為什么 sin(x2)+sin(y2)=1 的圖像這么復(fù)雜？

其原因有兩條：一是看似簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)公式可以生成十分復(fù)雜的圖像圖形，二是看似十分復(fù)雜的圖像圖形可以由簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)公式實(shí)現(xiàn)。 顯然這兩句話是一個(gè)意思，也并沒(méi)有什么營(yíng)養(yǎng)。

最初我以為笑話里講的“數(shù)字里添加的字母”是代數(shù)里用的x、y、z。后來(lái)我慢慢意識(shí)到，罪孽深重最大惡極的sin會(huì)導(dǎo)致數(shù)學(xué)變得更加險(xiǎn)惡。 為了洞悉數(shù)學(xué)的險(xiǎn)惡，我曾試圖將數(shù)學(xué)以圖形圖像的方式顯示出來(lái)，并寫過(guò)幾個(gè)程序DEMO可以利用數(shù)學(xué)公式轉(zhuǎn)化成圖形圖像。DEMO發(fā)在葉飛影 - 博客園里，有興趣可以去看看?，F(xiàn)在很多數(shù)學(xué)軟件都有類似的功能，我只是習(xí)慣用自己的這套邏輯，自得其樂(lè)而已。文中所發(fā)的圖片都是從我寫的程序DEMO中截屏出來(lái)的。 1

正弦波

提到“波”這個(gè)詞，我第一會(huì)想到波波，第二則想到正弦sin。很容易畫出函數(shù)y=sin(x)的圖形：



正弦波

我有個(gè)大學(xué)同學(xué)曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“人生就像一條正弦波，有時(shí)在波峰，有時(shí)在波谷。我現(xiàn)在正處于波谷，但我相信將來(lái)不久，我就會(huì)爬上波峰?！?然而，這個(gè)比喻并不準(zhǔn)確，否則人生就不會(huì)起起落落落落落落落落......了。我覺(jué)得更準(zhǔn)確的比喻是：人生就像若干條正弦波的疊加，你永遠(yuǎn)不知道自己下一步是起還是落。



看看這個(gè)正弦波疊加函數(shù)： y = sin(x) + sin(x*2)/2 + sin(x*4)/4 + sin(x*8)/8 + sin(x*16)/16 + sin(x*32)/32 + sin(x*64)/64 + sin(x*128)/128

有規(guī)律的正弦波疊加 該函數(shù)由8個(gè)正弦波疊加組成，每個(gè)波有它的振幅和頻率。然而世事無(wú)常，每個(gè)波的振幅和頻率決不會(huì)那么地有規(guī)律，如果用隨機(jī)數(shù)設(shè)置這8個(gè)波的振幅和頻率，可以得到如下圖像：



隨機(jī)的正弦波疊加 現(xiàn)在問(wèn)題來(lái)了，隨意選中圖像所繪曲線上的一點(diǎn)，該如何判斷該點(diǎn)將來(lái)是漲還是跌？漲又能漲多少？跌又能跌多少？這只有知道每個(gè)正弦波的振幅和頻率才能知道。小時(shí)候看電視劇《大時(shí)代》，里面講炒股要追“勢(shì)”，將股票的波動(dòng)曲線析構(gòu)成一個(gè)個(gè)的“勢(shì)”的作用結(jié)果。通過(guò)對(duì)股票波動(dòng)曲線的研究，分析出每個(gè)“勢(shì)”的大小和周期，以此漲勢(shì)則買入，跌勢(shì)則賣出，無(wú)往不利。

然而單看這么一根根屌絲一樣的曲線，我是沒(méi)有辦法得到振幅和頻率的具體數(shù)值，我甚至連有幾個(gè)正弦波都看不出來(lái)。理論是美好的，現(xiàn)實(shí)是殘酷的，我斷然沒(méi)有這方面的才能，所以不敢踏入股市。就如同我知道一點(diǎn)點(diǎn)概率論的知識(shí)（投入值大于期望值八成會(huì)虧本），就不敢買彩票一樣。 加大正弦波的振幅，加快正弦波的頻率，可以生成類似下面這樣的圖像：



波動(dòng)圖

是不是感覺(jué)有點(diǎn)亂糟糟的，還可以更亂嗎？當(dāng)然可以！ 看看函數(shù)：y = fract(sin(x)*1000000.0)。fract是對(duì)實(shí)數(shù)忽略整數(shù)位只取小數(shù)位的操作。這個(gè)函數(shù)的圖像如下：



隨機(jī)圖

這個(gè)函數(shù)的用處就是為了生成隨機(jī)數(shù)。當(dāng)然真正大神寫的隨機(jī)數(shù)生成的函數(shù)是： y = fract(sin(x*12.9898)*43758.5453123)。

至于為什么設(shè)置12.9898和43758.5453123這兩個(gè)常數(shù)值，我也不知道呀！大神的思維不是我等凡人所能理解的，我只知道如果設(shè)置了其他數(shù)，生成的數(shù)值可能就不夠隨機(jī)了。 2

二維三維......

題目提到的方程是個(gè)二元方程，對(duì)應(yīng)的圖形是個(gè)二維圖形。我們先從簡(jiǎn)單的來(lái)講： 函數(shù)y = sin(x)擴(kuò)展到二維可以是z = sin(x) + sin(y),也可以是z = sin(x + y)，還可以是z = sin(x）*sin(y)、z = sin(x * y)。

每一個(gè)函數(shù)都是讓人頭暈?zāi)快?，憑我怎么去想，也想不清晰這些函數(shù)應(yīng)該是什么樣。

有一天晚上，我半夜醒來(lái)睡不覺(jué)，就閉著眼睛想z = sin(x) + sin(y)這個(gè)函數(shù)應(yīng)該是什么樣，這貨應(yīng)該是圓的還是方的呢？怎么都想不清楚，第二天早上，起來(lái)用程序畫了一下。OK，原來(lái)它是這個(gè)樣子的：



z = sin(x) + sin(y) 加點(diǎn)偽彩顏色后，看讓去不會(huì)那么讓人眼暈：



z = sin(x) + sin(y) 原來(lái)這貨是既圓又方，這圖像真讓人眩暈，如果那晚我能想象出這個(gè)函數(shù)的圖像，應(yīng)該會(huì)很快再度安然入睡。。 方程sin(x) + sin(y) = 1的圖像：



sin(x) + sin(y) = 1 方程sin(x) + sin(y) = 0的圖像：



sin(x) + sin(y) = 0 如果再增加一維，函數(shù)變?yōu)椋簑 = sin(x) + sin(y) + sin(z)，這就有點(diǎn)難畫了。

這是個(gè)三維函數(shù)，屬于體素?cái)?shù)據(jù)，是個(gè)實(shí)心的。

要看體素的內(nèi)部數(shù)值，可以使用體繪制，但我只有顯示其切片的辦法。當(dāng)然切片不一定是平面，可以用個(gè)曲面來(lái)切，將切到的數(shù)值以顏色的形式顯示出來(lái)。

下圖為用一個(gè)半徑為40的球體切割函數(shù)w = sin(x) + sin(y) + sin(z)，然后把數(shù)值轉(zhuǎn)化成灰度，得到的圖形：



w = sin(x) + sin(y) + sin(z) 灰度圖看著不爽，加點(diǎn)偽彩顏色瞧瞧：



w = sin(x) + sin(y) + sin(z) 球看著也不爽，既然z = sin(x) + sin(y)可以生成一個(gè)平面地形高度圖形，那么就可以用w = sin(x) + sin(y) + sin(z)生成一個(gè)星球高度圖形：



w = sin(x) + sin(y) + sin(z)



w = sin(x) + sin(y) + sin(z) 如果你們還想知道四元及以上的可視化效果，諸如：k = sin(x) + sin(y) + sin(z) + sin(w)，我也沒(méi)辦法啊！四維世界的險(xiǎn)惡，我做為三維世界的生物根本看不到，也想不懂。 3

sin(x2)+sin(y2)=1

話題回到問(wèn)題中的方程上。先看函數(shù)y = sin(x2)，我們可以很容易畫出它的圖像：



y = sin(x2) 然后將一元變量的函數(shù)擴(kuò)展到二元變量：z = sin(x2)+sin(y2) 可以將該函數(shù)以地形高度圖的方式進(jìn)行顯示：



正面



反面

然后用平面z = 1橫切該地形，就可以得到方程sin(x2)+sin(y2)=1的圖像：



sin(x2)+sin(y2)=1 不過(guò)我更愿意將z轉(zhuǎn)化成一個(gè)像素值而不是高度值，下圖為將z轉(zhuǎn)化成灰度值生成的一幅黑白圖像：



灰度圖 可以將z = 1的區(qū)域用紅色標(biāo)識(shí)一下：



灰色圖+勾勒sin(x2)+sin(y2)=1 既然是灰度值，就可以對(duì)其做偽彩調(diào)色，以生成更漂亮的彩色圖像：



偽彩圖1



偽彩圖2



偽彩圖3

再增加一維，函數(shù)變?yōu)椋簑 = sin(x2) + sin(y2) + sin(z2)。下圖為用一個(gè)半徑為10的球體切割得到的圖形：



w = sin(x2) + sin(y2) + sin(z2)



w = sin(x2) + sin(y2) + sin(z2)



w = sin(x2) + sin(y2) + sin(z2)



w = sin(x2) + sin(y2) + sin(z2) 最后，大家想不想看看方程sin(x2)+sin(y2)+sin(z2)=1的圖形效果？圖形中含有很多可愛(ài)的激凸喲！



數(shù)值范圍(-2.2, 2.2)



數(shù)值范圍(-3.3, 3.3)



數(shù)值范圍(-4.15, 4.15)



數(shù)值范圍(-10, 10)



數(shù)值范圍(-10, 10) 當(dāng)然也有方程sin(x2)+sin(y2)+sin(z2)=0的圖形效果，密集恐懼癥患者的福利：



數(shù)值范圍(-6, 6)



數(shù)值范圍(-10, 10)

審核編輯：劉清