傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析(2)

傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析

傅里葉級數(shù)

由信號的分解可知，周期信號f(t)在區(qū)間(t0,t0+T)可以展開成在完備正交信號空間的無窮級數(shù)。如果完備的正交函數(shù)集是三角函數(shù)集或指數(shù)函數(shù)集，那么，周期信號所展開的無窮級數(shù)就分別稱為"三角型傅里葉級數(shù)"或"指數(shù)型傅里葉級數(shù)"，統(tǒng)稱傅里葉級數(shù)。

需要指出，只有當(dāng)周期信號滿足狄利克雷條件時，才能展開成傅里葉級數(shù)。

狄利克雷條件：1、函數(shù)在任意區(qū)間內(nèi)連續(xù)，或只有有限個第一類間斷點(可去間斷點和跳躍間斷點)。2、在一個周期內(nèi)，函數(shù)有有限個極大值或極小值。(條件的意義是使函數(shù)的傅里葉級數(shù)不僅收斂，并且收斂于f(x)。)

周期信號的分解

設(shè)有周期實信號f(t)，它的周期是T，角頻率Ω=2πF=2π/T,

它可分解為

式中的系數(shù)an，bn稱為傅里葉系數(shù)，它們的求法如下

式中T為函數(shù)的周期，Ω=2π/T為角頻率，由上式可見，an和bn都是n(或nΩ)的函數(shù)，其中an是n(或nΩ)的偶函數(shù)，bn是(或nΩ)的奇函數(shù)，a0/2為直流分量。

通過輔助角公式將三角式合并即可得諧波式

式中

可見任意滿足狄利克雷條件周期信號是由各次諧波分量組成的。

奇、偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)

SIMPLE LIFE

注：1、奇函數(shù)乘以奇函數(shù)為偶函數(shù)；奇函數(shù)乘以偶函數(shù)為奇函數(shù)；偶函數(shù)乘以奇函數(shù)為奇函數(shù)。

2、奇函數(shù)在一個周期的積分為零；偶函數(shù)在一個周期內(nèi)的積分等于其半個周期積分的兩倍。

(1)f(t)為偶函數(shù)

若函數(shù)f(t)是時間t的偶函數(shù)，那么an和bn的求法便可進行化簡。

(2)f(t)為奇函數(shù)

若函數(shù)f(t)是時間t的奇函數(shù)，那么an和bn的求法便可進行化簡。

實際上，任意函數(shù)都可以分解為奇函數(shù)和偶函數(shù)兩部分，即

(3)f(t)為奇諧函數(shù)

如果函數(shù)f(t)的前半周期波形移動T/2后，與后半周期波形相對于橫軸對稱，則這種函數(shù)稱為半波對稱函數(shù)或奇諧函數(shù)。

其傅里葉級數(shù)展開式中將只含奇次諧波分量而不含偶次諧波分量，即

傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式

周期信號分解時，如果使用的完備正交函數(shù)集是復(fù)指數(shù)集，那么周期信號所展開的無窮級數(shù)就稱為指數(shù)型傅里葉級數(shù)，即

Fn是指數(shù)型傅里葉級數(shù)的系數(shù)，它的求法為

其中Fn為復(fù)數(shù)，可表示為