什么是時域與頻域？從頻域逆變換到時域介紹

前言

用來分析信號的不同視角稱為域，常用的是時域和頻域兩種。

引入時域是頻域之后，將研究兩者之間在特殊情況下的變換。運(yùn)用所學(xué)的知識聯(lián)系兩個重要的量：上升邊和帶寬。前者是時域的術(shù)語，后者是頻域的術(shù)語。

一、時域

時域是真實(shí)世界，是唯一實(shí)際存在的域。

當(dāng)評估數(shù)字產(chǎn)品的性能時，通常在時域中進(jìn)行分析。因?yàn)楫a(chǎn)品的性能最終要在時域中測量。

時鐘波形的兩個重要參數(shù)：時鐘周期和上升邊

時鐘周期就是時鐘循環(huán)重復(fù)一次的時間間隔，通常用ns（納秒）度量。

上升邊與信號從低電平跳變到高電平所經(jīng)歷的時間有關(guān)。

第一種定義是10%~90%（通常默認(rèn)的表達(dá)方式）

第二種定義是20%~80%

二、頻域中的正弦波

頻域最重要的性質(zhì)是：它不是真實(shí)的，而是一個數(shù)學(xué)構(gòu)造。

正弦波是頻域中唯一存在的波形，這是頻域中最重要的法則，即正弦波是頻域的語言。

正弦波有如下4個性質(zhì)，使其能夠很有效地描述其他任一波形：

1.時域中的任何波形都可由正弦波的組合完全且唯一地描述。

2.任何兩個頻率不同的正弦波都是正交的。如果將兩個正弦波相乘并在整個時間軸上求積分，則積分值為零。這說明可以將不同的頻率分量相互分離開。

3.正弦波有完美的數(shù)學(xué)定義。

4.正弦波及其微分值處處存在，沒有上下邊界。現(xiàn)實(shí)世界是無窮的，因此可用正弦波描述現(xiàn)實(shí)中的波形。

表征互連的電路，會發(fā)現(xiàn)這些電路常常包括電阻器、電感器和電容器的組合。電路中的這些元件可以用二階線性微分方和電容器的組合。電路中的這些元件可以用二階線性微分方程描述，而這類微分方程的解就是正弦波。

在實(shí)際中，首先建立包含R、L、C的電路，并輸入任意波形。很多情況下，會得到類似正弦波的波形。

快速邊沿與理想RLC電路相互作用時的時域行為。

當(dāng)數(shù)字信號與互連（它常常可以描述成理想RLC電路元件的組合）

相互作用時，就產(chǎn)生了正弦波。

頻域中不可能產(chǎn)生新的信息。同一波形的時域或頻域描述所包含的信息完全相同。

在頻域中理解和描述一些問題要比在時域中更容易。例如，帶寬就是一個頻域的概念，我們用它描述與信號、測量、模型或互連相關(guān)的最高有效正弦波頻率分量。

三、正弦波的特征

正弦波在時域中的描述，用以下3項(xiàng)可以充分描述正弦波：頻率、幅度和相位，而在頻域中只表示為一個點(diǎn)。

左圖：時域中對正弦波的描述，它由1000多個電壓-時間數(shù)據(jù)點(diǎn)組成。

右圖：頻域中對正弦波的描述。

頻率：通常用f來表示，指每秒中包含完整正弦波的周期數(shù)，單位是赫茲（Hz）

正弦波的頻率與角頻率的關(guān)系式：

ω=2πf

希臘字母ω通常用來表示角頻率，以rad/s 度量

f 表示正弦波頻率（單位為 Hz）

幅度：中間值之上最大的波峰高度值。水平軸之下和水平軸之上的波峰值相等。對于理想的正弦波，直流值或平均值始終為零。

相位：給出在時間軸起點(diǎn)的波的起始位置。相位以圓周、弧度（rad）或度（°）為單位，一個圓周有360°

四、傅里葉變換

運(yùn)用頻域的出發(fā)點(diǎn)就是能夠?qū)⒉ㄐ螐臅r域變換到頻域，用傅里葉變換可以做到這一點(diǎn)。如下3種傅里葉變化類型：

1.傅里葉積分（FI）

2.離散傅里葉變換（DFT）

3.快速傅里葉變換（FFT）

傅里葉積分是一種將時域的理想數(shù)學(xué)表達(dá)變換成頻域描述的數(shù)學(xué)技術(shù)。例如，若時域中的整個波形只是一個短脈沖，就可用傅里葉積分將它變換到頻域中。

傅里葉積分是在整個時間軸上從負(fù)無窮大到正無窮大求積分，得到的結(jié)果是零頻率到正無窮大頻率上連續(xù)的頻域函數(shù)。在這個區(qū)間內(nèi)，每個連續(xù)的頻率點(diǎn)都對應(yīng)一個幅值。

左圖為1 GHz時鐘信號在時域中的一個周期。

右圖為在頻域中的表示。

離散傅里葉變換是將波形變換到頻域中。其中基本的假設(shè)就是原始的時域波形是周期的，它每隔T秒重復(fù)一次。與積分不同，此處只用到求和，通過簡單的數(shù)學(xué)方法就能將任意一組數(shù)據(jù)變換到頻域中。

快速傅里葉變換

除了計(jì)算每個頻率點(diǎn)幅度值的實(shí)際算法使用了快速矩陣代數(shù)學(xué)的技巧，它與離散傅里葉變換是完全一樣的。這種快速算法只應(yīng)用于時域中的數(shù)據(jù)點(diǎn)個數(shù)是2的整冪次的情況，如256點(diǎn)、512點(diǎn)或1024點(diǎn)。根據(jù)所計(jì)算電壓點(diǎn)個數(shù)的多少，快速傅里葉變換的計(jì)算速度比普通傅里葉變換可以快100~10000倍。

這三種算法是有區(qū)別的，但有著同樣的用途—將時域波形變換成頻域頻譜。

在頻域中，對波形的描述變?yōu)椴煌l率正弦波的集合。每個頻率分量都有對應(yīng)的幅度及相位。所有這些頻率點(diǎn)及其幅度值的全集稱為波形的頻譜。

五、重復(fù)信號的頻譜

重復(fù)信號的頻譜

離散傅里葉變換或快速傅里葉變換是用于將實(shí)際波形從時域變換到頻域的。對測量得到的任意波形，都能使用離散傅里葉變換，關(guān)鍵條件是該波形應(yīng)是重復(fù)性，通常用大寫字母F表示時域波形的重復(fù)頻率。

任何波形都可變成周期性的。

快速傅里葉變換只能對周期波形進(jìn)行運(yùn)算。

將波形的一段轉(zhuǎn)換為重復(fù)波形時，可能會出現(xiàn)拼接不連續(xù)的現(xiàn)象。這種在接頭處出現(xiàn)的非自然跳變，也會在離散傅里葉變換中產(chǎn)生拼接不連續(xù)現(xiàn)象。為了避免這個問題，通常采用加窗濾波器，以保證兩頭的電壓在同一個值處連續(xù)。例如，漢明(Hamming)窗和漢寧(Hanning)窗就是實(shí)現(xiàn)這一功能的濾波器。

頻譜中的正弦波頻率應(yīng)是重復(fù)頻率的整倍數(shù)。若時鐘頻率為1GHz，離散傅里葉變換只有1GHz，2GHz，3GHz等正弦波分量。第一個正弦波頻率稱為1次諧波，第二個正弦波頻率為2次諧波，以此類推。每個諧波都有不同的幅度和相位。所有諧波及其幅度的集合稱為頻譜。

六、理想方波的頻譜

理想方波是對稱的，其占空比是50%，并且峰值為1 V。

如果理想方波的重復(fù)頻率為1GHz，其中頻譜中的正弦波頻率就是1GHz的整倍數(shù)。我們希望看到 f=1GHz，2GHz，3GHz等一些頻率分量，但每個正弦波的幅度是多少呢？

所有偶次諧波（如2GHz，4GHz，6GHz）的幅度都為零，只有奇次諧波具有非零值。這是任何波形具備的特征，其波形的后半部分恰好是前半部分求反的結(jié)果。我們將這些波形稱為反對稱波形或奇對稱波形。

奇次諧波的幅度An如下所示：

An=2/(n π) n 為諧波次數(shù)（為奇數(shù)）

占空比為50%并從0 V跳變?yōu)? V的理想方波，其1次諧波的幅度為0.63 V，3次諧波的幅度為0.21 V，1001次諧波的幅度為0.00063 V。要注意，當(dāng)頻率提高時，其幅度隨著1/f 的減小而減小。

正弦波頻率分量及其幅度的集合稱為頻譜，每一個分量稱為諧波。

0次諧波就是直流分量值。

對于理想方波占空比為50%這一特殊情況，偶次諧波的幅度為零。任何諧波的幅度都可由2/(nπ) 計(jì)算得出。

七、從頻域逆變換到時域

在頻域中，頻譜表示時域波形包含的所有正弦波頻率幅度。如果知道頻譜，要想觀察它的時域波形，則只需將每個頻率分量逆變換成它的時域正弦波，再將其全部疊加即可。這個過程為傅里葉逆變換。

把以上每個正弦分量相疊加，即可將頻譜轉(zhuǎn)化為時域波形。

對于1GHz 理想方波的頻譜，第一項(xiàng)是0次諧波，其幅度為0.5 V。這個分量描述了時域中的直流常量。

第二次分量是1次諧波，在時域中是頻率為1 GHz且幅度為0.63 V的正弦波。它與前一項(xiàng)疊加，在時域中得到均值偏移為0.5 V的正弦波。它并不是對理想方波的很好的近似。

對于1 GHz理想方波，疊加0次諧波、1次諧波，接著加入3次諧波時形成的時域波形。

接下來加入3次諧波。3 GHz正弦波頻率分量的幅度為0.21 V，把它與現(xiàn)有時域波形疊加，會發(fā)現(xiàn)新波形的形狀發(fā)生了細(xì)微變化：頂端更平滑，更接近方波，且上升邊更短。以此類推，將所有相繼的高次諧波與已有波形相疊加，得出的結(jié)論越來越像方波。值得注意的是，時域波形的上升邊隨著加入高次諧波而變化。

對于1 GHz理想方波，

依次疊加各次諧波生成的時域波形：

首先是0次諧波和1次諧波，

再加上3次諧波、7次諧波、19次諧波，

直至加到31次諧波。

八、帶寬對上升邊的影響

帶寬用于表示頻譜中最高的有效正弦波頻率分量值。帶寬的選擇對時域波形的最短上升邊有直接的影響。對于數(shù)字信號，帶寬同樣指的是信號頻譜中的頻率范圍。只不過對于數(shù)字信號而言，低頻范圍起始于直流分量并延伸到最高頻率分量。在數(shù)字信號領(lǐng)域，因?yàn)樽畹皖l率是直流，所以帶寬總是對應(yīng)于最高的有效正弦波頻率分量值。

一般而言，時域中上升邊越短的波形在頻域中的帶寬就越高。如果改變頻譜使波形的帶寬降低，那么波形的上升邊就會隨之變長。

信號通過FR4板上4 in 長的傳輸線時，

測量的正弦波頻率分量衰減。

在2 GHz以下頻率分量的衰減不超過-1 dB，

而10 GHz時的頻率分量的衰減為-4 dB。

上升邊為50 ps 的信號進(jìn)入FR4 板上36 in 長的傳輸線時，

以及離開傳輸線時的波形。

由于高頻分量的衰減比較多，

其上升邊從50 ps退化到1.5 ns。

九、上升邊與帶寬

因?yàn)槊總€波形都是通過加上某次諧波的正弦波頻率分量而人為合成的，如果已知每個波形測量得到的10%~90%上升邊和帶寬，憑實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)就能畫出一個簡單的關(guān)系。帶寬與上升邊的關(guān)系：

BW 表示帶寬（單位為GHz）

RT 表示10%~90%上升邊（單位為ns）

舉例：當(dāng)上升邊的單位為ns時，帶寬的單位為GHz。對于典型的10MHz的時鐘信號，上升邊一般為10 ns ，

其帶寬約為0.35/10 ns =0.035 GHz，即35MHz。

信號帶寬與10%~90%上升邊之間的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式，從重新生成的理想方波中測量得到（其中每次只加入一個諧波分量）。

圖中圓圈表示原始數(shù)據(jù)中的取值。

十、“有效”的含義

信號的帶寬定義為最高的有效正弦波頻率分量。

如果把帶寬內(nèi)的所有頻率分量都包含在內(nèi)，就可以重新生成其上升邊有限的方波，這時上升邊與帶寬的關(guān)系為：上升邊=0.35/BW。

對于實(shí)際的時域波形，隨著頻率的升高，其頻譜分量的幅度總是比理想方波中相同頻率的幅度下降得快。有效性的問題其實(shí)就是一個頻率點(diǎn)的問題，高于該點(diǎn)諧波分量的幅度比理想方波中相應(yīng)頻率分量的幅度要小。

所謂的“小”，通常指的是該分量的功率要小于理想方波中相應(yīng)頻率分量的功率的50%，功率下降50%也就是幅度下降至70%。這才是有效性的真正定義。若幅度高于理想方波中相同諧波幅度的70%以上，則稱為有效。

從另一個稍微不同的角度看，可以把有效定義為實(shí)際波形的諧波分量開始比1/f下降得更快的那個頻率點(diǎn)，該頻率也稱為轉(zhuǎn)折頻率。

對照方波的頻譜，再看看梯形波的實(shí)際頻譜，可以看出兩者1次和3次諧波大致相同，梯形波的5次諧波約為方波的70%，依然占了很大的一部分。然而，梯形波的7次諧波只有理想方波的30%。

通過對梯形波譜的考察就可以得出結(jié)論：

高于5次諧波分量（如7次諧波或更高）的幅度 ，只相當(dāng)于理想方波中電壓總量的很小一部分。因此，它們對于上升邊的影響也是微乎其微。與理想方波相比，從頻譜中可以看梯形波中最高的有效正弦波分量為5次諧波，這是近似得出。

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十一、帶寬

實(shí)際信號的帶寬

接近于理想方波的高質(zhì)量信號都有一個簡單的特征，即如果傳輸線路的端接欠佳，則信號會發(fā)生振鈴，頻譜在振鈴頻率處出現(xiàn)峰值。振鈴頻率處的幅度會比沒有振鈴時的信號幅度高10倍以上。

電磁干擾由電流中每個頻率分量的輻射引起。最嚴(yán)重的輻射源是共模電流，其總輻射將隨著頻率而線性增加。

端接欠佳，振鈴現(xiàn)象

時鐘頻率與帶寬

帶寬與信號的上升邊直接有關(guān)。對于兩個不同的波形，即使有相同的時鐘頻率，上升邊和帶寬也很可能不同。

下圖4個不同的波形，每個波形都有1 GHz的相同時鐘頻率。各個信號是上升邊不同，在周期中所占比例不同，因此它們的帶寬也不同。需要注意的是，不是時鐘頻率而是上升邊決定帶寬。如果只知道波形的時鐘頻率，無法確定其帶寬。

在實(shí)際的時鐘波形中，上升邊與時鐘周期有什么關(guān)系？兩者之間的唯一約束是：上升邊一定小于周期的50%。

如果不知道上升邊與周期的比值，則一個合理的概括是：上升邊是時鐘周期的7%。這與許多微處理器板和ASIC驅(qū)動板級總線的情況接近。

測量的帶寬

從1 MHz到1GHz測量去耦電容器的阻抗，可以看出在10MHz以下時，阻抗表現(xiàn)為理想電容器，但在10MHz以上時，它就表現(xiàn)為理想電感器。在矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀的整個測量范圍內(nèi)（此例中達(dá)到1GHz）。測量的帶寬為1GHz。測量的帶寬不同于元器件本身的可用帶寬。

1206陶瓷去耦電容器的阻抗測量，數(shù)據(jù)的測量帶寬為1 GHz

模型的帶寬

模型的帶寬是指模型能被準(zhǔn)確地用于預(yù)估實(shí)際結(jié)構(gòu)真實(shí)性能的最高正弦波頻率分量。

一個簡單的初始電路模型由一個理想電感器和一個理想電阻器串聯(lián)而成。2GHz之前，采用合適的L和R參數(shù)預(yù)估出的阻抗與實(shí)際測量的阻抗非常一致，所以這個簡易模型的帶寬就是2GHz。

超過2GHz采用帶寬更高的模型，就能在更高頻率上預(yù)估實(shí)際鍵合線的阻抗。這時就要考慮焊盤電容的影響，需要建立一個新模型，即二階模型。

互連的帶寬

互連的帶寬是指能被互連傳輸且未造成有限損耗的最高正弦波頻率分量。

一般而言，在實(shí)際中使用的“有效”指的是傳輸?shù)念l率分量幅度減少了3 dB，也就是說幅度減少為入射值的70%。這就是經(jīng)常提到的互連的3 dB帶寬。

正弦波通過FR4板上的4 in 長的50 歐姆傳輸線后測量的幅度值，

這里的測量帶寬為20 GHz。

互連的3 dB帶寬約為8 GHz，

這意味著，如果輸入一個8 GHz的正弦波，

那么遠(yuǎn)端得到的信號幅度至多為原信號幅度的70%。

如果互連的帶寬為8 GHz，

那么1 GHz的正弦波幾乎100%傳至互連的遠(yuǎn)端。

互連的帶寬是對互連所能傳輸信號的最短上升邊的直接度量。

一個上升邊為1ps 的信號，在經(jīng)過互連線傳輸后，其上升邊可能為0.35/8 GHz=0.043 ns ，這說明互連使上升邊退化了。如果互連的帶寬是1GHz，所能傳輸信號的最快邊沿就是350 ps，這就是互連的本征上升邊。

經(jīng)過FR4板上4 in長的50 ?傳輸線，

測得的輸入和傳輸信號，可以看出，

上升邊發(fā)生了退化。

經(jīng)驗(yàn)法則：

1.要使互連對信號上升邊造成的附加量不超過10%，互連的本征上升邊 就要小于該信號上升邊的50%，這是個簡單的經(jīng)驗(yàn)法則。

2.從頻率角度講，為了較好地傳輸帶寬為1GHz的信號，互連的帶寬至少為該信號帶寬的2倍，即2GHz。

示波器的帶寬

示波器的帶寬是決定這臺示波器測量最高頻信號的能力 。

示波器的帶寬主要是由前端的放大器等模擬器件的特性決定的 。

示波器中放大器的增益隨著輸入信號的頻率升高而逐漸降低 。

放大器增益下降-3 dB對應(yīng)的頻點(diǎn)認(rèn)為放大器的帶寬，示波器的帶寬也是這樣定義的。

示波器的帶寬可以理解為測量的幅度誤差不超過-3 dB 的正弦波的頻率值，超過這個頻率值信號輸入，就會衰減，示波器中再現(xiàn)的波形就失真過度了。

對數(shù)字信號來說，經(jīng)驗(yàn)法則：示波器的帶寬至少比被測系統(tǒng)最快的數(shù)字時鐘速率高5倍。

審核編輯：劉清