數(shù)據(jù)處理中最重要的濾波原理講解

我們知道，濾波器通常用于降低噪聲并提高數(shù)據(jù)質(zhì)量。

注意這個濾，指的是衰減而非一刀切~

但是在濾波的過程中會出現(xiàn)各種問題，這些問題有的會對最終結(jié)果產(chǎn)生極大的影響，導致我們的結(jié)果很難解釋清楚。

腦科學的主要挑戰(zhàn)之一是在測量時會存在噪聲和偽跡污染。

這些可能包括環(huán)境噪聲，儀器噪聲或由體內(nèi)信號源產(chǎn)生的噪聲，很明顯，我們對這些干擾信號不感興趣。

舉個最簡單的例子，如果信號和干擾占據(jù)不同的頻段，那么我們可以通過對數(shù)據(jù)應用濾波器來改善信噪比（SNR），也就是將干擾衰減至最低，同時保證有用信號完美通過。

而濾波，也就是對信號進行不同程度地衰減，也可以理解為對信號的放大倍率進行處理，一個意思。

接下來，我們來看一看從數(shù)據(jù)記錄到最終展示出來，都在哪里應用到了濾波：

共5處，綠色框處為模擬濾波，紅色框處為數(shù)字濾波。

我們最開始采集到的大腦數(shù)據(jù)是連續(xù)的模擬信號，為了轉(zhuǎn)換成我們處理起來更方便的離散的數(shù)字信號，就會用到 ADC （模擬-數(shù)字轉(zhuǎn)換器）。對于現(xiàn)代信號處理來說，這種處理已經(jīng)從模擬領(lǐng)域逐漸轉(zhuǎn)至數(shù)字領(lǐng)域了。

① 測量裝置或放大器

可能包括 高通濾波器和陷波濾波器 ，而像腦電這類記錄細胞外腦活動的測量裝置的放大器通常是交流耦合的，所以這里可以省略高通。

PS：這里可能會涉及一些耦合電容等電路上的概念，就不展開講了，有興趣的讀者可自行百度~

② ADC

就是模數(shù)轉(zhuǎn)換，但在 AD轉(zhuǎn)換 （模-數(shù)轉(zhuǎn)換）之前，會有一個低通抗混疊濾波器。這個抗混疊濾波器的作用是：濾除奈奎斯特頻率以上的頻率分量。

這里單獨講一講：當今的數(shù)據(jù)處理幾乎都是在數(shù)字領(lǐng)域進行的，這就要求信號在時間上進行離散采樣。而在采樣過程中只保留采樣點的值，因此此時的信號是模糊的。

如果這種采樣信號滿足一定的條件，那么就可以完美重建原始信號，這里引入 奈奎斯特采樣定理 ：采樣頻率要大于兩倍信號所包含的最高頻率；

但在真正應用時，我們一般都會取最高頻的3~5倍或更高，來作為采樣頻率。這個采樣頻率的一半，就稱作奈奎斯特頻率，或奈奎斯特極限，這個極限是完美重構(gòu)原始信號的關(guān)鍵。

而如果在采樣時，奈奎斯特頻率以上還存在更高的頻率分量，那么我們還原后的數(shù)字信號就會產(chǎn)生失真（混疊），混疊是指采樣信號被還原成連續(xù)信號時產(chǎn)生彼此重疊而失真的現(xiàn)象，在理想濾波的情形下，濾掉高于奈氏頻率的信號成分即可防止混疊。

為了保證我們可以完美重建信號，我們需要將奈氏頻率以上的頻率分量全部濾除。抗混疊濾波就是做這個的。

③ 預處理

包括低通、高通、陷波等等，視需求而定。

低通 ：一般用于濾除高頻分量和消除毛刺。

高通 ：一般用于消除直流（DC）分量和緩慢漂移電位的影響。

陷波 ：一般用于消除市電干擾（50、60Hz）。

但除了50Hz這種電源工頻干擾，還存在由其產(chǎn)生的整數(shù)倍的諧波干擾（100、150Hz等），文獻的作者提出：可以應用boxcar smoothing kernel of size 1/50 Hz來解決。

PS:這個我也沒有見過，百度了一下好像是一種加矩形窗的函數(shù)，效果就是在電源的各個諧波上都有零點，從而真正消除電源干擾。

④ 數(shù)據(jù)分析

可能涉及帶通濾波（例如，隔離標準頻段，如'alpha''或''gamma''）或TF分析。

⑤ 展示

可能需要額外的平滑（也就是低通濾波），以去除毛刺/鋸齒。、

PS：這里我們先大致按以下方式理解一下低頻和高頻：低頻代表了整個信號的緩慢的變化趨勢，高頻代表了信號局部的劇烈變化。

好，我們接著往下講：

通俗來說，濾波器就是修改輸入信號的頻譜內(nèi)容的東西。

對于數(shù)字濾波器來說：t是分析時間點，h（n）（n = 0，....，N）是沖激響應，上面這個方程就是卷積（也可以按滑動平均來理解）。

沖激響應 (Impulseresponse，或者叫脈沖響應)就是某個線性時不變系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系的基本特征，它是由系統(tǒng)本身的性質(zhì)決定的，也就是在這個濾波器一出生時就定好了的！

沖激響應這個概念比較重要，需要大家理解，以方便之后理解卷積。

線性時不變：線性和時不變，都是針對一個系統(tǒng)說的，這個系統(tǒng)可以是濾波器，也可以是別的等等。

①線性：指系統(tǒng)滿足疊加性和齊次性，疊加性指：當多個輸入作用于系統(tǒng)時，系統(tǒng)的輸出等于單個輸入的作用之和；

②齊次就是輸入放大n倍，輸出也放大n倍。

卷積 ：輸出 = 輸入 * 系統(tǒng)(輸入與系統(tǒng)的沖激響應做卷積，得到系統(tǒng)的輸出)，同樣，這個系統(tǒng)可以是濾波器，也可以是別的什么東西。任一個線性系統(tǒng)的輸出都可以通過將輸入信號與系統(tǒng)函數(shù)（系統(tǒng)的沖激響應）做卷積獲得。

或者可以這么理解，

卷積是某一時刻的輸出是之前很多次輸入乘以各自的衰減系數(shù)之后的疊加而形成的，然后再把不同時刻的輸出點放在一起，形成一個函數(shù)，這個函數(shù)就是輸出的函數(shù)。

在講述下面這張圖之前，先明確一個概念：因果性。

我們說，如果這個系統(tǒng)當前時間點的輸出僅僅與當前時間點及之前時間點的輸入有關(guān)，那么我們說這個系統(tǒng)是因果的；反之，如果這個系統(tǒng)當前時間點的輸出還與之后時間點的輸入有關(guān)，那么我們說這個系統(tǒng)是非因果的。

結(jié)合這張圖來理解卷積。這張圖基于的是因果系統(tǒng)：綠線為輸入信號，它的時間序列是離散的；灰線為系統(tǒng)的沖激響應，是這個系統(tǒng)自身的特性；紅線為輸出。

上下兩部分講的是一個東西。咱們以上面的為例：輸出y的每個瞬時值是由沖激響應h(n)加權(quán)后的輸入x的瞬時值之和。對于因果濾波器，僅輸入的過去或現(xiàn)在的瞬時值作出貢獻（對應到h(n)的黑色部分）。對于非因果過濾器，未來的樣本也可以貢獻（對應到h(n)的灰色部分）。

如果沒有理解，那么再來看下圖：描述卷積過程的另一種方式是輸入x的每個瞬時值影響輸出y的多個瞬時值，其影響的權(quán)重由沖激響應h(n)確定。

而按照n的有限長或是無限長，我們又可將濾波器分為 FIR和IIR 。

**IIR（無限沖激響應）**由于其無限長的沖激響應，導致其幅頻特性精度很高，但其相位是非線性的，可以應用于對相位信息不敏感的信號上；

**FIR（有限沖激響應）**的幅頻特性精度較之于IIR低，但是相位是線性的，所以不同頻率分量的信號經(jīng)過FIR濾波器后不發(fā)生相移。

我們再來說說濾波器的性能：性能取決于過渡帶的陡度，過渡帶的陡度取決于濾波器的類型和階數(shù)。過渡帶可以大致理解為：通帶與阻帶間的部分。

下圖為四種常見類型的濾波器：低通，高通，帶通和陷波。

上半部分是幅度譜，下半部分是每個濾波器的沖激響應。

對于每個濾波器，顯示了兩個版本，前三個的藍色為4階巴特沃斯濾波器，紅色為16階。第四個藍色為Q因子（中心頻率與帶寬的比率）為1(紅為10）的二階濾波器。

我們可以看到：階數(shù)越高，性能越好。同時在頻域中過渡帶越陡，在時域中沖激響應越寬（時域擴展-頻域壓縮）。

了解了以上這些，我們來看看濾波器是如何影響大腦數(shù)據(jù)的。

以下，我們將回顧在大腦活動的時間序列中可能出現(xiàn)的一些典型“事件”，并了解它們?nèi)绾问艿匠Ｓ脼V波器的影響。

這個問題的答案取決于數(shù)據(jù)和濾波器。

1.脈沖或尖峰

在大腦的短暫的局部活動中，其神經(jīng)元的“尖峰”活動可以被建模為一個或幾個脈沖。

下圖為：濾波對短暫的局部事件（脈沖或尖峰）的影響。

系統(tǒng)的響應(輸入稱為激勵，輸出是響應)隨時間擴展（即，不再精確地在時間上定位）并且如果濾波器是因果關(guān)系則輸出會有延遲。如果濾波器是零相位（綠色），則消除整體延遲，但響應是非因果的（即綠線所示）。

這種響應可能包括由于濾波器振鈴效應引起的多個偽特征。

什么是振鈴效應？

振鈴效應 ，原指在圖像處理中，對一幅圖像進行濾波處理時，若選用的頻域濾波器具有陡峭的變化，則會使濾波圖像產(chǎn)生“振鈴”。

我們以理想低通濾波為例，其在時域上的表現(xiàn)為sinc函數(shù)，對于辛格函數(shù)sinc而言，經(jīng)過傅里葉變換之后的函數(shù)形式為窗函數(shù)（理想低通濾波器在頻域上的形狀）形式，用圖像表示如下：

濾波，就是將系統(tǒng)與輸入在頻域相乘，轉(zhuǎn)換到在時域上就是卷積，由于受到sinc兩邊余波的影響，導致圖像出現(xiàn)振鈴現(xiàn)象（這里要理解卷積的概念，才能更好地理解振鈴現(xiàn)象）。

上述影響的性質(zhì)取決于濾波器，可以通過觀察其沖激響應來判斷。

下圖為一系列常用濾波器的沖激響應。

左圖為沖激響應的時間序列，橫軸為持續(xù)時間lag(s)；右圖顯示了其絕對值的對數(shù)(在60 dB處截斷)。綠色為非因果濾波器。

可見：高階濾波器時間跨度更大。帶通濾波器具有相對較長的脈沖響應，特別是當帶寬較窄時。

但是真實的大腦事件與無限狹窄的單極脈沖不同，因為它們的寬度是有限的，因此對真實大腦事件的反應將與理想的脈沖響應有所不同。在濾波器對大腦事件的響應過程中，寬度大于事件特征寬度的沖激響應是可以被識別的。同時較窄的特征可能出現(xiàn)平滑。

2.階躍

某些大腦事件可以被建模為階躍函數(shù)。下圖說明了濾波可以影響階躍式大腦事件的各種方式?？梢云交憫ǖ屯V波器）和延遲響應（因果濾波器）。

穩(wěn)態(tài)部分可能丟失（高通濾波器），并且可能出現(xiàn)虛假特征，其中一些可能發(fā)生在事件之前（非因果濾波器，綠色）。

這些影響的性質(zhì)還是取決于濾波器?？梢詮臑V波器的階躍響應(沖激響應隨時間的積分)推斷出來。

A說明：濾波器為因果會造成事件延遲。

B說明：濾波器為非因果則會提前。

對于高通（C-E）或帶通（F-H）濾波器來說，穩(wěn)態(tài)部分會丟失。響應可能包括虛假的偏移，如果濾波器是非因果性的，則其中一些出現(xiàn)在事件之前。(Filtfilt是用于設計非因果濾波器的函數(shù))。

響應還可能是由振鈴效應引起的振蕩(F-H)。

但是實際的階躍式大腦活動與理想的階躍是不同的。在輸出中，可以識別出比事件開始時的階躍響應更寬的階躍響應，而較窄的會變得平滑。

需要注意的是，穩(wěn)態(tài)部分的偏移會導致相反極性的階躍響應。

3.振蕩活動

大腦中的一些活動是振蕩的。這種振蕩活動可以被看作是正弦脈沖。

下圖為濾波對正弦脈沖的響應：一個脈沖的時間序列受到濾波的影響:它會隨著時間的推移而平滑和擴散，如果濾波是因果的，它可能會延遲，如果濾波是非因果的，它可能會比事件開始的更早。

當濾波器的通帶較窄時(人們可能想用它來增加這種振蕩活動的信噪比)，這種影響就更明顯。

對于調(diào)到脈沖頻率的陷波濾波器，這種抑制可能會延遲，而且在脈沖之后可能會有一個反彈的偽跡(振鈴效應)。非因果的話，該偽跡會在事件出現(xiàn)之前或之后出現(xiàn)。

濾波過程中會出現(xiàn)的問題：

1.有用信息的丟失和噪聲一起被抑制。

2.目標的時間特征的失真:峰值或過渡帶可能被平滑，階躍可能變成脈沖，并且可能出現(xiàn)偽跡。

3.信號內(nèi)部特征之間或信號與外部事件(如刺激)之間的時間或因果關(guān)系模糊不清。

4.時頻（TF）分析

在時頻分析中，濾波器涉及的大多是比較底層的數(shù)據(jù)收集，從而影響最終的時頻分析圖。

時頻分析圖就是：在每個時間點，分析產(chǎn)生一個頻譜，這些頻譜被連接起來形成二維的分析圖；或者我們可以將其等價為：在每個頻率使用一個濾波器。

下圖為：時頻分析引起的時間關(guān)系模糊

STFT頻譜圖中，對于所有頻率，分析窗口的大小是相同的。相反，在小波頻譜圖中，這個窗的大小隨頻率而變化，因為小波變換的每個分析窗口跨越的周期的數(shù)量是相同的。

因此，結(jié)合前面的內(nèi)容，TF的結(jié)果要么相對于數(shù)據(jù)中的事件存在延遲(因果分析)，要么在一定程度上反映了未來的事件(非因果分析)。

所以這種模糊的、非因果關(guān)系可能會誤導最終結(jié)論。

①報告完整的濾波器參數(shù)

比如說濾波器的類型、階數(shù)、頻率參數(shù)，以及它是應用于一個方向還是同時應用于兩個方向的，還有沖激響應(和/或階躍響應)的圖。

②使用低通時，要確認：是否需要增強圖像的清晰度，或者是否要衰減高頻功率。

③若僅需要高通濾波器來消除恒定的DC偏移，則考慮采用減去整體均值的方法；如果還有一個緩慢的趨勢，請考慮“去趨勢”而不是高通濾波。

去趨勢引入了一個擬合函數(shù)（通過緩慢變化以適應趨勢），將該函數(shù)擬合到數(shù)據(jù)然后減去引入的擬合函數(shù)。這種合適的擬合函數(shù)是一個低階多項式。

去趨勢與濾波一樣，去除趨勢對類似于毛刺的一類信號很敏感；但是這些可以通過“強有力的去趨勢”來解決。

④帶通濾波

盡量避免使用帶通濾波，因為會帶來振鈴效應。即使為了提升信噪比而必須使用的話，也要選擇具有相對平坦的過渡帶和遠離目標頻段的截止頻率的濾波器。

⑤陷波

陷波濾波通常是為了抑制電源噪聲。同時作為濾波的替代方案，可以測量一個或多個參考通道上的電源噪聲并將其從數(shù)據(jù)中回歸。

如果高頻不感興趣，則可使用1/50 Hz的boxcar平滑內(nèi)核(一種加矩形窗的函數(shù))。這種簡單的低通濾波器在電源工頻及其所有諧波處都有零點，從而可以完美消除電源噪聲及相關(guān)諧波干擾。

⑥時頻分析

如果感興趣的部分可以在時域中解釋，那么就可以避免TF分析。如果必須應用TF分析，則考慮使用離散傅里葉變換來進行分析，而不是小波分析。

若要使用小波分析，則應使用相對較短的分析窗口來減少時間偏差，同時仔細考慮因果分析（有相位偏差但沒有因果關(guān)系問題）和非因果分析（無相位偏差但存在被誤認為是因果關(guān)系的風險）之間的選擇。

要做到以上這些，我們可能需要：

了解我們使用的濾波器；了解存在的噪聲；在源頭消滅噪聲(不太可能)；確保擁有足夠的抗混疊；考慮濾波的替代方案；選擇正確的濾波器。