模擬集成電路設(shè)計(jì)-基本π網(wǎng)絡(luò)（下）

三電容電路

作為基本π網(wǎng)絡(luò)的一種，三電容電路是理解模擬電路頻響、放大器穩(wěn)定性、開關(guān)-電容放大器、開關(guān)-電容積分器、采樣保持放大器的基礎(chǔ)。從多種不同的角度深刻理解三電容電路是模擬電路設(shè)計(jì)入門的關(guān)鍵，同時(shí) 三電容電路也是各大電路公司面試常用的題型 。

首先，這個(gè)電路有三個(gè)電容，但是三個(gè)電容形成一個(gè)環(huán)，電路只有兩個(gè)獨(dú)立的狀態(tài)變量（state variable），所以這個(gè)電路的傳輸函數(shù)只有兩個(gè)極點(diǎn)。

零極點(diǎn)的位置如下圖，有一個(gè)極點(diǎn)在原點(diǎn)，注意有一個(gè)零點(diǎn)在右半平面。

假設(shè)拉普拉斯域I 1 (s) 為 1，或者時(shí)域i 1 (t)為1*δ(t)，我們可以通過拉普拉斯反變換找出v 2 (t)：

我們發(fā)現(xiàn)，v 2 (t) 由一個(gè)階躍項(xiàng)和一個(gè)指數(shù)項(xiàng)組成，指數(shù)項(xiàng)會衰減到0，但是階躍項(xiàng)會一直保持。合在一起的總響應(yīng)就是一開始有一個(gè)反向的過沖（overshoot），然后會以指數(shù)衰減的方式穩(wěn)定到一個(gè)固定的終值。

現(xiàn)在我們換一種方式來分析零極點(diǎn)。之前我們講過，極點(diǎn)是由電路的純粹的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)所定的，每一個(gè)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)都有一樣的極點(diǎn)。

三電容電路零極點(diǎn)分析

現(xiàn)在我們來看這個(gè)純粹的電路。假設(shè)這個(gè)電路是零狀態(tài)的（relaxed），那么這個(gè)電路是線性時(shí)不變的（LTI），所以C1 C2組成了一個(gè)分壓器，那么我們可以用V1來表示V 2 。

但是V2由是受控源兩端的電壓，而這個(gè)受控源也受到V1的控制，所以就變成了壓控電流源被自己兩端電壓所控制。 一個(gè)被自己電壓控制的電流源就是一個(gè)電阻 。所以我們可以算出該電阻：

于是，三電容電路變成了下圖。這個(gè)電路的時(shí)間常量很好算了，算出來果然跟我們之前算的一個(gè)極點(diǎn)吻合。

另一個(gè)極點(diǎn)呢？

我們現(xiàn)在假設(shè)C2 C3上的t=0- 時(shí)的初始狀態(tài)為這樣：

當(dāng)t=0時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)整個(gè)電路沒有電流，C2 C3上的電壓一直保持著，這種能夠保持初始狀態(tài)的網(wǎng)絡(luò)，一定有一個(gè)極點(diǎn)在原點(diǎn)。我們可以舉一個(gè)最簡單的例子，一個(gè)電容可以保持電壓，所以電容的阻抗這個(gè)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)有一個(gè)極點(diǎn)在原點(diǎn)。

這也與我們之前的推導(dǎo)吻合。

現(xiàn)在找零點(diǎn)，我們之前學(xué)過，零點(diǎn)是很特別的，是由激勵(lì)和響應(yīng)的相對位置決定的。找零點(diǎn)需要抵消響應(yīng)?，F(xiàn)在我們把響應(yīng)V2 抵消掉，如圖：

那么C3沒有電流，受控源的電流等于C2的電流，但是C2的電流由可以被直接用V1表示出來，所以：

三電容電路時(shí)域分析

然后， 我們從時(shí)域的角度把三電容電路的機(jī)理再過一次 （非常重要！是深入理解三電容電路并幫你通過面試拿到offer的關(guān)鍵?。?。

我們必須要先理解沖激電流的物理意義。單位沖激電流在拉普拉斯域的表示為1。注意這個(gè)1是有單位的，單位是庫倫，大家可以思考一下為什么電流的拉普拉斯轉(zhuǎn)換的單位是庫倫。在時(shí)域里，單位沖激函數(shù)前面的1的單位也是庫倫，因?yàn)閱挝粵_激函數(shù)的積分為1，但是電流的積分必須是庫倫，所以這里的1代表了一個(gè)包裹的1庫倫電荷，這個(gè)1庫倫的電荷只需要0時(shí)間就可以被輸送，因?yàn)樵趖=0的時(shí)候，電流無窮大。

所以，單位沖激電流的物理意義就是用0時(shí)間通過無窮大的電流向一個(gè)高斯面里輸送了1庫倫電荷。

現(xiàn)在回到三電容電路，在t=0-時(shí)，三個(gè)電容都沒有初始電荷。在t=0時(shí)，1庫倫的電荷被注入到了紅色高斯面里?，F(xiàn)在的問題是，會不會有有限量的電荷在t=0時(shí)流入綠色高斯面。我們來分析這個(gè)情況：

如果有有限量的電荷流入綠色高斯面，那說明受控源gmv1必須是無窮大，因?yàn)闊o窮大的電流才能在0時(shí)間內(nèi)輸送有限的電荷，有限的電流在0時(shí)間內(nèi)輸送0電荷。

這表示v1是無窮大，但是v1無窮大的話，紅色高斯面內(nèi)必須有無窮大的電荷，這不可能，因?yàn)闆_激電流所攜帶的電荷是有限的。所以受控源電流是有限的，受控源在0時(shí)間內(nèi)不輸送任何電荷。所以在t=0+時(shí)，只有電荷會在C1 C2 C3 中重新分布，1庫倫的電荷會在C 1 +C 2 ||C3這個(gè)總電容上建立一個(gè)電壓v 1 (0+)。C2 和C3必須形成一個(gè)分壓器，因?yàn)镃2的右極板和C3的上極板的電荷總和為0。這樣我們可以推出v 2 (0+)：

化簡v 2 (o+)，我們可以得到：

這跟我們之前用拉普拉斯轉(zhuǎn)換得到的結(jié)果一致 ！

下面看最終狀態(tài)，當(dāng)電路達(dá)到最終狀態(tài)時(shí)，所有的狀態(tài)變量都不再改變了（除非我們有共振或者不穩(wěn)定的特殊情況，然而這個(gè)電路顯然沒有），這說明受控源gmv1必須為0，v1必須為0。但是當(dāng)t>0時(shí)，紅色高斯面內(nèi)的電荷就不再會改變了，因?yàn)楠?dú)立電流源為0，所以所有1庫倫的電荷都必須被“擠壓”到C2上，產(chǎn)生電壓1/C 2 。因?yàn)関 1 (∞)為0，所以我們可以算出v 2 (∞)為-1/C2。

這又跟我們用拉普拉斯轉(zhuǎn)換得到的結(jié)果一致 ！

我們之已經(jīng)分析過，這個(gè)電路只有一個(gè)非無窮大的時(shí)間常量，所以這是一個(gè)“準(zhǔn)一階電路”。對于這種電路，只要我們知道在t=0+的初始值和t=∞的終值，中間的行為就是一個(gè)一階指數(shù)衰減。所以我們得到與之前一致的響應(yīng)：

引入非理想效應(yīng)

接著我們引入一個(gè)不理想效應(yīng)，在受控源處并聯(lián)一個(gè)電導(dǎo)G 3 （有沒有覺得下面的電路圖很熟悉？對了，就是MOSFET小信號電路基本就長這樣）。

重新使用基本π型函數(shù)列出傳輸函數(shù)：

使用拉普拉斯反變換，我們得到

這里，D0成為了誤差項(xiàng)，如果要讓D0非常接近于1，gmR3要遠(yuǎn)大于1+C 1 /C 2 。

我們來從時(shí)域角度看這個(gè)問題：

如果G3不為0，那么在終值狀態(tài)時(shí)，會有一個(gè)循環(huán)的電流流過G 3 。所以gmv1不為0，那么v1不為0。這樣，并非所有的1庫倫電荷都被“擠壓”到了C2上，這就是導(dǎo)致誤差項(xiàng)的原因。對于模擬電路而言，我們希望精確地放大信號，放大倍數(shù)最好是元件之間的比例。假如我們的沖激電流源變成了vsC1δ(t)，或者說C1 采樣了一個(gè)電壓源v s ，C1在t=0時(shí)被放置到三電容電路里，如果G3為0，那么響應(yīng)v2終值將為準(zhǔn)確的電容比例-C 2 /C1 v s 。但如果G3不為0，這個(gè)比例就會有誤差。

三電容電路實(shí)際應(yīng)用

看到這里，大家一定會認(rèn)為我們會拿MOSFET小信號電路作為例子吧？非也，我們當(dāng)然要找一個(gè)更有趣的例子。下面由焦魔為大家講一個(gè)三電容電路的實(shí)例：開關(guān)電容積分器（SCIntegrator）。

開關(guān)電容積分器是有源梯形濾波器（Active Ladder Filter）的基本組成模塊。相比于使用電阻電容有源濾波器（OpAmp RC Filter），開關(guān)電容濾波器（SC Filter）具有精度高，噪聲小，受工藝、電壓、溫度影響小的優(yōu)點(diǎn)（原因是我們不再需要電阻這個(gè)在芯片上很難做準(zhǔn)的元件了）。下圖所示為一種基本的開關(guān)電容積分器（前向歐拉型，F(xiàn)orward Euler）的電路。

注：在該電路圖中，梯形符號代表跨導(dǎo)放大器（Operational Transconductance Amplifier, OTA）?？鐚?dǎo)放大器和我們熟悉的運(yùn)算放大器非常容易混淆，前者使用梯形符號，后者則是三角形符號。運(yùn)算放大器的模型是一個(gè)壓控電壓源，跨導(dǎo)放大器的模型是一個(gè)壓控電流源。嚴(yán)格來講，我們通常所說的集成電路中的運(yùn)算放大器實(shí)際上都是指跨導(dǎo)放大器；而我們做板級電路設(shè)計(jì)時(shí)使用的運(yùn)放芯片才是真正的運(yùn)算放大器。

該電路有兩個(gè)工作相位。在φ1相位，電容C1的電壓跟隨輸入電壓vi變化，φ1相位結(jié)束時(shí)電容C1的電壓即為φ2相位開始時(shí)的初始電壓。φ2相位時(shí)電路的小信號模型如下圖右側(cè)所示。其中沖激電流源等效代表了C1的初始電壓。電路的時(shí)序和波形圖如下：

電容C1在每個(gè)周期的采樣值在tk時(shí)刻確定，輸出電壓在每個(gè)周期φ2的開始時(shí)刻開始變化，先有一個(gè)瞬時(shí)的前向饋通，然后以指數(shù)衰減的形式穩(wěn)定到最終的電壓值，理想情況下電壓的變化量由電容C1和C2的比值以及tk時(shí)刻采樣的輸入電壓值決定。同時(shí)，上一個(gè)周期存在C2上的電荷并沒有被釋放，所以這個(gè)電路就變成了一個(gè)積分器。如果考慮OTA有限的輸出電阻，這個(gè)電壓變化量會有一定的偏差。