基于線性代數(shù)的C ++模板庫(kù)

00 Eigen簡(jiǎn)介

Eigen：基于線性代數(shù)的C ++模板庫(kù)，主要用于矩陣，向量，數(shù)值求解器和相關(guān)算法。SLAM中常用的Ceres、G2O等項(xiàng)目均是基于Eigen庫(kù)。

Eigen庫(kù)的優(yōu)點(diǎn)：

支持整數(shù)、浮點(diǎn)數(shù)、復(fù)數(shù)，使用模板編程，可以為特殊的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)提供矩陣操作。

OpenCV自帶到Eigen的接口。

支持逐元素、分塊、和整體的矩陣操作。

支持使用Intel MKL加速部分功能。

支持多線程，對(duì)稀疏矩陣支持良好。

支持常用幾何運(yùn)算，包括旋轉(zhuǎn)矩陣、四元數(shù)、矩陣變換、角軸等等。

即使不做SLAM，在3D視覺(jué)中，當(dāng)處理大量數(shù)學(xué)運(yùn)算時(shí)，我們也會(huì)用到Eigen庫(kù)，它幫我們優(yōu)化了性能。在安裝完成Eigen庫(kù)后，開(kāi)始接下來(lái)的學(xué)習(xí)。

01 數(shù)據(jù)類(lèi)型

Eigen庫(kù)的核心類(lèi)是Matrix，由6個(gè)參數(shù)構(gòu)成：

Matrix<
????????typename?Scalar,
????????int?RowsAtCompileTime,
????????int?ColsAtCompileTime,
????????int?Options?=?0,???????????????????????????????//?默認(rèn)（無(wú)需更改）
????????int?MaxRowsAtCompileTime?=?RowsAtCompileTime,??//?默認(rèn)（最大行數(shù)，提前知道極限）
????????int?MaxColsAtCompileTime?=?ColsAtCompileTime???//?默認(rèn)（最大列數(shù)，提前知道極限）
>

其中：

前三個(gè)參數(shù)：需要我們指定

后三個(gè)參數(shù)：默認(rèn)即可，無(wú)需指定

因?yàn)榻?jīng)常需要實(shí)例化一些方陣、向量，因此Eigen庫(kù)也提供了很多直接使用的模板（利用C++的關(guān)鍵字：typedef），例如Matrix4f是的float型矩陣：

typedefMatrixMatrix4f;

還有例如列向量：Vector3f，其本質(zhì)也是Matrix類(lèi)：

typedefMatrixVector3f;

行向量RowVector：

typedefMatrixRowVector2i;

靜態(tài)-動(dòng)態(tài)-矩陣

靜態(tài)矩陣：矩陣是靜態(tài)的，即編譯時(shí)候就知道運(yùn)行結(jié)果，例如Matrix3d：表示元素類(lèi)型為double大小為3*3的矩陣變量，其大小在編譯時(shí)就知道。

動(dòng)態(tài)矩陣：有時(shí)候運(yùn)行完之后，才可以知道，這里使用MatrixXd：表示任意大小的元素類(lèi)型為double的矩陣變量，其大小只有在運(yùn)行被賦值之后才能知道；

數(shù)據(jù)類(lèi)型

Eigen中的矩陣類(lèi)型一般都是用類(lèi)似MatrixNX來(lái)表示，可以根據(jù)該名字來(lái)判斷其大?。?，3，4，或X，意思Dynamic）和數(shù)據(jù)類(lèi)型，比如：

d：表示double類(lèi)型

f：表示float類(lèi)型

i：表示整數(shù)

c：表示復(fù)數(shù)；

舉例：Matrix2f，表示的是一個(gè)維的，其每個(gè)元素都是float類(lèi)型。

02 新建矩陣

矩陣構(gòu)造

默認(rèn)構(gòu)造，分配了大小和內(nèi)存空間，但沒(méi)有初始化矩陣元素（里面的數(shù)值是隨機(jī)的，不能使用）：

Matrix3fa;// 3*3的元素，其中還有一個(gè)float[9]數(shù)組，其中的元素沒(méi)有初始化；
MatrixXfb;//動(dòng)態(tài)大小的矩陣，目前的大小是0*0，它的元素?cái)?shù)組完全沒(méi)有分配。

對(duì)于動(dòng)態(tài)數(shù)組，你也可以直接分配大?。ㄊプ饔昧耍瑯記](méi)有初始化矩陣元素：

MatrixXfa(10,15);// 10x15動(dòng)態(tài)矩陣，數(shù)組內(nèi)存已經(jīng)分配，但是沒(méi)有初始化；
VectorXfb(30);//大小為30的向量，數(shù)組內(nèi)存已經(jīng)分配，但是元素沒(méi)有初始化。

或者更通用的：

MatrixVector3f_def;

矩陣初始化

在構(gòu)造完后，我們需要對(duì)元素進(jìn)行初始化，常用的是直接賦值：

Eigen::Matrix3fm;
m<

	

	它是逐行寫(xiě)入的，這只適用于較小的矩陣：

	
Eigen::MatrixXdm(3,3);
m<<1,2,3,?????4,5,6,?????7,8,9;


	

	對(duì)于向量，還可以在構(gòu)造的時(shí)候初始化：

	
Vector3dv(1,2,3);
Vector3dw(1,0,0);


	

	還有一些特殊函數(shù)，函數(shù)：

	
MatrixXf::Zero(3,4);//將矩陣3行4列初始化為0
MatrixXf::Ones(3,3);//將矩陣3行3列初始化為1
Vector3f::Ones();//將3行的縱向量初始化為1
MatrixXi::Identity(3,3);//單位矩陣
Matrix3d::Random();//隨機(jī)矩陣


	

	03 矩陣索引

	當(dāng)前矩陣的行數(shù)、列數(shù)、大小可以通過(guò)rows()、cols()和size()來(lái)獲取。遍歷Eigen矩陣時(shí)最好通過(guò)rows和cols來(lái)限制訪問(wèn)范圍，索引的方法如下：

	1、矩陣訪問(wèn)按照先行索引、后列索引方式進(jìn)行，索引下標(biāo)從0開(kāi)始（與Matlab不同）；

	2、矩陣元素的訪問(wèn)可以通過(guò)**”( )”操作符完成。例如m(2, 3)**，矩陣m的第2行第3列元素；

	3、針對(duì)向量還提供”**[ ]”操作符，注意矩陣則不可**如此使用。

	resize：不同于matlab、Python，對(duì)于動(dòng)態(tài)矩陣雖然可以通過(guò)resize()函數(shù)來(lái)動(dòng)態(tài)修改矩陣的大小，但是需要說(shuō)明的是，在Eigen中：

	不能用：固定大小的矩陣是不能使用resize()來(lái)修改矩陣的大??；

	數(shù)據(jù)會(huì)變：resize()函數(shù)會(huì)析構(gòu)掉原來(lái)的數(shù)據(jù)，變?yōu)?.，因此最好使用：conservativeResize()函數(shù)

	大小修改：使用”=”操作符操作動(dòng)態(tài)矩陣時(shí)，如果左右兩邊的矩陣大小不等，則左邊的動(dòng)態(tài)矩陣的大小會(huì)被修改為右邊的大小。

	利用block()函數(shù)，可以從Matrix中取出一個(gè)小矩陣來(lái)進(jìn)行處理，使用的語(yǔ)法為：

	
matrix.block(i,j);


	

	例如：

	
Eigen::MatrixXfm(4,4);
m<(1,1)<

	

	單獨(dú)的列和行是塊的特殊情況。Eigen提供了可以輕松解決它們的方法：.col（）和.row（）：

	
Eigen::MatrixXim(2,2);
m<

	

	04 數(shù)學(xué)運(yùn)算

	4.1 加減法

	Eigen幫我們重載了，直接運(yùn)算：

	
Vector3dv(1,2,3);
Vector3dw(1,0,0);
cout<

	

	4.2 乘除法

	除法：通常我們是除以標(biāo)量。對(duì)于矩陣除法，我們是求它的逆，再轉(zhuǎn)換為矩陣乘法。因此較為簡(jiǎn)單：

	
Vector3dv(1,2,3);
Vector3dr=v/3;
cout<

	

	矩陣乘法：*

	乘法，標(biāo)量非常簡(jiǎn)單：

	
cout<
Matrix2dmat;
mat<

	

	補(bǔ)充：轉(zhuǎn)置

	向量、矩陣的乘法，因?yàn)樾枰猻ize一致，因此需要用到轉(zhuǎn)置：

	
MatrixXcfa=MatrixXcf::Random(2,2);//MatrixXcf為復(fù)數(shù)矩陣
cout<

	

	需要說(shuō)明的是，在Eigen中，對(duì)于自身的操作，都有專(zhuān)門(mén)的函數(shù)，例如對(duì)自身的轉(zhuǎn)置：

	
a.transposeInPlace();//直接在a上操作


	

	點(diǎn)乘和叉乘

	
Vector3dv(1,2,3);
Vector3dw(0,1,2);
//點(diǎn)乘
cout<

	

	在Eigen中，向量的叉乘只支持三維的向量，這是因?yàn)椴娉送ǔＳ糜谟?jì)算方向、夾角等，它的計(jì)算規(guī)則如下：

	4.3 特征運(yùn)算

	
//Eigenalsoprovidessomereductionoperationstoreduceagivenmatrixorvectortoasinglevalue
//suchasthesum(computedbysum()),product(prod()),orthemaximum(maxCoeff())andminimum(minCoeff())ofallitscoefficients.
Eigen::Matrix2dmat;
mat<

	

	05 通用數(shù)組

	Array類(lèi)提供了通用數(shù)組。此外，Array類(lèi)提供了一種執(zhí)行逐系數(shù)運(yùn)算的簡(jiǎn)便方法，該運(yùn)算可能沒(méi)有線性代數(shù)含義，例如將常數(shù)添加到數(shù)組中的每個(gè)系數(shù)或按系數(shù)乘兩個(gè)數(shù)組。

	注：Eigen計(jì)算三角函數(shù)等，Matrix并不支持，需要通過(guò).array()轉(zhuǎn)換到Array類(lèi)，再計(jì)算！

	
m1.array().atan()；


	

	常見(jiàn)數(shù)據(jù)類(lèi)型

	
ArrayArrayXf
ArrayArray3f
ArrayArrayXXd
ArrayArray


	

	常見(jiàn)操作：

	
//逐元素操作Vectorizedoperationsoneachelementindependently
//Eigen//Matlab//注釋
R=P.cwiseProduct(Q);//R=P.*Q//逐元素乘法
R=P.array()*s.array();//R=P.*s//逐元素乘法（s為標(biāo)量）
R=P.cwiseQuotient(Q);//R=P./Q//逐元素除法
R=P.array()/Q.array();//R=P./Q//逐元素除法
R=P.array()+s.array();//R=P+s//逐元素加法（s為標(biāo)量）
R=P.array()-s.array();//R=P-s//逐元素減法（s為標(biāo)量）
R.array()+=s;//R=R+s//逐元素加法（s為標(biāo)量）
R.array()-=s;//R=R-s//逐元素減法（s為標(biāo)量）
R.array()

	

	06 更多操作

	對(duì)于Eigen，它適合一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)值計(jì)算庫(kù)，并沒(méi)有什么實(shí)用技巧。其實(shí)大多數(shù)時(shí)候，你只需要利用Google和百度去查詢你需要的操作即可！對(duì)于更多的操作，可以參考：Eigen 常用函數(shù)查詢，對(duì)比MatLab操作 。

	    責(zé)任編輯：彭菁