波特圖穩(wěn)定性判據(jù)為何存在嚴(yán)重的使用局限？

增益裕量GM>0，相位裕量PM>0

為何存在嚴(yán)重的使用局限，甚至直接失效。

典型奈奎斯特圖→波特圖穩(wěn)定裕量

為了便于觀察波特圖的穩(wěn)定裕量，以常見的：

• 0型（分母不含s），ω從0°出發(fā)（Re正軸），回到-270°（Im正軸）
• 1型（分母含s的一次方），ω從-90°出發(fā)（Im負(fù)軸），回到-270°（Im正軸）
• 2型（分母含s的二次方），ω從-180°出發(fā)（Re負(fù)軸），回到-270°（Im正軸）

系統(tǒng)為例，把三個系統(tǒng)的穿越頻率ωc放在重合的位置，給出如下圖示。

由圖，三者的相位裕量PM≈45°相同，增益裕量GM則是綠色的2型系統(tǒng)大，紅色0型和藍(lán)色1型系統(tǒng)小。

• 結(jié)論：

典型形狀的奈奎斯特圖，對應(yīng)到波特圖時，穩(wěn)定裕量GM/PM的物理意義是非常明確的，便于穩(wěn)定裕量的定義，和穩(wěn)定性判據(jù)的使用。

非典型系統(tǒng)→增益裕量無窮大

考察開環(huán)傳遞函數(shù)

G=s/(1+s)

奈奎斯特圖的增益無論如何增大，奈奎斯特圖也不會包圍(-1，j0)，故有GM=+∞；奈奎斯特圖與Re正軸交點(diǎn)是(1，j0)，故有PM=180°。

再看波特圖，與奈奎斯特圖相對應(yīng)，我們找不到幅頻曲線與0dB交點(diǎn)，也找不到相頻曲線與-180°交點(diǎn)。只能認(rèn)為，頻率無窮大處幅頻與0dB相交，此時可以推出PM=180°；而相頻永遠(yuǎn)不與-180°相交，所以GM=+∞。

考察開環(huán)傳遞函數(shù)

G=1/(s s (s+1))

這種系統(tǒng)是2型系統(tǒng)中的“結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定”系統(tǒng)：若其分子增益和分母中一階子系統(tǒng)的時間常數(shù)可調(diào)，無論如何調(diào)參，其閉環(huán)以后均不能穩(wěn)定。

由奈奎斯特圖可知，Z=N+P=1+0=1，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，且可以看出相位裕量PM為負(fù)，GM的話只有=-∞才有可能讓極坐標(biāo)圖穿越(-1，0)。

再看波特圖，PM為負(fù)是明確的；同時相頻在頻率為0處與-180°相交，故GM=-∞。

• 結(jié)論：

當(dāng)相頻不與-180°明顯相交，僅從波特圖觀察穩(wěn)定裕量GM并不十分直觀。

局限1→幅頻多次穿越0dB

考察開環(huán)傳遞函數(shù)

G=2*(s+0.05) (s+0.1)/(s (s+1)*(s+0.5))

波特圖的幅頻曲線，多次穿越0dB，給相位裕量PM的認(rèn)定造成困擾。

由奈奎斯特圖可知，Z=N+P=0+0=0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，增益裕量GM=+∞。

系統(tǒng)在頻率1，頻率2，頻率3處依次穿越0dB線，當(dāng)曲線順時針旋轉(zhuǎn)到頻率1的位置與(-1,j0)相交后，系統(tǒng)已經(jīng)開始不穩(wěn)定。因此，相位裕量PM由頻率1處（最小的穿越頻率）的相角決定。

然而，倘若奈奎斯特曲線如下，當(dāng)曲線順時針旋轉(zhuǎn)到頻率3的位置與(-1,j0)相交后，系統(tǒng)已經(jīng)開始不穩(wěn)定。因此，相位裕量PM由頻率3處（最大的穿越頻率）的相角決定。

• 結(jié)論：

幅頻多次穿越0dB，相位裕量PM可能由最小或者最大穿越頻率處決定，取決于奈奎斯特圖的具體形狀。

局限2→相頻多次穿越-180°

考察開環(huán)傳遞函數(shù)

G=15*(s+5)(s+15)/((ss+s+1) (s+0.5) (0.01*s+1))

放大奈奎斯特圖(-1,j0)附近穿越的細(xì)節(jié)，以觀察頻率2和頻率3：

該例波特圖中，相位裕度PM=31°是易見的，但相頻曲線， 多次穿越-180°，給增益裕量GM的認(rèn)定造成困擾 。

由該例的奈奎斯特圖可知，Z=N+P=-1+1+0=0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，且應(yīng)該得到增益裕量GM=+∞。

然而，上例只是特例，更普遍的，多次穿越-180°，形似該形狀的奈奎斯特曲線可稱作"條件穩(wěn)定"系統(tǒng)。如下，(-1,j0)可能位于如下箭頭指向的四個區(qū)間(1左側(cè)，1-2，2-3，3-4)。

若(-1,j0)在頻率1左側(cè)，則存在若干的不連續(xù)增益區(qū)間，使系統(tǒng)穩(wěn)定。這樣一來，增益裕量GM是無法定義的：不存在一個GM，使得系統(tǒng)增益超過它后就不穩(wěn)定，因?yàn)橐粋€更大的增益區(qū)間會使系統(tǒng)又重新穩(wěn)定。

• 結(jié)論：

幅頻多次穿越-180°，若是“條件穩(wěn)定”系統(tǒng)，增益裕量GM無法定義，失去物理意義。

失效→增益裕量GM<0才穩(wěn)定

考察開環(huán)傳遞函數(shù)（非最小相位）

G=5*(s+3)/(s*(s-1))

由波特圖，**增益裕量GM=-14dB<0， **相位裕度PM=51.6°>0，根據(jù)判據(jù)，判為閉環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)嗎？

再看奈奎斯特圖，由于開環(huán)函數(shù)G含有一個右半平面不穩(wěn)定極點(diǎn)，即P=1，那么Z=N+P=-1+1=0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定！

• 結(jié)論：

存在開環(huán)不穩(wěn)定的非最小相位系統(tǒng)，其波特圖穩(wěn)定裕量判據(jù)是：增益裕量GM<0，相位裕量PM>0。

總結(jié)

基于波特圖的穩(wěn)定裕量和穩(wěn)定性判據(jù)，僅僅是針對典型系統(tǒng)的“工程性”簡化方法。

奈奎斯特圖才是判斷系統(tǒng)絕對穩(wěn)定性和相對穩(wěn)定性的有效頻域工具。

*注： 奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)在不同資料中形式不盡相同，本文采用的定義如下。

Z為閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定的極點(diǎn)個數(shù)，Z=0代表閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定； P為開環(huán)函數(shù)不穩(wěn)定極點(diǎn)數(shù)，N為完整正負(fù)頻域的閉合奈奎斯特曲線包圍(-1,j0)的帶符號圈數(shù)總和，順時針計為+，逆時針計為-。