘法，映射到頻域?yàn)榫矸e運(yùn)算，貌似變復(fù)雜了。

其實(shí)在通信領(lǐng)域，時(shí)域乘法具有重要的意義。為了提高通信過(guò)程中傳遞信息的效率和距離。通常會(huì)將有用信息調(diào)制（Mixer乘法器）到高頻率的載波上，便于信息的傳遞。接收端接收后，又需要把有用信息摘出。（原諒我這非專業(yè)人士的蹩腳描述）。其頻域解釋就是頻譜搬移，將有用信號(hào)從低頻搬移到高頻載波上。

如圖11，在高中的三角函數(shù)的學(xué)習(xí)過(guò)程中。比如說(shuō)“積化和差”，如果把角度換做角頻率。我們仔細(xì)再思考一下，肯定會(huì)會(huì)心一笑。這就是最基礎(chǔ)的模擬調(diào)制方式，調(diào)幅（amplitude modulation）。

圖11

再舉一個(gè)例子，在后續(xù)回顧離散傅里葉變換（DTFT）時(shí)，也會(huì)看到為避免時(shí)域信號(hào)周期延拓后出現(xiàn)頻譜泄露，需要對(duì)時(shí)域采樣加 "窗函數(shù)" 。這也是一個(gè)在時(shí)域做乘積的例子，到時(shí)候，我們?cè)僮屑?xì)思考。

關(guān)于傅里葉變換的各種性質(zhì)這里就不詳細(xì)介紹了，大家還是翻翻書，多記多用才行。