你了解奈奎斯特圖中的截止頻率嗎？

我們看到系統(tǒng)的頻率響應(yīng)可以用極坐標(biāo)圖表示，其曲線表示頻率從零到無(wú)窮大變化的幅度和相位。我們稱之為奈奎斯特圖（或奈奎斯特圖），它是更常見(jiàn)的波德圖的有趣替代品。它提供了我們可以從一階濾波器的奈奎斯特圖中提取的一般信息。

截止頻率的重要性

上圖不包括一條非常重要的信息，即濾波器的截止頻率。一階低通濾波器的s域傳遞函數(shù)可表示如下：

這個(gè)公式告訴我們，一個(gè)給定的低通濾波器的唯一的顯著特點(diǎn)是和ωo。參數(shù)K是濾波器的低頻增益。無(wú)源元件沒(méi)有能力放大的信號(hào)，所以，如果我們只關(guān)心RC一階低通濾波器，我們可以忽略，因?yàn)樗肋h(yuǎn)是1，其余參數(shù)ωo是截止頻率。因此，我們可以簡(jiǎn)單地通過(guò)指定截止頻率來(lái)完整地描述RC低通濾波器。

找到截止頻率

奈奎斯特曲線肯定沒(méi)有我們從波德圖中很好地了解到的典型的衰減特性，事實(shí)上，奈奎斯特圖并沒(méi)有給出關(guān)于濾波器電路截止頻率的具體信息。然而，檢查截止頻率和奈奎斯特曲線之間的關(guān)系是加強(qiáng)截止頻率概念的一種好方法，它也將使我們對(duì)奈奎斯特方法在視覺(jué)上描繪頻率響應(yīng)的局限性有所了解。首先，我們需要考慮關(guān)于幅度響應(yīng)和相位響應(yīng)的截止頻率實(shí)際發(fā)生的情況。

通過(guò)幅度的截止頻率

你可能知道截止頻率的另一個(gè)名稱是3db（或-3db）頻率，這提醒我們，當(dāng)輸入頻率為ωo時(shí)，一階低通濾波器提供3db的衰減（或相當(dāng)于-3db的增益）。我們?cè)谀慰固貓D中不使用分貝，因此代替為-3db，使用相應(yīng)的振幅比即1/√2。當(dāng)我們處理極坐標(biāo)圖時(shí)，我們應(yīng)該始終注意三角形；例如，復(fù)數(shù)的大小是確定的，就好像它是直角三角形的斜邊，直角三角形的兩條邊是實(shí)部和虛部，我們使用三角法來(lái)計(jì)算復(fù)數(shù)。既然你在考慮三角形，那么系數(shù)1/√2有什么想法嗎？

如上圖所示，當(dāng)一個(gè)直角三角形有兩條等長(zhǎng)的邊時(shí)，就需要用到因子√2。如果我們把邊的長(zhǎng)度減到0.5，斜邊的長(zhǎng)度就是√2×0.5，也就是1/√2。

那么，這意味著什么？考慮以下奈奎斯特圖：

這是一階低通濾波器的奈奎斯特圖。請(qǐng)注意，沒(méi)有包括與負(fù)頻率對(duì)應(yīng)的曲線部分。

如你所見(jiàn)，濾波器在曲線的最低點(diǎn)有1/√2的增益，其中實(shí)部分量的絕對(duì)值等于虛部分量的絕對(duì)值，這是一階低通濾波器奈奎斯特圖中截止頻率的位置。同樣的關(guān)系也適用于一階高通濾波器，但在這種情況下，截止頻率在曲線的最高點(diǎn)：

不同之處在于，隨著頻率的增加，高通濾波器的相移從+ 90°變化到0°，而低通濾波器的相位在0°到-90°之間變化。因?yàn)榻嵌仁菑恼龑?shí)軸逆時(shí)針測(cè)量的，所以在實(shí)軸上方繪制正相移，在實(shí)軸下方繪制負(fù)相移。另請(qǐng)注意，兩個(gè)圖的箭頭指向相反的方向：在低通圖中，箭頭指向原點(diǎn)，因?yàn)殡S著頻率的增加，增益會(huì)減?。辉诟咄▓D中，它指向遠(yuǎn)離原點(diǎn)，因?yàn)殡S著頻率的增加，增益會(huì)增加。

通過(guò)相移實(shí)現(xiàn)截止頻率

如果我們回想起由一階濾波器產(chǎn)生的90°相移以截止頻率為中心，我們也可以在奈奎斯特圖中找到截止頻率。換句話說(shuō)，在相移ωo是+ 45°或-45°。在復(fù)平面中繪制的矢量在其實(shí)部和虛部具有相等的絕對(duì)值時(shí)將具有+ 45°或-45°的角度，這導(dǎo)致我們從幅度響應(yīng)的角度考慮截止頻率時(shí)發(fā)現(xiàn)的相同幾何關(guān)系。

奈奎斯特圖中截止頻率的總結(jié)

你可能已經(jīng)注意到，這些奈奎斯特圖中截止頻率的位置是純幾何的。你不能將固定頻率值附加到該位置，因?yàn)槊總€(gè)一階低通濾波器或每個(gè)一階高通濾波器的位置都相同。奈奎斯特圖顯然不是波特圖的替代品；然而，它是一種更直接的方式來(lái)傳達(dá)有關(guān)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的信息，正如我們將在之后的文章中看到的那樣，它是穩(wěn)定性分析中的一個(gè)方便工具。