頻譜泄露、柵欄效應(yīng)及頻譜分辨率的概念和減少措施

一，什么是頻譜泄露，如何減少頻譜泄露？

首先我們知道，對(duì)一個(gè)N點(diǎn)的信號(hào)，我們必須要做大于N點(diǎn)的fft，才能保證輸出正常。（頻域采樣定理）

但是對(duì)于現(xiàn)實(shí)生活中的信號(hào)，很多都是無(wú)限長(zhǎng)的，這也會(huì)導(dǎo)致采樣后的離散信號(hào)點(diǎn)數(shù)N也是無(wú)限大的，不利于我們進(jìn)行fft運(yùn)算。因此我們需要用一些方法選出一些點(diǎn)來(lái)進(jìn)行fft運(yùn)算。

我們都知道，頻譜與沖激函數(shù)卷積，相對(duì)于位移但幅度互相不影響。

但是如果直接截出一部分點(diǎn)，則相當(dāng)于在原信號(hào)的基礎(chǔ)上加矩形窗，頻域就相對(duì)于和sa函數(shù)卷積。卷積的過(guò)程就會(huì)污染原本的頻域，導(dǎo)致原有頻率成分偏移到其他頻率成分上。

如下圖，我們對(duì)一個(gè)頻率為20Hz的單頻三角函數(shù)加矩形窗做fs=200的32點(diǎn)fft運(yùn)算，可以看到，不僅20Hz除有頻譜成分，其他頻率成分上也有，這就叫做頻譜泄露。

本文中Nwindow代表截?cái)嗪髸r(shí)域有效數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)，N代表fft點(diǎn)數(shù)

那么該如何減小泄露呢？

可以選擇增大信號(hào)點(diǎn)數(shù)或者選用更好的窗函數(shù)來(lái)截?cái)嘣瘮?shù)

下圖是進(jìn)行512點(diǎn)fft的頻譜（同時(shí)信號(hào)有效點(diǎn)數(shù)也增大為512）

二，什么是柵欄效應(yīng)，降低柵欄效應(yīng)？

首先來(lái)看柵欄效應(yīng)，由于DFT是在DTFT的基礎(chǔ)上對(duì)頻域進(jìn)行采樣，因此頻域就會(huì)變成離散的點(diǎn)，就好像通過(guò)柵欄觀察頻譜一樣，因此叫做柵欄效應(yīng)。

柵欄效應(yīng)可以通過(guò)時(shí)域補(bǔ)零來(lái)減小，同時(shí)也相當(dāng)于增大頻域的采樣點(diǎn)數(shù)（因?yàn)轭l域采樣點(diǎn)數(shù)等于時(shí)域信號(hào)的點(diǎn)數(shù)）。下圖是表示時(shí)域信號(hào)有效長(zhǎng)度不變的情況下，分別補(bǔ)零不同的點(diǎn)數(shù)對(duì)應(yīng)的結(jié)果，可以看出補(bǔ)零越多，柵欄效應(yīng)越小。

三，什么是頻譜分辨率，如何降低頻譜分辨率？

頻譜分辨率是在頻率上能把兩個(gè)信號(hào)分開(kāi)的能力。

這里有一個(gè)誤區(qū)就是補(bǔ)零可以增大頻譜分辨率，這是錯(cuò)誤的，是錯(cuò)誤的理解了頻譜分辨率概念所引起的。接下來(lái)一個(gè)圖片是對(duì)兩個(gè)單頻的疊加信號(hào)做fft，我們看看通過(guò)補(bǔ)零能否增加頻譜分辨率（主瓣頂峰所對(duì)應(yīng)的距離）

我們可以看到，通過(guò)補(bǔ)零只能把圖像變得更平滑，但是無(wú)法增大把20Hz，30Hz這兩個(gè)單頻信號(hào)分開(kāi)的能力。接下來(lái)我們?cè)黾訒r(shí)域有效采樣點(diǎn)數(shù)，觀察效果。

可以看到，通過(guò)增加時(shí)域有效點(diǎn)數(shù)，可以增大兩個(gè)單頻點(diǎn)被分辨開(kāi)的能力。

同時(shí)選用更好的窗函數(shù)也可以增大頻率分辨率。

在這里可以聯(lián)想到頻譜泄露的概念，實(shí)際上頻譜分辨率低也是因?yàn)槟滁c(diǎn)頻率因?yàn)轭l譜泄露而污染了另一點(diǎn)的頻率，因此減小頻譜泄露實(shí)際上也就是增大頻譜分辨率。他們都可以選用更好的窗函數(shù)以及增大時(shí)域有效點(diǎn)數(shù)N來(lái)優(yōu)化。

四， 為什么fft之后產(chǎn)生對(duì)稱的圖像？

首先我們知道實(shí)信號(hào)的頻譜是對(duì)稱的，即X(k)=X*(-k)

又有fft的頻譜具有隱含周期性，則X(k)=X(k+N)

因此 X(k)=X*(N-k) 即在一個(gè)采樣周期內(nèi)，以一半的采樣頻率為分界線，兩邊的值是對(duì)稱的

所以我們只需取一半點(diǎn)即可

五，DFT中采樣頻率，模擬頻率和數(shù)字頻率的區(qū)別和聯(lián)系

首先我們知道，在物理世界中只有模擬頻率f，它的單位是Hz，這也是最容易理解的一個(gè)頻率。

其次我們對(duì)信號(hào)采樣有了采樣頻率fs，并且根據(jù)奈奎斯特采樣定理，原信號(hào)的頻率是不大于0.5倍的fs的。也就是說(shuō)原模擬信號(hào)的頻率f是處于區(qū)間（0，0.5fs）的

那么我們就可以把原信號(hào)的模擬頻率區(qū)間（0，fs），一一對(duì)應(yīng)到數(shù)字頻率區(qū)間（0，2pi）。

他們的轉(zhuǎn)化關(guān)系為w=2pi*f/fs（其中w為數(shù)字頻率，f為模擬頻率，fs為采樣頻率）

審核編輯：湯梓紅