T-Coil的原理和應(yīng)用

曾經(jīng)T-Coil被用于商業(yè)機(jī)密隱藏了數(shù)十年，后來(lái)技術(shù)被公開，可以看到這個(gè)技術(shù)的確是一個(gè)非常令人震驚的技術(shù)，本篇文章分析了T-Coil的原理和應(yīng)用，并且將功能全部集成在小程序中。

T-Coil設(shè)計(jì)

背景

T-Coil技術(shù)首先由Ginzton于1948年首次提出，目的是改善分布式放大器的匹配，比較有趣的是這篇文章的署名有HP的創(chuàng)始人之一Hewlett，但是這項(xiàng)技術(shù)被Tek的工程師所發(fā)掘，并且用在了示波器的前端，作為HP的商業(yè)競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手保守技術(shù)秘密數(shù)十年，直到1960年代才由Tek工程師公開。

如下是摘自上面的一段話：

Tek felt, rightly, that having the T-coil equations for the lossy, asymmetrical case was equivalent to having nukes when everyone else only had rocks and pointy sticks, so they kept this knowledge as a trade secret. The T-coil was one important bit of magic that allowed Tektronix to maintain such a lead on everybody else, because they could get double or triple the gain-bandwidth product out of an amplifier just by adding a capacitor and a pair of coupled inductors in the right place.

Tek公司感到，擁有掌握了帶損耗、非對(duì)稱情況的T-線圈方程等同于在其他人在刀耕火種時(shí)擁有了核武器，因此他們將這一技術(shù)保守為商業(yè)機(jī)密。T-線圈是使Tek公司保持領(lǐng)先地位的重要法寶之一，因?yàn)樗麄冎恍柙谡_的位置添加一個(gè)電容和一對(duì)耦合電感，就可以將放大器的增益-帶寬積提高一倍或三倍。

這里有一個(gè)很有意思的發(fā)展史，T-Coil技術(shù)由Tek工程師John Addis和BOB ROSS發(fā)展，并且借助我國(guó)的最早在國(guó)際刊物上發(fā)表數(shù)學(xué)論文的學(xué)者王季同(K. T. Wang, 1875-1948, 其兒女個(gè)個(gè)都是著名大家)的王氏代數(shù)(Wang Algebra)解決了T-Coil公式的推導(dǎo)。

T-Coil

T-Coil實(shí)際上是一個(gè)特殊的橋T網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)拓?fù)淙缦拢和負(fù)涞淖冃蝿?dòng)畫，由橋T-->H橋-->格型網(wǎng)絡(luò)；

說(shuō)到這里就不得不提一嘴Zobel網(wǎng)絡(luò)，Zobel網(wǎng)絡(luò)是一種均衡器，其特點(diǎn)是輸入阻抗是恒定的，T-Coil的設(shè)計(jì)精髓也在這里，就是其輸入阻抗在全頻段為恒阻。所以只需要解這個(gè)網(wǎng)絡(luò)，這里有兩種計(jì)算策略： 1，計(jì)算輸入阻抗為恒定值

2，計(jì)算D支路器件的輸出電壓，假設(shè)D支路負(fù)載阻抗為

在T-Coil設(shè)計(jì)中，上述傳輸函數(shù)是個(gè)4階系統(tǒng)，可以通過(guò)零極點(diǎn)抵消的方式，將變?yōu)橐粋€(gè)2階系統(tǒng)。而T-Coil就是這拓?fù)錇槿缦缕骷碾娐方Y(jié)構(gòu):

對(duì)稱(Symmetric)T-Coil

當(dāng)上圖的時(shí)就是對(duì)稱T-Coil，按1計(jì)算得到：

公式中有有兩個(gè)未知數(shù)和，所以，有一個(gè)自由度設(shè)計(jì)參數(shù)。這里有3種不同的設(shè)計(jì)約束：

1.從電容上輸出，即，優(yōu)化目標(biāo)是低通帶寬最大

2.從電阻上輸出，即，優(yōu)化目標(biāo)是全通(恒阻)

3.優(yōu)化輸入匹配，使得輸入端口阻抗恒定

從輸出，可以得到一個(gè)低通特性：

這是一個(gè)2個(gè)極點(diǎn)的低通濾波器，既然是濾波器，那么我們就可以依據(jù)來(lái)構(gòu)造出不同濾波器類型：

當(dāng)時(shí)，是Butterworth低通濾波器(同時(shí)T-Coil有最大帶寬，帶寬是純RC網(wǎng)絡(luò)的2.828倍);

當(dāng)時(shí)，是Bessel低通濾波器;

當(dāng)時(shí)，是無(wú)過(guò)沖的低通濾波器(對(duì)應(yīng)二階系統(tǒng)臨界阻尼);

以下是這幾種濾波器的繪圖：

對(duì)于從輸出，這時(shí)傳遞函數(shù)為一個(gè)全通濾波器(All-pass Filter)：

這意味著從輸入端看過(guò)去，是看不到電容的，即電容被T線圈中和了，這是由于電容所帶來(lái)的兩個(gè)極點(diǎn)剛好在平面的對(duì)稱位置上由T線圈引入了兩個(gè)零點(diǎn)，這樣零點(diǎn)矢量幅度和極點(diǎn)矢量幅度相等。

注意，T-Coil的帶寬擴(kuò)展能力(BWER, Bandwidth enhancement ratio)注意其前提條件，是電流輸入系統(tǒng)中才有2.828倍的帶寬提升，但是當(dāng)在50歐姆匹配的系統(tǒng)中，帶寬只有1.414倍提升。

非對(duì)稱(Asymmetric)T-Coil

非對(duì)稱T-Coil，即，情況就會(huì)變得復(fù)雜起來(lái)，還是按照上面的思路，一個(gè)是從輸出，帶寬最大，代表是，理論推導(dǎo)證明帶寬可以無(wú)窮大！另外是輸入全頻帶恒定阻抗匹配，代表是BOB ROSS的恒阻設(shè)計(jì)。

僅最大化帶寬

文獻(xiàn)中提到并沒有封閉表達(dá)式，只能通過(guò)數(shù)值計(jì)算才能進(jìn)行設(shè)計(jì)。通過(guò)一些處理，實(shí)際上是存在封閉表達(dá)式的，在這里，不能讓輸入阻抗恒定來(lái)設(shè)計(jì)了(這意味著非對(duì)稱T-Coil從輸出不是全通)，只能讓傳輸函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)和兩個(gè)極點(diǎn)抵消來(lái)計(jì)算，這樣最終傳輸函數(shù)是個(gè)二階的，即最終傳輸函數(shù)為：

上式是是阻尼系數(shù)，其實(shí)和極點(diǎn)位置密切相關(guān)，不同的對(duì)應(yīng)不同的濾波器類型，比如就對(duì)應(yīng)巴特沃斯濾波器類型，就對(duì)應(yīng)貝塞爾濾波器類型，就對(duì)應(yīng)無(wú)過(guò)沖的臨界阻尼狀態(tài)，令：

整理如下，以下是得到公式：

以下是其他參數(shù)：

這種非對(duì)稱T-Coil有什么優(yōu)點(diǎn)呢？其優(yōu)點(diǎn)就是帶寬拓展功能變得更加強(qiáng)大，理論上帶寬可以拓展到無(wú)窮(印度老哥發(fā)現(xiàn)的)，實(shí)際上從上面的公式也可以看出，當(dāng)越接近于，那么帶寬越大，上式可以驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，和對(duì)稱T-Coil推導(dǎo)一致。下圖是T-Coil帶寬擴(kuò)展(BWER)能力隨b的變化情況，當(dāng)減小，帶寬拓展能力迅速上升。

上述公式需要用戶預(yù)先給定的參數(shù)有，當(dāng)時(shí)對(duì)應(yīng)對(duì)稱T-Coil，當(dāng)時(shí)為非對(duì)稱T-Coil。

恒阻+2極點(diǎn)設(shè)計(jì)

BOB ROSS所設(shè)計(jì)的非對(duì)稱T-Coil主要考慮實(shí)際電路寄生，然后從全通角度出發(fā)來(lái)優(yōu)化參數(shù)，優(yōu)點(diǎn)是電路駐波性能優(yōu)越，帶寬也得到提升，考慮到T線圈到負(fù)載電容之間有寄生電阻，其中一個(gè)分析如下：

先通過(guò)恒定電阻設(shè)計(jì)，由Matlab符號(hào)計(jì)算：

%--------------------------------------------------------------------------
% Edited by bbl
% Date: 2023-09-09(yyyy-mm-dd)
% ross constant-resistance T-Coil
% 1, for constant resistance
%--------------------------------------------------------------------------
syms C_b L_a L_b L_m C R s w_n eta b R_s
A  = 1/(s*C_b);
B  = s*L_a;
CC = s*L_b;
D  = s*L_m+R_s+1/(s*C);
E  = R;
Z = A*B*(CC+D+E)+A*CC*(D-E)-E^2*(A+B+CC);
FF0 = collect(Z,'s');
[nn, dd] = numden(FF0);
FF1 = collect(nn,s);
coef = coeffs(FF1, s);
y = solve(coef(1)==0, coef(2)==0, coef(3)==0, L_b, L_m, L_a);
kk = 1;
L_a = simplify(y.L_a(kk))%L_a =(C*R*(R - R_s))/2
L_b = simplify(y.L_b(kk))%L_b =(C*R*(R + R_s))/2
L_m = simplify(y.L_m(kk))%L_m =C_b*R^2 - (C*R^2)/4 + (C*R_s^2)/4=C_b*R^2-L_a*L_b/(L_a+L_b)

運(yùn)行得到：

再由恒阻約束解輸出函數(shù)為2階系統(tǒng)：

%--------------------------------------------------------------------------
% Edited by bbl
% Date: 2023-09-09(yyyy-mm-dd)
% ross constant-resistance T-Coil
% 1, for constant resistance
% 2, for zeros cancellation
%--------------------------------------------------------------------------
syms C_b L_a L_b L_m C R s w_n zeta b R_s
A   = 1/(s*C_b);
B   = s*L_a;
CC  = s*L_b;
D   = s*L_m+R_s+1/(s*C);
E   = R;
Z_D = 1/(s*C);
F = Z_D*(CC*A+E*A+E*B+E*CC)/(CC*A+CC*B+D*A+D*B+D*CC+E*A+E*B+E*CC);
FF0 = collect(F,'s');
[nn, dd] = numden(FF0);
FF = dd*w_n^2*R - nn*(s^2+2*zeta*w_n*s+w_n^2);
FF1 = collect(FF,s);
coef = coeffs(FF1, s);
Nf1 = collect(factor(coef(1)));
Nf2 = collect(factor(coef(2)));
Nf3 = collect(factor(coef(3)));
Nf4 = collect(factor(coef(4)));
NCR1 = L_a - (C*R*(R - R_s))/2;
NCR2 = L_b - (C*R*(R + R_s))/2;
NCR3 = L_m - C_b*R^2 + L_a*L_b/(L_a+L_b);
y = solve(Nf1(end)==0,Nf2(end)==0, Nf3(end)==0,Nf4(end)==0,NCR1==0,NCR2==0,NCR3==0, L_a, L_b, L_m, C_b, w_n);
kk = 1;
L_a  = simplify(y.L_a(kk))% L_a = (C*R*(R - R_s))/2
L_b  = simplify(y.L_b(kk))% L_b = (C*R*(R + R_s))/2
L_m  = simplify(y.L_m(kk))% L_m = (C*(R + R_s)*(R + R_s - 4*R*zeta^2 + 4*R_s*zeta^2))/(16*zeta^2)
w_n  = simplify(y.w_n(kk))% w_n = (4*zeta)/(C*(R + R_s))
C_b  = simplify(y.C_b(kk))% C_b = (C*(R + R_s)^2)/(16*R^2*zeta^2)

運(yùn)行得到：

這組公式和BOB ROSS計(jì)算的一致，當(dāng)時(shí)，其公式和對(duì)稱T-Coil一致.其中的表示當(dāng)時(shí)的帶寬，如果，那么需要使用如下公式計(jì)算帶寬:

T.T.True專利

在1960年T.T.True提出了另外一種非對(duì)稱T-Coil電路結(jié)構(gòu)，如下：

按上述方法計(jì)算得到：

T-Coil統(tǒng)一公式

當(dāng)然上述討論的T-Coil和實(shí)際應(yīng)用比較還隔著一些寄生參數(shù)。另外T-Coil本身還具有寄生電阻，負(fù)載也有寄生電阻，所以綜合下來(lái)就涌現(xiàn)出來(lái)非常多的T-Coil的變種，BOB ROSS在最新論文中總結(jié)了所有類型的T-Coil，并且發(fā)表了預(yù)印本(本公眾號(hào)已經(jīng)將本文翻譯為中文《王氏代數(shù)：從理論到實(shí)踐》)：

總共有八種不同的情況，小程序中集成了這8種電路結(jié)構(gòu)，可以直接輸入?yún)?shù)進(jìn)行計(jì)算。

這里給出通用對(duì)稱和非對(duì)稱的matlab計(jì)算結(jié)果(若對(duì)Matlab符號(hào)計(jì)算感興趣的同學(xué)可以下載，源碼提供了直接符號(hào)計(jì)算T線圈的公式推導(dǎo)過(guò)程)：

對(duì)稱T-Coil

對(duì)于:

對(duì)于:

非對(duì)稱T-Coil

對(duì)于:

對(duì)于，同之前BOB ROSS推導(dǎo)的公式。

上式中的表示從輸出的電壓增益。

Tips

對(duì)于T-Coil的應(yīng)用應(yīng)該注意其應(yīng)用場(chǎng)景，比如在50歐姆系統(tǒng)中，并且從輸出，那么帶寬展寬就沒有2.828了，實(shí)際上只有1.414！這是由于在50歐姆系統(tǒng)中，負(fù)載和源阻抗并聯(lián)后就只有原來(lái)的一半的電阻了，所以RC帶寬也就升高了為原來(lái)的2倍。所以T-Coil帶寬擴(kuò)展效應(yīng)在電流源輸入的場(chǎng)景下會(huì)更有優(yōu)勢(shì)。

當(dāng)然在50歐姆系統(tǒng)中，從輸出就另當(dāng)別論了，這時(shí)系統(tǒng)是全通的，所以從這點(diǎn)上來(lái)說(shuō)T-Coil可以用來(lái)屏蔽線路上的電容，這是非常有吸引力的一個(gè)特性。

T-Coil的恒阻特性非常有用，尤其在對(duì)VSWR有較高要求的地方都可以考慮使用T-Coil.

T-Coil應(yīng)用

T-Coil的主要應(yīng)用有：

行波放大器或?qū)拵Х糯笃?/p>

高速IO的ESD設(shè)計(jì)

傳輸線線路多點(diǎn)端接

小程序?qū)崿F(xiàn)

小程序可以計(jì)算以上討論的所有T-Coil類型，如下所示：

其中的Asym.(a1)是依據(jù)來(lái)最大化帶寬的非對(duì)稱T-Coil設(shè)計(jì)原理圖，其他類型和BOB ROSS的一致，如下例子為BOB ROSS的計(jì)算表格驗(yàn)證：

對(duì)于對(duì)稱T-Coil (d)，輸入、、、，計(jì)算結(jié)果如下：

同樣的參數(shù)，并且設(shè)置，使用非對(duì)稱T-Coil設(shè)計(jì)，結(jié)果如下：

小程序中除了可以正向設(shè)計(jì)T-Coil，還可以依據(jù)帶寬反推電容，比如帶寬到10GHz，電容的最大值為多少？

得到最終，這是最能實(shí)現(xiàn)10GHz帶寬的最大值了。

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審核編輯：湯梓紅