巴特沃斯之過(guò)濾器介紹

過(guò)渡介質(zhì)從通帶到阻帶的陡峭度為代價(jià)，該巴特沃茲濾波器將在輸出信號(hào)中提供平坦的響應(yīng)。因此，它也被稱為最大平坦幅度濾波器。

濾波器的衰減響應(yīng)率由電路中的極數(shù)決定。極數(shù)將取決于電路中電抗元件的數(shù)量，即電路中使用的電感器或電容器的數(shù)量。

n階巴特沃茲濾波器的幅度響應(yīng)如下：

Vout/Vin=1/√{1+(f/fc)2n}

其中“n”是電路中的極數(shù)。隨著“n”的值增加，濾波器響應(yīng)的平坦度也會(huì)增加。

“f”=電路的工作頻率，“f”c'=電路的中心頻率或截止頻率。

這些濾波器具有預(yù)先確定的考慮因素，其應(yīng)用主要在較高頻率的有源RC電路中。盡管它不能提供尖銳的截止響應(yīng)，但它通常被認(rèn)為是許多應(yīng)用中使用的全能濾波器。

巴特沃斯近似

眾所周知，為了滿足濾波器響應(yīng)的考慮并具有接近理想濾波器的近似值，我們需要具有更高階濾波器。這將增加復(fù)雜性。

我們還知道低通和高通電路的輸出頻率響應(yīng)和相位響應(yīng)。理想的濾波器特性是最大平坦度、最大通帶增益和最大阻帶衰減。

要設(shè)計(jì)濾波器，需要適當(dāng)?shù)膫鬟f函數(shù)。為了滿足這些傳遞函數(shù)，在模擬濾波器設(shè)計(jì)中進(jìn)行了數(shù)學(xué)推導(dǎo)，具有許多近似函數(shù)。

在這樣的設(shè)計(jì)中，巴特沃斯濾波器是濾波器類型之一。低通巴特沃茲設(shè)計(jì)考慮主要用于許多功能。稍后我們將討論歸一化低通巴特沃茲濾波多項(xiàng)式。

一階低通巴特沃茲****濾波器

下面的電路顯示了低通巴特沃茲濾波器。

巴特沃茲濾波器所需的通帶增益主要取決于“R1”和“Rf”的電阻值，濾波器的截止頻率將取決于上述電路中的R和C元件。

濾波器的增益為A_max=1+R1/Rf

電容器“C”的阻抗由-jX給出C電容器兩端的電壓為：

Vc=–jXC/(R–jXC)*Vin.

WhereXC=1/(2πfc),capacitiveReactance.

極性濾波器的傳遞函數(shù)由下式給出

H(jω)=|Vout/Vin|∟?

其中濾波器的增益Vout/Vin=Amax/√{1+(f/fH)2}

Andphaseangle?=–tan-1(f/fH)

在較低頻率下意味著當(dāng)工作頻率低于截止頻率時(shí)，通帶增益等于最大增益。

Vout/Vin=Amaxi.e.constant.

在較高頻率下意味著當(dāng)工作頻率高于截止頻率時(shí)，增益小于最大增益。

Vout/Vin

當(dāng)工作頻率等于截止頻率時(shí)，傳遞函數(shù)等于Amax/√2。增益的下降速率為20dB/十倍頻程或6dB/倍頻程，在響應(yīng)斜率中可以表示為-20dB/倍頻程。

二階低通巴特沃茲濾波器

連接到一階巴特沃茲濾波器的附加RC網(wǎng)絡(luò)為我們提供了二階低通濾波器。這種二階低通濾波器的優(yōu)點(diǎn)是，增益在截止頻率之后（在阻帶內(nèi)）滾降得非?？?。

在該二階濾波器中，截止頻率值取決于兩個(gè)RC部分的電阻和電容值。截止頻率使用以下公式計(jì)算。

fc=1/（2π√R2C2)

增益以40dB/十倍頻程的速率滾降，該響應(yīng)以斜率-40dB/十倍頻程顯示。濾波器的傳遞函數(shù)可以給出為

Vout/Vin=Amax/√{1+(f/fc)4}

二階濾波器傳遞函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式如下：

Vout/Vin=Amax/s2+2εωns+ωn2

其中ωn=振蕩的固有頻率=1/R2C2

ε=阻尼系數(shù)=（3–A.max)/2

對(duì)于二階巴特沃茲濾波器，所需的中間項(xiàng)是sqrt（2）=1.414，從歸一化巴特沃斯多項(xiàng)式為

3–A.max=√2=1.414

為了獲得安全的輸出濾波器響應(yīng)，增益必須A.max是1.586。

高階巴特沃茲濾波器是通過(guò)級(jí)聯(lián)一階和二階巴特沃茲濾波器獲得的。這可以顯示如下：

其中n和bn是預(yù)先確定的濾波器系數(shù)，用于生成所需的傳遞函數(shù)。

巴特沃茲濾波器的理想頻率響應(yīng)

輸出響應(yīng)的平坦度隨著濾波器階數(shù)的增加而增加。下面給出了不同階次的巴特沃茲濾波器的增益和歸一化響應(yīng)。

歸一化低通巴特沃茲濾波多項(xiàng)式

歸一化是電壓、電流或阻抗除以同一測(cè)量單位的數(shù)量的過(guò)程。此過(guò)程用于制作特定值的無(wú)量綱范圍或水平。

濾波傳遞函數(shù)的分母多項(xiàng)式給了我們巴特沃斯多項(xiàng)式。如果我們考慮半徑相等的圓上的s平面，其中心位于原點(diǎn)，那么巴特沃茲濾波器的所有極點(diǎn)都位于該s平面的左半部分。

對(duì)于任何階濾波器，“s”的最高冪的系數(shù)應(yīng)始終為1，對(duì)于任何階濾波器，常量項(xiàng)應(yīng)始終為1。對(duì)于偶數(shù)階濾波器，所有多項(xiàng)式因子本質(zhì)上都是二次的。對(duì)于奇階濾波器，除一階濾波器外，所有多項(xiàng)式都是二次的，對(duì)于一階濾波器，多項(xiàng)式為1+s。

系數(shù)形式的巴特沃茲多項(xiàng)式如下表所示。

n階巴特沃茲濾波器的傳遞函數(shù)如下給出

H（jω）=1/√{1+ε2（ω/ωc)2n}

其中n是篩選器的順序

ω是弧度頻率，等于2πf

ε是最大通帶增益Amax

巴特沃茲低通濾波器示例

我們考慮截止頻率為15.9kHz、通帶增益為1.5、電容C=0.001μF的巴特沃茲低通濾波器。

fc=1/2πRC

15.9103=1/{2πR10.001*10-6}

R=10kΩ

Amax=1.5andassumeR1as10k?

Amax=1+{Rf/R1}

Rf=5k?

三階巴特沃茲低通濾波器

一階和二階巴特沃斯濾波器的級(jí)聯(lián)連接得到三階巴特沃斯濾波器。三階巴特沃茲濾波電路如下所示。

對(duì)于三階低通濾波器，給定歸一化低通巴特沃茲多項(xiàng)式的多項(xiàng)式為（1+s）（1+s+s2）。此過(guò)濾器包含三個(gè)未知系數(shù)，它們是0一個(gè)1一個(gè)2.

這些系數(shù)值為0=1，a1=2和a2=2。與一階濾波器相比，該三階巴特沃茲濾波器的曲線平坦度增加。