周期信號(hào)的傅里葉變換和非周期信號(hào)的傅里葉變換有何關(guān)系？

我們從復(fù)指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)出發(fā)：

其中，f T (t)為周期信號(hào)，我們將周期T乘到右邊，得到：

從上一講我們知道，周期信號(hào)的幅度譜和相位譜是在kω 0 （k=0,±1,±2,……）上離散的點(diǎn)取值，那么，ω0也可以表示為離散點(diǎn)的間隔，記作?ω。同時(shí)從上述表達(dá)式可以看出，TCk是一個(gè)變量為kω0的函數(shù)（原因很簡(jiǎn)單，表達(dá)式是對(duì)t積分，積分完t就沒(méi)了，那么只有kω0這個(gè)變量），而kω0也可以記作k?ω，表達(dá)式可以換成：

當(dāng)T—>?時(shí)，f T (t) —>f(t)，而?ω—> dω，k?ω—> ω：

那么就可以得到傅里葉變換，即：

而從上述表達(dá)式轉(zhuǎn)化中可以看出，TCk是一個(gè)變量為k?ω的函數(shù)，那么當(dāng)T—>?時(shí)， TC k =C k /f，f—>0，即C(ω)為單位頻率的表達(dá)式，因此把C(ω)稱(chēng)之為頻譜密度函數(shù)，也就是我們常說(shuō)的頻譜函數(shù)。

我們?cè)倏锤道锶~逆變換：

我們從周期信號(hào)的復(fù)指數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)出發(fā)：

根據(jù)上面推導(dǎo)傅里葉變換的結(jié)論，上面表達(dá)式可以轉(zhuǎn)換為：

而?ω=2π/T，則：

當(dāng)T—>?時(shí)，f T (t) —>f(t)，?ω—> dω，k?ω—> ω，則可以得到傅里葉逆變換的表達(dá)式：

至此，傅里葉變換和傅里葉逆變換的表達(dá)式推導(dǎo)完畢。從推導(dǎo)過(guò)程可以看出，我們從傅里葉級(jí)數(shù)出發(fā)，利用了T—>?這個(gè)條件，C(ω)=C(k?ω) =TCk **，**從而推導(dǎo)出傅里葉變換，換句話(huà)說(shuō)，傅里葉變換是周期趨于無(wú)窮大的周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)。

接著我們看第二個(gè)問(wèn)題：傅里葉變換的物理意義。

我們還是從傅里葉變換和傅里葉級(jí)數(shù)的關(guān)系入手：

傅里葉變換：

傅里葉逆變換：

我們?cè)俳Y(jié)合傅里葉級(jí)數(shù)的表達(dá)式：

從上一篇可知，傅里葉級(jí)數(shù)的物理意義是：任意一個(gè)周期信號(hào)，都可以用該復(fù)指數(shù)函數(shù)集{e^jk^ ^ω0t^ }(k=0,±1, ±2,……)來(lái)表示；而Ck為f(t)在復(fù)指數(shù)函數(shù)集{e^jk^ ^ω0t^ } (k=0,±1, ±2,……)各個(gè)正交基的坐標(biāo)，即C~k~描述了各頻率分量kω ~0~ (k=0,±1, ±2,……)之間的相對(duì)關(guān)系，其中|C ~k~ |~ω的關(guān)系圖稱(chēng)為幅度譜，代表各頻率分量kω~0~ (k=0,±1, ±2,……)的絕對(duì)大小，? ~k~ ~ ω稱(chēng)為相位譜，代表各頻率分量kω~0~ (k=0,±1, ±2,……)的相對(duì)位置。

那么類(lèi)推可知， 傅里葉變換的物理意義是：任意一個(gè)非周期信號(hào)，都可以用復(fù)指數(shù)函數(shù)集{e^j^ ** ^ωt^ }** 來(lái)表示（其中ω無(wú)限趨近于0），而C(ω)為f(t)在復(fù)指數(shù)函數(shù)集{e^j^ ** ^ωt^ }** 各個(gè)正交基的坐標(biāo)，即C(ω)描述了各頻率分量之間的相對(duì)關(guān)系，其中| C(ω)|~ω的關(guān)系圖稱(chēng)為幅度譜，代表各頻率分量的絕對(duì)大小，? ω ~ ω稱(chēng)為相位譜，代表各頻率分量的相對(duì)位置。

兩者的區(qū)別用下圖表示，就一目了然了，由于非周期信號(hào)中的ω，是一個(gè)無(wú)限趨近于0的變量，反映在圖中，即每根正交基向量之間的間距無(wú)限小，這也再一次說(shuō)明了上面那個(gè)結(jié)論：傅里葉變換是周期趨于無(wú)窮大（頻率趨于無(wú)窮?。┑闹芷谛盘?hào)的傅里葉級(jí)數(shù)。

基于上面的物理意義，就很容易理解“ 非周期信號(hào)的頻譜是連續(xù)的，周期信號(hào)的頻譜是離散的 ”這句話(huà)的含義。

接下去看第三個(gè)問(wèn)題，周期信號(hào)的傅里葉變換和傅里葉級(jí)數(shù)之間的關(guān)系？

先了解三個(gè)典型信號(hào)的傅里葉變換對(duì)（利用傅里葉變換的表達(dá)式很容易推出，此處不詳細(xì)闡述）：

我們利用這三個(gè)典型信號(hào)的傅里葉變換對(duì)，從復(fù)指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)出發(fā)：

因?yàn)椋?/p>

因此：

從而可以得出周期信號(hào)的傅里葉變換：

我們知道，周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)是為了將周期信號(hào)從時(shí)域轉(zhuǎn)換成頻域進(jìn)行分析，也就是周期信號(hào)的頻譜，而周期信號(hào)的傅里葉變換也是將周期信號(hào)從時(shí)域轉(zhuǎn)換成頻域進(jìn)行分析。 那么從表達(dá)式上看，一個(gè)是Ck，一個(gè)是2****πCkδ(ω-kω 0 )，兩者完全不一樣，實(shí)際上是這樣的嗎？

我們仔細(xì)分析可知， δ(ω-kω 0 )其實(shí)就是在頻率為kω0的一系列沖激信號(hào)，也就是說(shuō)，周期信號(hào)的傅里葉變換2πCkδ(ω-kω 0 )只是在頻率為kω0才有數(shù)值，且數(shù)值為2πCk，其他頻率皆為0。而傅里葉級(jí)數(shù)Ck我們之前分析過(guò)它的幅度譜和相位譜，只是在kω0的地方才有數(shù)值，而兩者之間的幅度譜相差一個(gè)2π的倍數(shù)，就是之前推導(dǎo)傅里葉變換時(shí)，C k =C(ω) * ω/2π****而產(chǎn)生的，因此兩者雖然表達(dá)式不一樣，但本質(zhì)是一致的。

我們分析出周期信號(hào)傅里葉變換和傅里葉級(jí)數(shù)之間的關(guān)系后，就會(huì)不由自主地想到另外一個(gè)問(wèn)題：周期信號(hào)的傅里葉變換和非周期信號(hào)的傅里葉變換存在什么樣的關(guān)系呢？

分析這個(gè)問(wèn)題，我們可以從一個(gè)非周期信號(hào)入手，通過(guò)周期拓展的方式，將該非周期信號(hào)在時(shí)間T的周期內(nèi)進(jìn)行復(fù)制，從而得到一個(gè)周期信號(hào)，如下圖所示。

那么怎么進(jìn)行周期拓展呢？我們應(yīng)當(dāng)想到卷積中講到的信號(hào)的分解性質(zhì)，即一個(gè)信號(hào)可以分成自身和單位沖激信號(hào)的卷積。那么我們只要把單位沖激信號(hào)平移周期kT（k=1,2,3,……），再與原本信號(hào)進(jìn)行卷積，相當(dāng)于把該信號(hào)在周期kT上依次進(jìn)行復(fù)制，從而得到周期為T(mén)的信號(hào)。

因此我們可以得到：

根據(jù)δ(t-nT)和卷積的性質(zhì)，上式進(jìn)行傅里葉變換：

而C(ω)只是在kω0的點(diǎn)上有值，因此上式可以轉(zhuǎn)換為：

因此，我們從周期拓展的角度出發(fā)，同樣得到了周期信號(hào)的傅里葉變換，從上式可以發(fā)現(xiàn)， 一個(gè)信號(hào)在時(shí)域上進(jìn)行周期T拓展時(shí)，所對(duì)應(yīng)的頻譜函數(shù)只在kω0上有值，也就是說(shuō)在頻域上，頻譜函數(shù)是離散的， 從周期拓展的角度又一次佐證了 “ 非周期信號(hào)的頻譜是連續(xù)的，周期信號(hào)的頻譜是離散的 ”這句話(huà)。

最后放上自己的一點(diǎn)有趣的思考。

前面我們從復(fù)指數(shù)形式和周期拓展的形式分別得到了周期信號(hào)的傅里葉變換，因?yàn)樾盘?hào)是同一個(gè)信號(hào)，因此兩者的傅里葉變換應(yīng)該相同，因此，我們得出：

進(jìn)一步化簡(jiǎn)可知：

此處我們得到了周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換的關(guān)系，**即傅里葉級(jí)數(shù)是非周期傅里葉變換在kω 0 **上的取值。

而我們文章一開(kāi)始推導(dǎo)傅里葉變換的時(shí)候，用到的條件之一即為：

我們從傅里葉級(jí)數(shù)出發(fā)，利用這個(gè)條件推導(dǎo)出非周期信號(hào)的傅里葉變換，繼而推導(dǎo)出周期信號(hào)的傅里葉變換，最后利用周期信號(hào)的傅里葉變換又反推導(dǎo)回傅里葉級(jí)數(shù)。