前言

在研究運(yùn)放形成的反饋系統(tǒng)時，相位裕度是衡量穩(wěn)定性的一個重要指標(biāo)。因此，明確相位裕度與運(yùn)放的開環(huán)，環(huán)路，閉環(huán)響應(yīng)的關(guān)系是一個重要的問題，有助于我們更好地在穩(wěn)定性，功耗，速度之間進(jìn)行折衷考慮。

巴克豪森判據(jù)

圖1 基本負(fù)反饋系統(tǒng)

如上圖所示的負(fù)反饋系統(tǒng)，假定圖中β是頻率無關(guān)的常數(shù)(β通常由電阻分壓，電容分壓等方式形成，大部分情況下是頻率無關(guān)的)，該閉環(huán)傳輸函數(shù)可寫為 式(1) ：

其中β為反饋系數(shù)，H(s)是開環(huán)響應(yīng)，βH(s)為環(huán)路響應(yīng)。

若在一個頻率ω1處，環(huán)路響應(yīng)βH(s=jω 1 )=-1，則閉環(huán)“增益”趨于無窮大，電路可以放大自身的噪聲直到它最終開始振蕩，該條件可以分別表達(dá)為**式(2) **和式** (3)**

上述就是 巴克豪森判據(jù) 。

從巴克豪森判據(jù)可以看出，判斷反饋系統(tǒng)是否穩(wěn)定主要取決于環(huán)路響應(yīng)βH(s)。然而，有時候我們在設(shè)計(jì)運(yùn)放時，通常是將開環(huán)響應(yīng)GBW頻率處的剩余相位當(dāng)作相位裕度（即單位增益相位裕度），這是一種所有反饋系數(shù)β下的最差相位裕度。這樣設(shè)計(jì)對可能使用在各種情況下的通用運(yùn)放來說沒問題的，但對于芯片內(nèi)部一些反饋環(huán)路固定不變的情況，便會存在過設(shè)計(jì)，造成一些性能浪費(fèi)，在本文的后面章節(jié)關(guān)于該問題將進(jìn)行更為詳細(xì)的分析。

相位裕度

使環(huán)路增益幅值等于1的頻率點(diǎn)為“增益交點(diǎn)頻率”，GX，使環(huán)路增益相位等于-180°的頻率點(diǎn)為“相位交點(diǎn)頻率”，PX。要保證系統(tǒng)的穩(wěn)定，PX必須遠(yuǎn)于GX，且兩者間距越大，反饋系統(tǒng)越穩(wěn)定。而相位裕度PM，就是描述當(dāng)GX出現(xiàn)時，距離PX出現(xiàn)剩余的相位，從而反應(yīng)兩者的距離。

相位裕度與開環(huán)，環(huán)路，閉環(huán)響應(yīng)的關(guān)系

圖2 相位裕度與開環(huán)，環(huán)路，閉環(huán)響應(yīng)的關(guān)系

正如上文所言，相位裕度主要取決于環(huán)路響應(yīng)，那么相位裕度和開環(huán)響應(yīng)，閉環(huán)響應(yīng)之間的關(guān)系是怎樣的呢，本節(jié)對這個問題進(jìn)行分析。本文以一個次主極點(diǎn)位于GBW外的兩極點(diǎn)運(yùn)放組成的反饋系統(tǒng)作為研究對象，如圖2所示，自上至下三幅圖分別為三個不同反饋系數(shù)的環(huán)路響應(yīng)，閉環(huán)響應(yīng)以及運(yùn)放的開環(huán)相位（也為環(huán)路相位）圖。圖中運(yùn)放的響應(yīng)A即為上文反饋系統(tǒng)中的H。

首先觀察圖2(a)和圖2(c)，在(a)中，環(huán)路增益βA open =1(0dB)的點(diǎn)(GX)即為它們的曲線與橫坐標(biāo)的交點(diǎn)。從β1至β3值逐漸變大，GX出現(xiàn)得逐漸變晚。由于反饋系數(shù)通常小于1，因此β 3 =1是這個系統(tǒng)可能出現(xiàn)的最晚的GX。對應(yīng)到圖2(c)中，β1至β3對應(yīng)的相位裕度PM1~PM3逐漸減小。因此可以得到結(jié)論：反饋系數(shù)越大，相位裕度越小。

由于β 3 =1，所以圖2(a)中β3Aopen的曲線就是運(yùn)放的開環(huán)增益曲線。我們在設(shè)計(jì)運(yùn)放時，常常通過檢查GBW處剩余的相位作為運(yùn)放的相位裕度，實(shí)際上得到的就是該運(yùn)放在β 3 =1這個相位裕度最壞情況下的值。

圖2(b)中給出了反饋系統(tǒng)的閉環(huán)增益，從式(1)可知，開環(huán)增益Aopen與閉環(huán)增益Aclose之間的差約為環(huán)路增益βA open (取dB之前相除等于取dB之后相減)，因此βA open =1(0dB)的點(diǎn)應(yīng)為Aopen與Aclose重新交合的點(diǎn)（也為閉環(huán)主極點(diǎn)位置），如圖中所示，將其對應(yīng)到圖2(c)后可以得到與之前相同的結(jié)論。

對運(yùn)放設(shè)計(jì)的參考

我們在設(shè)計(jì)一個運(yùn)放時，通常使用單位增益相位裕度作為指標(biāo)進(jìn)行設(shè)計(jì)。通過上文的分析可知，這種方式得到的相位裕度是運(yùn)放在所有可能的反饋情況下的最差值。對于一個通用運(yùn)放，運(yùn)放可能被應(yīng)用在各種反饋系數(shù)下，因此這樣設(shè)計(jì)可以確保運(yùn)放在所有反饋情況下都是穩(wěn)定的。但假如對于一個固定反饋系數(shù)的運(yùn)放，比如IC設(shè)計(jì)時內(nèi)部各個環(huán)路使用的運(yùn)放，假如反饋系數(shù)小于1，實(shí)際的相位裕度比上述方法得到的相位裕度要大，因此相位裕度實(shí)際上被過設(shè)計(jì)了，這樣實(shí)際上造成了固定速度下功耗的浪費(fèi)或者固定功耗下速度的浪費(fèi)。

以設(shè)計(jì)兩級運(yùn)放為例，過設(shè)計(jì)的相位裕度導(dǎo)致了過設(shè)計(jì)的密勒補(bǔ)償電容，從而造成輸入級電流或運(yùn)放帶寬的浪費(fèi)。

因此，對固定反饋系數(shù)的運(yùn)放，實(shí)際上我們可以回歸巴克豪森判據(jù)的本質(zhì)，去找屬于該反饋系數(shù)的環(huán)路響應(yīng)的GX，從而設(shè)計(jì)相位裕度，而不是直接去設(shè)計(jì)單位增益相位裕度。

總結(jié)

本文分析了相位裕度與運(yùn)放的開環(huán)響應(yīng)，環(huán)路響應(yīng)，閉環(huán)響應(yīng)的關(guān)系，為讀者在設(shè)計(jì)運(yùn)放的相位裕度時提供一些理論參考，不足之處請多多指正。