什么是頻譜泄漏？為什么會出現(xiàn)頻譜泄漏？如何最小化頻譜泄漏？

在數(shù)字信號處理領(lǐng)域，快速傅里葉變換（FFT）可以說是其核心內(nèi)容之一。在利用FFT分析信號頻譜的過程中，不可避免地會出現(xiàn)頻譜泄漏現(xiàn)象，因此，我們所觀察到的信號頻譜只是其真實(shí)頻譜的近似，為了減少二者之間的誤差，我們必須最小化頻譜泄漏。接下來，本文就來簡單介紹一下什么是頻譜泄漏、為什么會出現(xiàn)頻譜泄漏、如何最小化頻譜泄漏以及窗函數(shù)對目標(biāo)信號的負(fù)面影響。

1、什么是頻譜泄漏

頻譜泄漏是指 輸入信號中的某些頻率分量的能量出現(xiàn)在FFT輸出的其它頻率點(diǎn)上 。如下圖所示，我們希望信號的能量全部集中在主瓣上，但是實(shí)際上，信號的能量存在泄漏，也就是存在旁瓣，從而使能量出現(xiàn)在其兩側(cè)其它頻點(diǎn)上，產(chǎn)生頻譜泄漏現(xiàn)象。

2、為什么會出現(xiàn)頻譜泄漏

頻譜泄漏現(xiàn)象出現(xiàn)的原因是 FFT的輸入序列不包含分析頻率的完整周期 。FFT計(jì)算結(jié)果中的幅頻響應(yīng)可以近似理解為對sinc函數(shù)的采樣，而sinc函數(shù)的參數(shù)受輸入序列包含的分析信號的周期數(shù)的影響。

假設(shè)輸入序列包含目標(biāo)信號的完整周期，其幅頻響應(yīng)如下圖所示，可以看出，輸出頻譜在對sinc函數(shù)進(jìn)行采樣時，采樣到的旁瓣能量均為零，因此，其旁瓣能量不會對輸出頻譜中其它頻點(diǎn)的能量產(chǎn)生影響。

若輸入序列沒有包含目標(biāo)信號的完整周期，則其幅頻響應(yīng)如下圖所示，輸出頻譜在對sinc函數(shù)進(jìn)行采樣時，采樣到了旁瓣能量，這些能量就會疊加在其它頻點(diǎn)的能量上，產(chǎn)生頻譜泄漏現(xiàn)象。

3、如何最小化頻譜泄漏

最小化頻譜泄漏的核心就是 降低旁瓣的幅度 。通過前文的分析可以發(fā)現(xiàn)，頻譜泄漏就是因?yàn)樾盘柵园甑哪芰坑绊懙搅似渌l點(diǎn)，那么，只要能夠降低旁瓣的能量，就能減弱頻譜泄漏。

旁瓣能量的降低可以通過對輸入序列加窗實(shí)現(xiàn)。下圖是幾種不同窗函數(shù)的頻率響應(yīng)，可以看出，窗函數(shù)的類型不同，其旁瓣衰減也不同。

分別利用這幾種窗函數(shù)處理發(fā)生頻譜泄漏的信號，處理結(jié)果如下圖所示，所用窗函數(shù)不同，頻譜泄漏的程度也不同。

4、窗函數(shù)對目標(biāo)信號的負(fù)面影響

如果目標(biāo)信號并沒有發(fā)生頻譜泄漏現(xiàn)象，那么窗函數(shù)對其有什么影響呢？

（1）降低主瓣幅度；

實(shí)際上，窗函數(shù)不僅僅會降低旁瓣幅度，同時也會降低主瓣幅度，只是此時旁瓣幅度相對于主瓣幅度而言更低了，重點(diǎn)在 相對幅度 。

（2）降低頻率分辨率。

窗函數(shù)帶來的另一個影響就是會拓寬主瓣寬度，這將導(dǎo)致頻率分辨率降低。如下圖所示，加窗處理后，主瓣寬度拓寬，導(dǎo)致目標(biāo)頻率周圍頻點(diǎn)幅值不為零，一旦這些頻點(diǎn)存在有用信號，將無法準(zhǔn)確區(qū)分其幅值，因此，頻率分辨率降低，準(zhǔn)確的表述為 頻率分辨率減半 。