關(guān)于斐波那契數(shù)學(xué)理論的經(jīng)典問題

斐波那契

斐波那契（Fibonacci,約1175-1250）出生于比薩，本名Filius Bonacci, 意為波那契的兒子。Fibonacci這個縮寫后的名字，是在1838年才由意大利人利伯里*（Libri, 1803-1869）給取的。利伯里是一位伯爵和數(shù)學(xué)愛好家，因其對古代珍貴手稿的熱愛和竊書而聞名。

*利布里擔(dān)任法國圖書館巡查員期間，偷竊了大量古書，當(dāng)被發(fā)現(xiàn)時，他逃往英國，攜帶著18個大箱，里頭裝著三萬本書和手稿。他在法國被缺席判處10年監(jiān)禁；一些被盜的作品在他死后被歸還，但仍有許多失散。

不僅如此，斐波那契數(shù)列與畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的黃金分割比也有著密切關(guān)系。簡而言之，前一項與后一項的比值在項數(shù)趨向無窮時的極限為黃金分割比。這個序列除了在數(shù)論和許多其他數(shù)學(xué)分支中常常見到以外，在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)和股票分析等領(lǐng)域都有直接的應(yīng)用，還可以幫助解決諸如蜜蜂的繁殖、雛菊的花瓣排列、藝術(shù)美感和設(shè)計諸方面的問題。

斐波那契塑像（1863，比薩營地）

斐波那契家境富裕，他的父親是比薩共和國的政府官員，曾被派往布日伊（Bougie,今屬阿爾及利亞）任商務(wù)代理。斐波那契童年時便跟隨父親到了北非，在那里學(xué)會了印度-阿拉伯數(shù)碼。后來，他又隨父親到過埃及、敘利亞、拜占庭（希臘）、西西里和普羅旺斯等地，通過廣泛深入的學(xué)習(xí)和研究，他掌握了數(shù)學(xué)尤其是計算方面的各種技巧。

12世紀(jì)末，斐波那契回到比薩，在那里度過了四分之一世紀(jì)。他在故鄉(xiāng)著書立說，并在書中采用印度-阿拉伯?dāng)?shù)碼書寫，促進(jìn)了這一數(shù)碼體系在歐洲的普及。記數(shù)和計算則利用巴比倫人發(fā)明的60進(jìn)制，同時他也把數(shù)學(xué)應(yīng)用于商業(yè)活動的各個領(lǐng)域。斐波那契還闡述了許多代數(shù)和幾何問題，其重要成果主要表現(xiàn)在不定分析和數(shù)論領(lǐng)域，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越了前人。

大約在1225年，斐波那契受到神圣羅馬帝國皇帝腓特烈二世的召見，成為宮廷數(shù)學(xué)家。據(jù)說皇帝的隨從向他提出數(shù)學(xué)問題，被他一一解答。這位皇帝喜歡打仗、美女，也熱愛詩歌和數(shù)學(xué)，他是歐洲好多位名號為腓特烈二世的君主之一，雖說不是最有名的一個，但他卻擁有多個國王頭銜，按時間順序分別為西西里國王（1197-）、德意志國王（1212-）、神圣羅馬帝國皇帝（1220-）和耶路撒冷國王（1229-）。

腓特烈二世的宮殿自然也有許多處，個人猜測斐波那契是待在西西里王國，那是腓特烈二世度過童年的地方。雖說這位國王有著包括日耳曼等多個民族的血統(tǒng)，但他并不真正喜歡德意志。1224年，腓特烈二世在西西里王國的都城那不勒斯創(chuàng)建了歐洲第一所國立大學(xué)（1978年該校以腓特烈二世冠名），其最杰出的畢業(yè)生是哲學(xué)家托馬斯·阿奎那（Thomas Aquinas，約1225-1274）。事實上，那時在南部意大利，那不勒斯王國與西西里王國是合二為一的。

說到那位天主教世界最重要的哲學(xué)家托馬斯·阿奎那，他比斐波那契要年輕一輩。1225年，當(dāng)斐波那契被國王腓特烈二世召見時，他出生在那不勒斯的洛卡塞卡城堡，那是他家族的領(lǐng)地。16歲那年，他進(jìn)入那不勒斯大學(xué)，后來在巴黎大學(xué)獲得神學(xué)博士學(xué)位。阿奎那的代表作是《神學(xué)大全》，翔實地討論了天主教的所有教義。此外，他還給出了上帝存在的五個證明。托馬斯·阿奎那把理性引入神學(xué)，同時宣稱：“沒有一種智慧可以不經(jīng)由感覺而獲得?！?/p>

至于斐波那契是否曾在那不勒斯逗留，我們就不得而知了。由于腓特烈二世忙于征戰(zhàn)，以及與控制欲極強的教皇之間的重重矛盾，斐波那契不大可能在這位國王的宮殿里停留太久。事實上，1240年，在他的故鄉(xiāng)比薩留存下來的一份文件上這樣寫道：由于斐波那契曾向市民和官吏講述計算方法，每年給予他薪水若干金幣。換句話說，他有可能在故鄉(xiāng)度過晚年并在那里去世。

斐波那契共有五部著作傳世，包括《花》《平方數(shù)書》《算盤書》《實用幾何》和《給帝國哲學(xué)家狄奧多魯斯的一封未注明日期的信》。《花》是題獻(xiàn)給腓特烈二世的，書中收入了宮廷里舉行的數(shù)學(xué)競賽問題。例如，二次方程

的解。他還證明了，某個三次方程既沒有整數(shù)或有理數(shù)解，也沒有歐幾里得的無理量解，即用直尺和圓規(guī)作出的根。但他卻得到一個小數(shù)點后11位數(shù)的近似解，無人知道他是如何得到這個結(jié)果的。

當(dāng)然，斐波那契最著名的著作要數(shù)《算盤書》（1202）。此處算盤是指用以計算的沙盤，而非真的算盤。書中引進(jìn)了分?jǐn)?shù)中間的那條橫杠“-”，這是迄今我們?nèi)栽谑褂玫姆枴＿€有類似于“百雞問題”的不定方程，那應(yīng)是受到中國古代數(shù)學(xué)的影響，這種影響可能是通過阿拉伯人的著作傳遞的。此外，他還講述了求方根的方法和比例變換。不過，最有趣最重要的還是要數(shù)“兔子問題”。

邊長為斐波那契數(shù)的正方形折疊

百雞問題與兔子問題

所謂“百雞問題”出現(xiàn)在南北朝時期，在中國北魏數(shù)學(xué)家張丘建（又叫張邱建）的著作《張丘建算經(jīng)》中，該書大約成書于公元466-485之間，幸運地流傳至今。其時北魏首都在平城（山西大同），統(tǒng)治者是鮮卑族人。日本古都、六世紀(jì)至八世紀(jì)的文化藝術(shù)中心平城京（奈良）雖是仿長安而建，但其取名應(yīng)與平城有關(guān)。

張丘建的家鄉(xiāng)在清河縣（今屬河北邢臺市），他的算經(jīng)中最后一道題堪稱亮點，通常被稱為“百雞問題”，民間則流傳著縣令以此考問神童的佳話，原文如下：

今有雞翁一，直錢五；雞母一，直錢三；雞雛三，直錢一。凡百錢買雞百只，問雞翁、母、雛各幾何？

意思是，公雞每只五錢，母雞每只三錢，而雛雞三只才一錢。假設(shè)有一百錢，去買一百只雞（錢必須用光），問需買多少只公雞、母雞和雛雞？

設(shè)欲購買的公雞、母雞和雛雞的數(shù)量分別是x、y、z，此題相當(dāng)于解下列方程組的正整數(shù)解

在張丘建時代，中國尚未引進(jìn)字母，也沒有未知數(shù)的概念，用文字?jǐn)⑹鲞@樣的方程組必定是很不容易的。可是，張丘建卻正確地給出了全部三組解答，即（4，18，78），（8，11，81）和（12，4，84）。實際上，他通過消元法，把這兩個三元一次方程化成一個二元一次方程，即

再依次取x為4的倍數(shù)，即得上述三組解答。

而所謂“兔子問題”是這樣的：由一對小兔開始，一年后可以繁殖成多少對兔子？其中規(guī)定：每對大兔每月能生產(chǎn)一對小兔，而每對小兔兩個月大就成為可以繁殖的大兔。依據(jù)“兔子問題”，很容易得到所謂的斐波那契數(shù)或斐波那契數(shù)列，其前十項是：

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55……

這個序列的遞歸公式（數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)和定義的第一個遞歸公式）是

有意思的是，這個數(shù)列的通項竟然含有無理數(shù)。而前一項與后一項的比值組成的數(shù)列竟然存在極限，且這個極限值恰好就是美學(xué)中非常重要的黃金分割比。只是，直到四個世紀(jì)以后的1611年，這個極限值才由德國天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家開普勒（Johannes Kepler,1571-1630）發(fā)現(xiàn)，他猜測這個極限就是古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派定義的黃金分割比，即

至于這個極限值的證明，至晚在19世紀(jì)，才由法國數(shù)學(xué)家比奈（Jacqttes Binet,1786-1856）給出。

在筆者所著《經(jīng)典數(shù)論的若干問題》中、英文版中，序言的插圖均嚴(yán)格依照斐波那契數(shù)排列，即第1頁兩幅插圖，第2、3、5、8和13頁各有一幅插圖。在自然界中，斐波那契數(shù)列也有意想不到的呈現(xiàn)。以植物界為例，許多花朵的花瓣個數(shù)恰好是斐波那契數(shù)，例如，梅花5瓣、飛燕草8瓣、萬壽菊13瓣、紫苑21瓣，而雛菊34瓣、55瓣或89瓣的都有。

另外，有一個很有趣的爬樓梯的例子。假設(shè)你可以一步登一個臺階，也可以一步登兩個臺階。試問，攀登一個有n個臺階的樓梯有多少種方式？

比較上式和斐波那契數(shù)列的定義及其初始值，即可得

斐波那契數(shù)列有許多有趣的性質(zhì)，它還有一些未解之謎。例如，

是否有無窮多個斐波那契數(shù)是素數(shù)？

從斐波那契留下來的畫像來看，他的神韻頗似晚他三個世紀(jì)的同胞畫家拉斐爾。斐波那契常常以旅行者自居，人們喜歡稱他是“比薩的萊奧拉多”，而把《蒙娜·麗莎》的作者稱為“芬奇的萊奧拉多”。我們可以這么說，斐波那契既是歐洲數(shù)學(xué)復(fù)興的先鋒，也是東西方數(shù)學(xué)交流的橋梁。

1963年，世界各國一群熱衷研究“兔子問題”的數(shù)學(xué)家成立了國際性的斐波那契協(xié)會，并著手在美國出版《斐波那契季刊》（Fibonacci Quarterly），專門刊登研究與斐波那契數(shù)列有關(guān)的數(shù)學(xué)論文。同時，又兩年一度在世界各地輪流舉辦斐波那契數(shù)列及其應(yīng)用國際會議。這在世界數(shù)學(xué)史上，也可謂是一個奇跡或神話了，堪稱神性的兔子。

相比之下，“百雞問題”只是一個孤立的初等數(shù)論問題，沒有可持續(xù)研究的內(nèi)容。

不過，比斐波那契晚20多年出生的中國南宋數(shù)學(xué)家秦九韶（1202-1261）卻將4世紀(jì)《孫子算經(jīng)》里的“物不知數(shù)”問題加以拓廣，推導(dǎo)出了中國剩余定理。至今這個定理仍在許多數(shù)學(xué)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，被東西方收錄進(jìn)每一本初等數(shù)論教科書，而按照國際慣例，它應(yīng)該被稱為秦九韶定理。在2021年出版的拙作《經(jīng)典數(shù)論的現(xiàn)代導(dǎo)引》（中、英文版）中，我們首次將其命名為秦九韶定理。

本文節(jié)選自蔡天新著《數(shù)學(xué)與藝術(shù)》，江蘇人民出版社。

作者簡介

蔡天新

浙江大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院教授、博士生導(dǎo)師、求是特聘學(xué)者，近作有《歐洲人文地圖》、《美洲人文地圖》、《小回憶》增訂版、《我的大學(xué)》、《26城記》、《數(shù)學(xué)與藝術(shù)》、《經(jīng)典數(shù)論的現(xiàn)代導(dǎo)引》（中、英文版）、《完美數(shù)與斐波那契序列》（中、英文版），主編《地鐵之詩》、《高鐵之詩》。

編輯：黃飛