理論物理學中的一個重要數(shù)學函數(shù)

在這篇文章中，我想談一個在物理研究中非常重要的想法，它實際上是一個數(shù)學函數(shù)，稱為狄拉克δ函數(shù)。在x等于0時，δ函數(shù)的值非常大，它是無限大。而在x不等于0的其他地方，δ函數(shù)的值恒等于0。換句話說，δ函數(shù)是一個無限薄且無限大的尖峰。在我們討論δ函數(shù)在物理學中的用途之前，我們要先看看δ函數(shù)的一些數(shù)學特性。

回想一下，對于一般函數(shù)，我們是如何求解它的函數(shù)圖像與x軸之間的面積的？大多數(shù)函數(shù)不是由簡單的形狀組成的，但我們可以想象將這個區(qū)域分成許多小塊，通過將其視為矩形或梯形來找到每個小塊的面積，然后將它們?nèi)肯嗉拥玫娇偟拿娣e，這就是我們對函數(shù)進行積分的意思。

考慮到x等于0時，δ函數(shù)的寬度為零，它的下方?jīng)]有任何面積。但它的高度是無限的，所以我們給了它一個定義，這個函數(shù)下的面積最終是有限的，它的面積為1。

δ函數(shù)實際上不需要專門在x等于0時處于尖峰，我們實際上可以將尖峰移動到不同的位置。如果我們?nèi)∫蜃兞縳，然后從中減去一些量（假設是 a），則δ(x-a)的函數(shù)圖像將移動相同的量a，然后這個函數(shù)在x等于a就處于峰值。

這個性質(zhì)很要的原因是，我們現(xiàn)在可以采用另一個函數(shù)，比如說正弦函數(shù)sin(x)，然后將它與δ(x-a)想成，最后再對其進行積分，那么我們最終得到的是函數(shù)的值sin(a)：。換句話說，當以這種方式使用δ函數(shù)時，可以用來挑選任何函數(shù)的特定值。

關于δ函數(shù)的數(shù)學屬性已經(jīng)足夠了，那么它在物理學中是如何被使用的？盡管這些無窮大并沒有真正出現(xiàn)在現(xiàn)實生活中，但理論物理學中卻充滿了它們的身影。例如，為了簡單起見，我們經(jīng)常將粒子視為一個點。這意味著，我們假設像電子這樣的小粒子的質(zhì)量，集中在粒子正中心的一個點上，這個點被稱為質(zhì)心。

以類似的方式，我們說該電荷集中在一個非常小的點上。事實上，無限小是為了使我們所有的計算變得更容易，而不是必須處理分布在一個小但有限的空間上的電荷。所以在這里，我們就可以使用δ函數(shù)對這樣的想法進行數(shù)學編碼。

首先，我們考慮的不是粒子的電荷q，而應該是電荷密度ρ。電荷密度是我們在每單位體積中找到的電荷量ρ=q/v，用更正確的方式來說，它實際上是電荷變化dq相對于體積dv的變化率：ρ=dq/dv?，F(xiàn)在，我們可以通過這個逆過程，來找到粒子的電荷：q=∫ρdv。

對此的物理解釋是，粒子的電荷可以通過找出空間區(qū)域中每個微小體積有多少電荷來給出。我們將電荷密度乘以每個微小體積，得到在此體積中的電荷，然后我們將所有這些電荷相加得到總電荷：q=dq?+dq?+……

但請記住，對于一個簡單的粒子，我們假設電荷實際上根本沒有分布，而是全部在一個點上找到，所以電荷密度用上述所說的定義是不太方便的。事實上，我們可以用δ函數(shù)來定義，比如在x=a處：ρ=qδ(x-a)。為什么要這樣做呢，讓我們將其代回積分方程看看會發(fā)生什么。

前面我們已經(jīng)介紹過δ函數(shù)的屬性，在這種情況下積分時，δ函數(shù)會選出與其相乘的函數(shù)的值，所以q=∫ρdv=∫qδ(x-a)dv=q(a)。從數(shù)學上講，我們只是用δ函數(shù)對q進行編碼。但從物理上來講，δ函數(shù)可以幫助我們在帶電粒子實際所在的空間點上找出它。

總結(jié)一下，當我們處理帶電粒子時，它們與我們通常習慣的尺度相比是如此之小。當我們必須進行詳細的計算時，我們假設粒子可能無限小并且僅定位于空間中的一個點。在大多數(shù)情況下，我們直接使用δ函數(shù)是非常合適的，它會使得事情變得更簡單。

δ函數(shù)在物理學中還有很多應用，舉一個生活中比較常見的例子。踢足球的時候，我們的腳在會在短時間內(nèi)對物體進行作用。這時候，我們就可以使用δ函數(shù)。只不過，這次不像粒子那樣在空間中定位電荷，而是在時間上定位某個屬性。