高斯如何得到他理論的結(jié)果?聊聊高斯概率分布的數(shù)學(xué)公式

作者：John Dunn（EDN專欄作者） 編譯：Anthea Chuang，EDN Taiwan 責(zé)編：Luffy Liu 本文來源EDN電子技術(shù)設(shè)計

本文作者從他所知的高斯概率分布數(shù)學(xué)公式做出精彩的分析，最后導(dǎo)引到作為數(shù)學(xué)新手所經(jīng)歷的問題…許多人都是被教導(dǎo)如何使用數(shù)學(xué)大師們的努力成果，但是高斯如何得到他理論的結(jié)果?甚至其他大師們又是如何推論出偉大的定理?

這個模擬世界中的各種物理過程都表現(xiàn)出一定程度的隨機性，例如，請想想噪聲。高斯概率分布(Gaussian probability distributions)描述了許多噪聲過程，我們應(yīng)該看看它的數(shù)學(xué)公式。

從一個非常簡單的公式開始，考慮高斯概率分布的“鐘形曲線(bell curve)”公式：

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無需繪制圖片，我們知道公式1所描述的曲線在x值為零時具有y值，并且我們進一步知道隨著x值朝向任一值，y值都變?yōu)榱悖摕o窮大或正無窮大。

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接下來，依照上面的公式添加“零”和數(shù)字“ 1”，這實際上并沒有改變?nèi)魏蝺?nèi)容，但是會引導(dǎo)我們進行下一步。下面的公式3引入了平均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差。

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本文的“平均值”是一個新的中心值，圍繞它的x值更改將影響y值?，F(xiàn)在，當(dāng)x值等于平均值時，y值將變?yōu)?，其中平均值可以為零，也可以為任何非零值?！皹?biāo)準(zhǔn)偏差(standard deviation)”將影響隨著x值偏離均值，y值向零下降的速度有多快。

標(biāo)準(zhǔn)偏差的較大值將要求x值與平均值相差很大，從而明顯降低y值。另一方面，當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)偏差較小時，x值與均值的微小偏差將使y值更快地變?yōu)榱恪?

現(xiàn)在，繪制幾張圖片，以圖形方式查看均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差如何完成各自的工作(圖1)。



圖1 顯示平均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差的影響。

接下來，透過標(biāo)準(zhǔn)偏差的倒數(shù)來縮放y值。請不要擔(dān)心為何我們要這樣做，請繼續(xù)往下看。

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如果再仔細看一下圖片，會看到標(biāo)準(zhǔn)偏差的附加影響(圖2)。



圖2 顯示標(biāo)準(zhǔn)偏差的附加影響。

接下來，輸入另一個比例因子，即2 *π的平方根的倒數(shù)。再度呼吁，不用擔(dān)心為什么，只要繼續(xù)看下去。

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現(xiàn)在，導(dǎo)入一個稱為“方差(variance)”的新術(shù)語。方差只是標(biāo)準(zhǔn)偏差的平方?？梢詫⒐街貙憺椋?

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至此，我們已經(jīng)完成了。如圖2所示，如果針對從負無窮大到正無窮大的x值范圍內(nèi)的y值整合這最后兩個公式中的任何一個并進行積分，則曲線下的面積等于1或等于1。使用我們進行的看似任意縮放，最后兩個公式中的任何一個將產(chǎn)生一個積分結(jié)果。

無論你選擇的是平均值、標(biāo)準(zhǔn)偏差還是方差，積分總是為1，這就是高斯概率分布，可以隨意選擇。

現(xiàn)在，我想談?wù)勛鳛閿?shù)學(xué)新手所經(jīng)歷的一個問題。我試著理解卡爾·弗里德里?！じ咚?Carl Friedrich Gauss)等如此偉大大師的作品。然而高斯工作時，純粹是行動上的智慧。

他推斷出上述公式中需要2 *π的平方根，但是高斯如何得出他的結(jié)果?我從未見過任何關(guān)于這方面的解釋，也從未見過關(guān)于羅必達(l’Hospital)如何得出他尋找極限規(guī)則的任何解釋，也沒有見過關(guān)于帕普斯(Pappus)理論中尋找環(huán)形物體積或其他定理的任何解釋。我只是被教導(dǎo)了這些天才努力的最終結(jié)果，以及如何應(yīng)用其結(jié)果，僅此而已。 不知何故，由于缺乏更深層的解釋，因此我覺得被哄騙。




審核編輯：劉清