概述

lsm6ds3trc包含三軸陀螺儀與三軸加速度計(jì)。

姿態(tài)有多種數(shù)學(xué)表示方式，常見的是四元數(shù)，歐拉角，矩陣和軸角。他們各自有其自身的優(yōu)點(diǎn)，在不同的領(lǐng)域使用不同的表示方式。在四軸飛行器中使用到了四元數(shù)和歐拉角。

姿態(tài)解算選用的旋轉(zhuǎn)順序?yàn)閆YX，即IMU坐標(biāo)系初始時(shí)刻與大地坐標(biāo)系重合，然后依次繞自己的Z、Y、X軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)：

繞IMU的Z軸旋轉(zhuǎn)：航向角yaw

繞IMU的Y軸旋轉(zhuǎn)：俯仰角pitch

繞IMU的X軸旋轉(zhuǎn)：橫滾角row

橫滾roll，俯仰pitch，偏航y(tǒng)aw的實(shí)際含義如下圖：

由于需要解析姿態(tài)角，故將陀螺儀速度修改快一點(diǎn)。

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歐拉角

橫滾角φ：機(jī)體繞OBXB轉(zhuǎn)動(dòng)，軸Y'B與平面OBXBYB構(gòu)成的夾角。

俯仰角θ：機(jī)體繞OBYB轉(zhuǎn)動(dòng)，軸Z'B與平面OBYBZB構(gòu)成的夾角。

偏航角ψ：機(jī)體繞OBZB轉(zhuǎn)動(dòng)，軸X'B與平面OBXBZB構(gòu)成的夾角。

將姿態(tài)角從機(jī)體坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到慣性坐標(biāo)系中是為了便于分析無人機(jī)狀態(tài)，反映無人機(jī)在慣性坐標(biāo)系下的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，利用齊次線性變換可實(shí)現(xiàn)坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換，旋轉(zhuǎn)矩陣就是在線性變化中產(chǎn)生的，用REB表示慣性坐標(biāo)系{E}到機(jī)體坐標(biāo)系{B}的變換。

例如，繞OBXB旋轉(zhuǎn)必角，此時(shí)兩個(gè)坐標(biāo)系存在必的角度差，不再重合。點(diǎn)(x, y, z)的轉(zhuǎn)換方程為:

可提取轉(zhuǎn)換矩陣：

同理，繞口OBYB旋轉(zhuǎn)θ角得:

而繞OBZB旋轉(zhuǎn)ψ角得:

不同旋轉(zhuǎn)順序有不同的旋轉(zhuǎn)矩陣，按照偏航，俯仰，橫滾的順序，即分別繞X-Y-Z旋轉(zhuǎn)，就可計(jì)算出旋轉(zhuǎn)矩陣REB，REB等于依次旋轉(zhuǎn)所得的矩陣連乘，且順序?yàn)閺挠蚁蜃笈帕小?

萬向節(jié)死鎖

當(dāng)俯仰角θ=±Π/2時(shí)，橫滾運(yùn)動(dòng)與偏航運(yùn)動(dòng)的旋轉(zhuǎn)軸重合，出現(xiàn)萬向節(jié)死鎖現(xiàn)象，在空間失去了一個(gè)自由度。如式所示，φ或ψ的變化具有相同的效果，因此不再具有唯一性啊。

四元數(shù)法

本文選擇的是四元數(shù)法進(jìn)行姿態(tài)解算。無人機(jī)姿態(tài)解算方法主要有四種，它們各自的優(yōu)缺點(diǎn)如下圖所示。歐拉角法不能用于計(jì)算飛行器的全姿態(tài)角，且難以實(shí)時(shí)計(jì)算而不易于工程應(yīng)用。方向余弦法不會(huì)出現(xiàn)“奇點(diǎn)”現(xiàn)象，但計(jì)算量大，效率低。四元數(shù)法避免了復(fù)雜的三角函數(shù)運(yùn)算，變?yōu)榍蠼饩€性微分方程，算法簡(jiǎn)單易操作，且不存在角度奇異性問題，可以更好的線性化系統(tǒng)，是一種更實(shí)用的工程方法。

四元數(shù)的概念誕生在1843年的愛爾蘭，是數(shù)學(xué)家哈密頓研究空間幾何時(shí)提出。在如今的導(dǎo)航技術(shù)領(lǐng)域，四元數(shù)的優(yōu)勢(shì)逐漸被發(fā)現(xiàn)，得到了研究者們的廣泛關(guān)注，并逐漸應(yīng)用在姿態(tài)解算領(lǐng)域。

四元數(shù)是由四個(gè)元構(gòu)成的數(shù)Q（q0,q1,q2,q3） = q0 + q1i + q2j + q3k;其中，q0,q1,q2,q3是實(shí)數(shù)，i,j,k既是互相正交的單位向量，又是虛單位根號(hào)-1。四元數(shù)即可看作四維空間中的一個(gè)向量，又可以看做一個(gè)超復(fù)數(shù)。對(duì)于后續(xù)有一個(gè)重要的變化需要記?。?/p>

Q=q0 + q1i + q2j + q3k

可視為一個(gè)超復(fù)數(shù)，Q 的共軛復(fù)數(shù)記為

Q'=q0 - q1i - q2j - q3k

Q°稱為Q的共軛四元數(shù)。

同時(shí)，有

ij=k，jk=i，ki=j，ji=-k，kj=-i，ik=-j

i2 = j2 = k2 =ijk=-1

其中，i、j、k是相互正交的單位向量，其幾何意義可理解為分別繞三個(gè)坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)，q0、q1、q2、q3為常數(shù)，有

通過四元數(shù)進(jìn)行歐拉角求解，可以減少芯片運(yùn)算負(fù)擔(dān)，提高運(yùn)算速度。

一個(gè)矢量V相對(duì)于坐標(biāo)系OXYZ固定：V = xi + yj + zk；坐標(biāo)系OXYZ轉(zhuǎn)動(dòng)了Q得到一個(gè)新坐標(biāo)系OX’Y’Z’:V = x’i’ + y’j‘ + z’k’；設(shè)四元數(shù)Ve、Ve‘

Ve = xi + yj + zk;

Ve’ = x’i + y’j + z’k;

則Ve’ = Q* Ve * Q'；

設(shè)Q = q0 + q1i + q2j + q3k;則Q' = q0 - q1i - q2j - q3k;

則Ve’ = Q* Ve * Q'=(q0 + q1i + q2j + q3k) * (0+xi + yj + zk) + (q0 - q1i - q2j - q3k)

可以算出

x’=(q0 ^2+q1 ^2-q2 ^2-q3 ^2)x+2(q1q2+ q1q3)y+2(q1q3-q0q2)z

y’ = 2(q1q2-q0q3)x+(q0 ^2-q1 ^2+q2 ^2-q3 ^2)y+2(q2q3+q0q1)z

z’ = 2(q1q3+q0q2)x+2(q2q3-q0q1)y+(q0 ^2-q1 ^2-q2 ^2+q3 ^2)z

結(jié)合

可以反推

Pitch  = asin(2 * q2 * q3 + 2 * q0* q1)* 57.3; // pitch ,轉(zhuǎn)換為度數(shù)
        Roll = atan2(-2 * q1 * q3 + 2 * q0 * q2, q0*q0-q1*q1-q2*q2+q3*q3)* 57.3; // rollv
        Yaw = atan2(2*(q1*q2 - q0*q3),q0*q0-q1*q1+q2*q2-q3*q3) * 57.3;   //偏移太大，

將加速度的三維向量轉(zhuǎn)為單位向量

// 測(cè)量正?；?/span>
        norm = sqrt(ax*ax + ay*ay + az*az);      
        ax = ax / norm;                   //單位化
        ay = ay / norm;
        az = az / norm;

世界坐標(biāo)系重力分向量是通過方向旋轉(zhuǎn)矩陣的最后一列的三個(gè)元素乘上加速度就可以算出機(jī)體坐標(biāo)系中的重力向量。

// 估計(jì)方向的重力
        vx = 2*(q1*q3 - q0*q2);//由下向上方向的加速度在加速度計(jì)X分量 
        vy = 2*(q0*q1 + q2*q3);//由下向上方向的加速度在加速度計(jì)X分量 
        vz = q0*q0 - q1*q1 - q2*q2 + q3*q3;//由下向上方向的加速度在加速度計(jì)Z分量

姿態(tài)解算

雙環(huán)PI控制器

陀螺儀能夠迅速響應(yīng)設(shè)備的旋轉(zhuǎn)，在短時(shí)間內(nèi)誤差較小且可靠。然而，因?yàn)闇囟绕?、零漂移和積分誤差會(huì)隨時(shí)間累積，陀螺儀的長(zhǎng)時(shí)間精度受到影響。在靜止?fàn)顟B(tài)下，加速度計(jì)的漂移很小，其傾角求解過程中不存在積分誤差，但在飛行過程中，加速度計(jì)受到發(fā)動(dòng)機(jī)和機(jī)架振動(dòng)以及轉(zhuǎn)動(dòng)和運(yùn)動(dòng)加速度的干擾。磁羅盤測(cè)量的地磁向量在特定地理范圍內(nèi)可視為不變，但磁羅盤易受硬磁場(chǎng)和軟磁場(chǎng)干擾。

因此，若系統(tǒng)外環(huán)采用九軸姿態(tài)傳感器（包括三軸加速度計(jì)、三軸磁羅盤和三軸陀螺儀）進(jìn)行數(shù)據(jù)融合，磁羅盤易受干擾可能導(dǎo)致融合后的數(shù)據(jù)仍有較大誤差。為此，在內(nèi)環(huán)使用六軸姿態(tài)傳感器（包括三軸加速度計(jì)和三軸陀螺儀）進(jìn)行數(shù)據(jù)融合，對(duì)融合后的傳感器姿態(tài)偏差進(jìn)行二次修正，以提高整體精度。

外環(huán)九軸姿態(tài)傳感器數(shù)據(jù)融合，記在飛行器機(jī)體坐標(biāo)系下an=[ax ay az]T和mn=[mx my mz]T分別為加速度計(jì)和磁羅盤實(shí)際測(cè)量得到的重力向量和地磁向量。

記vn=[vx vy vz]T和wn=[mx my mz]T是將地理坐標(biāo)系下重力向量kb=[0 0 1g]T和地磁向量nb=[nx 0 nz]T(不考慮地理磁偏角因素，將機(jī)頭固定向北)通過四元數(shù)坐標(biāo)換算成機(jī)體坐標(biāo)系下的重力向量和地磁向量。向量之間的誤差為坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)誤差，可以用向量的叉積en=[ex ey ez]T表示，如下所示。

由于我的LSM6DS3TR-C為六軸，不帶三軸陀螺儀，故代碼如下。

//這個(gè)叉積向量仍舊是位于機(jī)體坐標(biāo)系上的，而陀螺積分誤差也是在機(jī)體坐標(biāo)系，而且叉積的大小與陀螺積分誤差成正比，正好拿來糾正陀螺。
//（你可以自己拿東西想象一下）由于陀螺是對(duì)機(jī)體直接積分，所以對(duì)陀螺的糾正量會(huì)直接體現(xiàn)在對(duì)機(jī)體坐標(biāo)系的糾正。

        ex = (ay*vz - az*vy);
        ey = (az*vx - ax*vz);
        ez = (ax*vy - ay*vx);

由于陀螺儀是對(duì)機(jī)體直接積分，所以，陀螺儀的誤差可以體現(xiàn)為機(jī)體坐標(biāo)的誤差。因此修正坐標(biāo)軸的誤差可以達(dá)到修正陀螺儀誤差的目的，從而將加速度計(jì)和磁羅盤進(jìn)行修正陀螺儀，實(shí)現(xiàn)了九軸的數(shù)據(jù)融合。即如果陀螺儀按照叉積誤差的軸，轉(zhuǎn)動(dòng)叉積誤差的角度，就可以消除機(jī)體坐標(biāo)上實(shí)際測(cè)量的重力向量和地磁向量和坐標(biāo)換算后的重力向量和地磁向量之間的誤差。

PI調(diào)節(jié)器的比例部分用于迅速糾正陀螺儀誤差，積分部分用于消除穩(wěn)態(tài)偏差。PI調(diào)節(jié)器的比例系數(shù)和積分系數(shù)自己去修正。陀螺儀經(jīng)過外環(huán)PI控制器修正姿態(tài)誤差后輸出值為了gn =[gx gy gz]T

// 積分誤差比例積分增益,計(jì)算陀螺儀測(cè)量的重力向量與估計(jì)方向的重力向量之間的誤差。
        exInt = exInt + ex*Ki;
        eyInt = eyInt + ey*Ki;
        ezInt = ezInt + ez*Ki;

        // 調(diào)整后的陀螺儀測(cè)量,使用叉積誤差來進(jìn)行比例-積分（PI）修正陀螺儀的零偏。將修正量乘以比例增益Kp，并加上之前計(jì)算的積分誤差exInt、eyInt和ezInt。
        gx = gx + Kp*ex + exInt;
        gy = gy + Kp*ey + eyInt;
        gz = gz + Kp*ez + ezInt;

內(nèi)環(huán)的六軸姿態(tài)傳感器數(shù)據(jù)融合是將地理坐標(biāo)系下的重力場(chǎng)向量與加速度計(jì)在機(jī)體坐標(biāo)系下采集到的重力向量進(jìn)行叉乘，求出兩者向量誤差。并通過PI控制器修正向量誤差，從而達(dá)到修正外環(huán)九軸數(shù)據(jù)融合后的陀螺儀的偏差的目的。在每個(gè)姿態(tài)解算周期讀取出機(jī)體坐標(biāo)系下雙環(huán)PI控制后的陀螺儀的角速率

整合四元數(shù)率和正?；?根據(jù)陀螺儀的測(cè)量值和比例-積分修正值，對(duì)四元數(shù)進(jìn)行更新。

// 整合四元數(shù)率和正?；?根據(jù)陀螺儀的測(cè)量值和比例-積分修正值，對(duì)四元數(shù)進(jìn)行更新。根據(jù)微分方程的離散化形式，將四元數(shù)的每個(gè)分量加上相應(yīng)的微分項(xiàng)乘以采樣周期的一半（halfT）。
        q0 = q0 + (-q1*gx - q2*gy - q3*gz)*halfT;
        q1 = q1 + (q0*gx + q2*gz - q3*gy)*halfT;
        q2 = q2 + (q0*gy - q1*gz + q3*gx)*halfT;
        q3 = q3 + (q0*gz + q1*gy - q2*gx)*halfT;  

        // 正?；脑獢?shù)
        norm = sqrt(q0*q0 + q1*q1 + q2*q2 + q3*q3);
        q0 = q0 / norm;
        q1 = q1 / norm;
        q2 = q2 / norm;
        q3 = q3 / norm;

偏航角

六軸傳感器（包括三軸加速度計(jì)和三軸陀螺儀）可以用于估算設(shè)備在空間中的姿態(tài)，包括俯仰角（Pitch）、橫滾角（Roll）和偏航角（Yaw）。然而，六軸傳感器僅依賴陀螺儀和加速度計(jì)數(shù)據(jù)，可能無法準(zhǔn)確測(cè)量偏航角（Yaw），原因如下：

無磁場(chǎng)參考：六軸傳感器缺少磁羅盤，沒有固定的參考方向。因此，在長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)，陀螺儀的積分誤差可能導(dǎo)致偏航角估計(jì)漂移。

陀螺儀誤差累積：陀螺儀測(cè)量的是角速度，要得到偏航角，需要將角速度積分。由于陀螺儀存在零漂、噪聲和溫度漂移等誤差，這些誤差在積分過程中會(huì)累積，使得偏航角估計(jì)產(chǎn)生較大的漂移。

雖然六軸傳感器可能無法準(zhǔn)確測(cè)量偏航角，但可以通過將其與磁羅盤（三軸磁場(chǎng)傳感器）結(jié)合，形成九軸傳感器（包括三軸加速度計(jì)、三軸磁羅盤和三軸陀螺儀），以提高偏航角估計(jì)的準(zhǔn)確性。九軸傳感器融合了磁場(chǎng)信息，為偏航角提供了一個(gè)穩(wěn)定的參考方向，有助于減小陀螺儀誤差對(duì)偏航角估計(jì)的影響。

陀螺儀解析代碼

//加速度單位g，陀螺儀rad/s
void IMUupdate(float gx, float gy, float gz, float ax, float ay, float az)
{

        float norm;
        float vx, vy, vz;
        float ex, ey, ez;  

        // 測(cè)量正常化,把加計(jì)的三維向量轉(zhuǎn)成單位向量。
        norm = sqrt(ax*ax + ay*ay + az*az);      
        ax = ax / norm;                   //單位化
        ay = ay / norm;
        az = az / norm;      

        // 估計(jì)方向的重力,世界坐標(biāo)系重力分向量是通過方向旋轉(zhuǎn)矩陣的最后一列的三個(gè)元素乘上加速度就可以算出機(jī)體坐標(biāo)系中的重力向量。
        vx = 2*(q1*q3 - q0*q2);//由下向上方向的加速度在加速度計(jì)X分量 
        vy = 2*(q0*q1 + q2*q3);//由下向上方向的加速度在加速度計(jì)X分量 
        vz = q0*q0 - q1*q1 - q2*q2 + q3*q3;//由下向上方向的加速度在加速度計(jì)Z分量


//這個(gè)叉積向量仍舊是位于機(jī)體坐標(biāo)系上的，而陀螺積分誤差也是在機(jī)體坐標(biāo)系，而且叉積的大小與陀螺積分誤差成正比，正好拿來糾正陀螺。
//（你可以自己拿東西想象一下）由于陀螺是對(duì)機(jī)體直接積分，所以對(duì)陀螺的糾正量會(huì)直接體現(xiàn)在對(duì)機(jī)體坐標(biāo)系的糾正。

        ex = (ay*vz - az*vy);
        ey = (az*vx - ax*vz);
        ez = (ax*vy - ay*vx);

        // 積分誤差比例積分增益,計(jì)算陀螺儀測(cè)量的重力向量與估計(jì)方向的重力向量之間的誤差。

        exInt = exInt + ex*Ki;
        eyInt = eyInt + ey*Ki;
        ezInt = ezInt + ez*Ki;                

        // 調(diào)整后的陀螺儀測(cè)量,使用叉積誤差來進(jìn)行比例-積分（PI）修正陀螺儀的零偏。將修正量乘以比例增益Kp，并加上之前計(jì)算的積分誤差exInt、eyInt和ezInt。
        gx = gx + Kp*ex + exInt;
        gy = gy + Kp*ey + eyInt;
        gz = gz + Kp*ez + ezInt; 

        // 整合四元數(shù)率和正常化,根據(jù)陀螺儀的測(cè)量值和比例-積分修正值，對(duì)四元數(shù)進(jìn)行更新。根據(jù)微分方程的離散化形式，將四元數(shù)的每個(gè)分量加上相應(yīng)的微分項(xiàng)乘以采樣周期的一半（halfT）。
        q0 = q0 + (-q1*gx - q2*gy - q3*gz)*halfT;
        q1 = q1 + (q0*gx + q2*gz - q3*gy)*halfT;
        q2 = q2 + (q0*gy - q1*gz + q3*gx)*halfT;
        q3 = q3 + (q0*gz + q1*gy - q2*gx)*halfT;  

        // 正?；脑獢?shù)
        norm = sqrt(q0*q0 + q1*q1 + q2*q2 + q3*q3);
        q0 = q0 / norm;
        q1 = q1 / norm;
        q2 = q2 / norm;
        q3 = q3 / norm;

        Pitch  = asin(2 * q2 * q3 + 2 * q0* q1)* 57.3; // pitch ,轉(zhuǎn)換為度數(shù)
        Roll = atan2(-2 * q1 * q3 + 2 * q0 * q2, q0*q0-q1*q1-q2*q2+q3*q3)* 57.3; // rollv
        Yaw = atan2(2*(q1*q2 - q0*q3),q0*q0-q1*q1+q2*q2-q3*q3) * 57.3;   //偏移太大，等我找一個(gè)好用的

}

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審核編輯 黃宇