實序列的z變換為什么會出現(xiàn)一對相互共軛的復(fù)數(shù)零點？

實序列的z變換為什么會出現(xiàn)一對相互共軛的復(fù)數(shù)零點？

實序列的Z變換是一種離散時間傅里葉變換，用于將離散時間域中的信號轉(zhuǎn)換為復(fù)平面的頻率域表示。實序列是指其值只能是實數(shù)的序列，而復(fù)數(shù)則由實數(shù)和虛數(shù)構(gòu)成。當(dāng)對一個實序列進(jìn)行Z變換時，通常會得到頻域表示中的一對相互共軛的復(fù)數(shù)零點。

要理解為什么會在實序列的Z變換中存在一對相互共軛的復(fù)數(shù)零點，首先需要理解Z變換的定義和一些基本概念。

Z變換是一種將離散時間信號轉(zhuǎn)換到復(fù)頻率域的方法，它類似于連續(xù)時間傅里葉變換（CTFT）。Z變換的定義可以表示為：

X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)z^{-n}

其中，X(z)是復(fù)變量z的函數(shù)，x(n)是離散時間序列（即輸入信號），z是一個復(fù)數(shù)變量。

當(dāng)我們將實序列x(n)進(jìn)行Z變換時，我們可以將其表示為實部和虛部之和的形式：

X(z) = F(z) + G(z)i

其中，F(xiàn)(z)和G(z)是關(guān)于z的多項式函數(shù)，表示序列在實軸上的變換，i是虛數(shù)單位。

當(dāng)F(z)和G(z)都是實系數(shù)的多項式時，我們可以將其分解為共軛復(fù)數(shù)根和實根的乘積。

我們已經(jīng)知道，對于當(dāng)序列是實序列時，其Z變換是一個復(fù)平面上的函數(shù)，因此它的零點可以是復(fù)數(shù)。而實序列的Z變換具有兩個重要的特點，即對稱性和共軛性。

首先，我們來看看對稱性。當(dāng)一個實序列的Z變換是F(z) + G(z)i的形式時，其中F(z)和G(z)都是關(guān)于z的實系數(shù)多項式函數(shù)。由于實序列的輸入信號只能取實值，因此實序列的Z變換具有對稱性，即它關(guān)于實軸對稱。這也意味著，如果一個復(fù)數(shù)z是Z變換的零點，那么它的復(fù)共軛z*也是零點。

其次，我們來看看共軛性。當(dāng)對實序列進(jìn)行Z變換時，Z變換函數(shù)可以表示為F(z) + G(z)i的形式，其中F(z)和G(z)都是關(guān)于z的實系數(shù)多項式函數(shù)。由于F(z)和G(z)都是實系數(shù)多項式函數(shù)，所以它們的零點可以是實數(shù)或復(fù)共軛對。因此，當(dāng)一個復(fù)數(shù)z是Z變換的零點時，它的復(fù)共軛z*也是零點。這就是為什么在實序列的Z變換中，會出現(xiàn)一對相互共軛的復(fù)數(shù)零點。

為了更好地理解這個概念，讓我們來考慮一個具體的實序列及其Z變換的例子。

假設(shè)我們有一個實序列x(n) = [1, 2, 3, 4]，我們將其進(jìn)行Z變換得到序列X(z)。

X(z) = 1 + 2z^{-1} + 3z^{-2} + 4z^{-3}

通過對這個序列進(jìn)行分解，我們可以將其表示為實部和虛部的和：

X(z) = (1 + 3z^{-2}) + (2z^{-1} + 4z^{-3})i

從這個例子中我們可以看到，這個Z變換序列具有一對相互共軛的復(fù)數(shù)零點：z = e^{j\pi/3}和z = e^{-j\pi/3}。這兩個復(fù)數(shù)零點是相互共軛的，并且它們的模長相等，都是1，即它們都在單位圓上。

這兩個復(fù)數(shù)零點代表了輸入實序列中的頻率成分，它們對應(yīng)于Z變換中的極點。在頻率域中，這兩個復(fù)數(shù)零點對應(yīng)于共振點或共振頻率。這意味著在實序列的輸入信號中存在某種特定的頻率成分，對應(yīng)于這兩個復(fù)數(shù)零點。

總結(jié)而言，實序列的Z變換會出現(xiàn)一對相互共軛的復(fù)數(shù)零點是由于實序列的輸入信號在頻率域中存在某種特定的頻率成分。這對復(fù)數(shù)零點反映了序列具有對稱和共軛的特點，并且對應(yīng)于輸入信號中的共振頻率。