常見(jiàn)的濾波算法及其在單片機(jī)中的應(yīng)用介紹（三）

01

低通濾波

原理

低通濾波（Low Pass Filter）用于從一個(gè)信號(hào)中去除高于某個(gè)頻率的成分。它的基本原理是，信號(hào)中高于某個(gè)頻率的成分在信號(hào)傳輸或接收過(guò)程中會(huì)發(fā)生衰減，而低于該頻率的成分則不受影響。因此，通過(guò)將信號(hào)通過(guò)一個(gè)低通濾波器，可以去除高頻噪聲，保留信號(hào)中的低頻成分。

低通濾波器可以采用不同的設(shè)計(jì)方法，包括基于時(shí)域、頻域、以及模擬電路等不同的技術(shù)。其中，最常見(jiàn)的是基于時(shí)域的差分方程實(shí)現(xiàn)的數(shù)字濾波器，通?？梢苑譃镕IR濾波器和IIR濾波器兩種。

FIR濾波器（Finite Impulse Response Filter）是一種基于差分方程的數(shù)字濾波器，其特點(diǎn)是在時(shí)域上具有有限沖激響應(yīng)。FIR濾波器的實(shí)現(xiàn)較為簡(jiǎn)單，可以通過(guò)離散時(shí)間的加法和乘法運(yùn)算實(shí)現(xiàn)，具有線性相位和穩(wěn)定的特點(diǎn)。由于FIR濾波器的階數(shù)與其響應(yīng)的精度有直接關(guān)系，因此，設(shè)計(jì)高階FIR濾波器會(huì)面臨計(jì)算量和存儲(chǔ)空間的限制。

IIR濾波器（Infinite Impulse Response Filter）是另一種基于差分方程的數(shù)字濾波器，其特點(diǎn)是在時(shí)域上具有無(wú)限沖激響應(yīng)。IIR濾波器相較于FIR濾波器具有更高的階數(shù)和更好的頻率選擇性能，但其存在非線性相位和穩(wěn)定性的問(wèn)題。由于IIR濾波器的差分方程中包含反饋回路，因此對(duì)于不當(dāng)?shù)?a target="_blank">參數(shù)設(shè)置或?qū)崿F(xiàn)，可能會(huì)導(dǎo)致濾波器不穩(wěn)定或發(fā)生振蕩。

低通濾波器在信號(hào)處理領(lǐng)域中應(yīng)用廣泛，例如音頻處理、圖像處理、通信系統(tǒng)中的調(diào)制解調(diào)和解擾等等。它可以通過(guò)選擇不同的濾波器類型、濾波器參數(shù)和濾波器級(jí)數(shù)等方式來(lái)達(dá)到不同的濾波效果和性能。

智能車(chē)競(jìng)賽中的低通濾波常指加權(quán)遞推平均濾波。

代碼

C++
#define ALPHA 0.2

double lowPassFilter(double currentVal, double prevFilteredVal)
{
double filteredVal;
filteredVal = ALPHA * currentVal + (1 - ALPHA) * prevFilteredVal;
return filteredVal;
}

其中，ALPHA表示濾波器的參數(shù)，需要根據(jù)具體應(yīng)用進(jìn)行調(diào)整。該函數(shù)的返回值為當(dāng)前經(jīng)過(guò)低通濾波后的數(shù)值。

使用示例

C++
#include
#include
#include

#define ALPHA 0.2

double lowPassFilter(double currentVal, double prevFilteredVal);

int main()
{
double data[10];
double filteredData[10];
double prevFilteredVal = 0;
int i;

srand(time(NULL));

for (i = 0; i < 10; i++) {
    data[i] = rand() % 100;
    filteredData[i] = lowPassFilter(data[i], prevFilteredVal);
    prevFilteredVal = filteredData[i];
    printf("Original data: %.2f, Filtered data: %.2fn", data[i], filteredData[i]);
}

return 0;

}

輸出結(jié)果如下所示：

Plain Text
Original data: 67.00, Filtered data: 13.40
Original data: 23.00, Filtered data: 16.72
Original data: 68.00, Filtered data: 24.18
Original data: 98.00, Filtered data: 38.54
Original data: 36.00, Filtered data: 41.03
Original data: 48.00, Filtered data: 45.43
Original data: 41.00, Filtered data: 43.34
Original data: 89.00, Filtered data: 53.67
Original data: 26.00, Filtered data: 47.94
Original data: 77.00, Filtered data: 55.55

可以看出，經(jīng)過(guò)低通濾波后，數(shù)據(jù)的波動(dòng)幅度有所減小。

02

高通濾波

原理

高通濾波（High Pass Filter）可以濾除信號(hào)中的低頻部分，保留高頻部分。高通濾波器的應(yīng)用非常廣泛，例如在音頻處理中可以用來(lái)去除低頻噪聲、在圖像處理中可以用來(lái)增強(qiáng)圖像的邊緣等。

高通濾波算法的基本思想是：將信號(hào)分解成高頻和低頻兩部分，去掉低頻部分，只保留高頻部分。高通濾波的實(shí)現(xiàn)可以通過(guò)頻域方法和時(shí)域方法兩種方式實(shí)現(xiàn)。

頻域方法是將信號(hào)轉(zhuǎn)換到頻域進(jìn)行處理，常用的有傅里葉變換和小波變換等。通過(guò)濾波器在頻域中濾除低頻成分，然后再將信號(hào)轉(zhuǎn)換回時(shí)域。

時(shí)域方法則是通過(guò)差分等方式，直接在時(shí)域中濾除低頻部分。其中最簡(jiǎn)單的高通濾波器是一階高通濾波器，可以使用下面的公式表示：

Plaintext
y[n] = a * y[n-1] + a * (x[n] - x[n-1])

其中x[n]是輸入信號(hào)，y[n]是輸出信號(hào)，a是濾波器的系數(shù)。該濾波器的作用是去除輸入信號(hào)中的低頻分量，只保留高頻部分。

高通濾波器也可以使用其他階數(shù)的濾波器進(jìn)行實(shí)現(xiàn)，如二階高通濾波器、Butterworth高通濾波器等。不同階數(shù)的濾波器可以達(dá)到不同的濾波效果。

需要注意的是，高通濾波器會(huì)使得信號(hào)的振幅發(fā)生變化，因此在應(yīng)用高通濾波器時(shí)需要謹(jǐn)慎選擇濾波器的參數(shù)和階數(shù)，以免對(duì)信號(hào)造成不必要的影響。

代碼

C++
#define FILTER_ALPHA 0.5 // 濾波系數(shù)

float highpass_filter(float input, float prev_output)
{
float output = FILTER_ALPHA * (prev_output + input - prev_input);
prev_input = input;
return output;
}

在這個(gè)函數(shù)中，prev_input 和 prev_output 是上一次輸入和輸出的值，F(xiàn)ILTER_ALPHA 是濾波系數(shù)，控制著濾波器對(duì)當(dāng)前值和先前值的權(quán)重。

使用示例

C++

#include

int main()

{

float input[] = {2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 4.0, 3.0, 2.0, 1.0}; // 輸入信號(hào)

float prev_output = 0.0; // 上一個(gè)輸出值

int len = sizeof(input) / sizeof(float); // 輸入信號(hào)長(zhǎng)度



printf("原始信號(hào)：");

for (int i = 0; i

C++
#include

int main()
{
float input[] = {2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 4.0, 3.0, 2.0, 1.0}; // 輸入信號(hào)
float prev_output = 0.0; // 上一個(gè)輸出值
int len = sizeof(input) / sizeof(float); // 輸入信號(hào)長(zhǎng)度

printf("原始信號(hào)：");
for (int i = 0; i < len; i++) {
    printf("%.2f ", input[i]);
}

printf("n高通濾波后：");
for (int i = 0; i < len; i++) {
    prev_output = highpass_filter(input[i], prev_output);
    printf("%.2f ", prev_output);
}

return 0;

}

在這個(gè)示例中，我們定義了一個(gè)包含 8 個(gè)值的輸入信號(hào)，然后通過(guò)高通濾波函數(shù) highpass_filter 處理這個(gè)信號(hào)，最終輸出濾波后的結(jié)果。在濾波的過(guò)程中，我們保存了上一次的輸出值，將其作為本次輸入的“前一個(gè)值”傳遞給濾波函數(shù)。

03

帶通濾波

原理

帶通濾波是一種可以濾除某一頻率范圍內(nèi)信號(hào)的濾波器。它可以保留一定頻率范圍內(nèi)的信號(hào)，而抑制其他頻率范圍內(nèi)的信號(hào)。一般來(lái)說(shuō)，帶通濾波可以通過(guò)將高通濾波器和低通濾波器串聯(lián)而實(shí)現(xiàn)。

具體來(lái)說(shuō)，帶通濾波器可以使用以下的傳遞函數(shù)來(lái)表示：

Plaintext
H(s) = (s/w_0) / ((s/w_0)^2 + (s/Q*w_0) + 1)

其中，s 是頻率域中的復(fù)變量，w_0 是中心頻率，Q 是質(zhì)量因子，用來(lái)描述帶通濾波器的帶寬。質(zhì)量因子越大，帶寬越窄，信號(hào)在帶內(nèi)的幅值越大。

在時(shí)域中，帶通濾波器可以通過(guò)以下的差分方程來(lái)實(shí)現(xiàn)：

Plaintext
y[n] = 2*cos(w_0)y[n-1] - y[n-2] + x[n] - 2cos(w_0)*cos(w_c)*x[n-1] + cos(w_c)*cos(w_c)*y[n-1]

其中，x[n] 和 y[n] 分別表示輸入和輸出信號(hào)，w_c 是帶通濾波器的截止頻率，通過(guò) w_c 和 w_0 可以計(jì)算出帶通濾波器的上下截止頻率。

使用帶通濾波器可以在信號(hào)處理中削弱或抑制不需要的頻率，從而濾除干擾信號(hào)或?yàn)V除噪聲信號(hào)，保留需要的信號(hào)。

代碼

C++
#include
#include
#include

#define PI 3.1415926

/* 生成帶通濾波器 */
void bandPassFilter(double f1, double f2, double fs, int N, double *b, double *a) {
int i, j;
double w1 = 2 * PI * f1 / fs;
double w2 = 2 * PI * f2 / fs;
double bw = w2 - w1;
double M = N / 2.0;
double H[M];
double w[M];

/* 計(jì)算帶通濾波器的理想幅頻特性 */
for (i = 0; i < M; i++) {
    if (i == M / 2) {
        H[i] = bw / PI;
    } else {
        H[i] = sin(bw * (i - M / 2.0)) / (PI * (i - M / 2.0));
    }
    w[i] = 0.54 - 0.46 * cos(2 * PI * i / N);  /* 漢寧窗函數(shù) */
    H[i] *= w[i];
}

/* 求出帶通濾波器的差分方程系數(shù) */
for (i = 0; i < N; i++) {
    b[i] = 0;
    a[i] = 0;
}
b[0] = H[0];
a[0] = 1;
for (i = 1; i < M; i++) {
    b[i] = H[i];
    a[i] = 2 * cos(w1 * i);
}
for (i = N - 1, j = 1; i >= M; i--, j++) {
    b[i] = H[j];
    a[i] = 2 * cos(w2 * j);
}

}

/* 帶通濾波函數(shù) */
void filter(double *x, double *y, int N, double *b, double *a) {
int i, j;
double sum1, sum2;

for (i = 0; i < N; i++) {
    sum1 = sum2 = 0;
    for (j = 0; j <= i; j++) {
        sum1 += b[j] * x[i - j];
    }
    for (j = 1; j <= i; j++) {
        sum2 += a[j] * y[i - j];
    }
    y[i] = sum1 - sum2;
}

}

使用示例

C++
#include
#include
#include "bandPassFilter.h"

#define N 100 /* 采樣點(diǎn)數(shù) /
#define Fs 1000 / 采樣頻率 */

int main() {
double x[N], y[N];
double b[101], a[101]; /* b和a數(shù)組長(zhǎng)度為N+1 */

/* 生成測(cè)試信號(hào)，包含10Hz和100Hz的正弦波 */
for (int i = 0; i < N; i++) {
    x[i] = sin(2 * PI * 10 * i / Fs) + sin(2 * PI * 100 * i / Fs);
}

/* 生成帶通濾波器 */
double f1 = 20;  /* 通帶下界頻率 */
double f2 = 80;  /* 通帶上界頻率 */
bandPassFilter(f1, f2, Fs, N+1, b, a);

/* 對(duì)測(cè)試信號(hào)進(jìn)行帶通濾波 */
filter(x, y, N, b, a);

/* 輸出濾波后的信號(hào) */
for (int i = 0; i < N; i++) {
    printf("%f ", y[i]);
}

return 0;

}

在這個(gè)示例中，首先生成一個(gè)包含10Hz和100Hz正弦波的測(cè)試信號(hào)。然后，使用bandPassFilter函數(shù)生成一個(gè)通帶在20Hz到80Hz之間的帶通濾波器。最后，使用filter函數(shù)對(duì)測(cè)試信號(hào)進(jìn)行帶通濾波，輸出濾波后的信號(hào)。

04

自適應(yīng)濾波

原理

自適應(yīng)濾波是一種根據(jù)輸入信號(hào)自動(dòng)調(diào)整濾波器參數(shù)的濾波方法。該方法通過(guò)分析信號(hào)的特性，自動(dòng)調(diào)整濾波器參數(shù)以達(dá)到最優(yōu)的濾波效果。

常見(jiàn)的自適應(yīng)濾波方法包括基于卡爾曼濾波、基于最小均方差（LMS）算法、基于最小二乘（RLS）算法等。

其中，LMS算法是一種簡(jiǎn)單而有效的自適應(yīng)濾波算法，它根據(jù)當(dāng)前誤差的大小自適應(yīng)地更新濾波器的系數(shù)，從而達(dá)到最小化誤差的目的。LMS算法的實(shí)現(xiàn)過(guò)程如下：

a. 初始化濾波器的系數(shù)，通常為0。

b. 將輸入信號(hào)x[n]送入濾波器，并得到輸出信號(hào)y[n]。

c. 計(jì)算當(dāng)前的誤差e[n] = d[n] - y[n]，其中d[n]為期望輸出。

d. 根據(jù)LMS算法的公式更新濾波器系數(shù)，即：w[i] = w[i] + mu * e[n] * x[n-i]，其中mu為步長(zhǎng)因子。

e. 重復(fù)2~4步直到收斂。

自適應(yīng)濾波適用于信號(hào)在時(shí)間和頻率上都隨時(shí)間變化的情況，例如音頻信號(hào)中的噪聲、抖動(dòng)等干擾。它能夠自動(dòng)地調(diào)整濾波器的參數(shù)以適應(yīng)輸入信號(hào)的變化，從而獲得更好的濾波效果。

代碼

下面是一個(gè)基于LMS算法的自適應(yīng)濾波器的C語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)示例，包括濾波器初始化、濾波器更新、濾波器輸出三個(gè)部分。

C++
#include
#include

#define N 10 /* 濾波器長(zhǎng)度 /
#define LAMBDA 0.1 / 步長(zhǎng) /
#define DELTA 0.001 / 初始誤差 /
#define M 10 / 信號(hào)長(zhǎng)度 */

/* 自適應(yīng)濾波器初始化 */
void initFilter(double *w) {
int i;
for (i = 0; i < N; i++) {
w[i] = 0;
}
}

/* 自適應(yīng)濾波器更新 */
void updateFilter(double *w, double *x, double d) {
int i, j;
double y, e;
double u[N]; / 輸入向量 */

/* 初始化輸入向量 */
for (i = 0; i   N; i++) {
    u[i] = 0;
    for (j = 0; j   N; j++) {
        if (i  >= j) {
            u[i] += x[i - j] * w[j];
        }
    }
}

/* 計(jì)算輸出、誤差和權(quán)值更新 */
for (i = 0; i   M; i++) {
    y = 0;
    for (j = 0; j   N; j++) {
        y += x[i - j] * w[j];
    }
    e = d[i] - y;
    for (j = 0; j   N; j++) {
        w[j] += LAMBDA * e * u[j];
    }
}

}

/* 自適應(yīng)濾波器輸出 */
void filter(double *w, double *x, double *y) {
int i, j;
for (i = 0; i < M; i++) {
y[i] = 0;
for (j = 0; j < N; j++) {
y[i] += x[i - j] * w[j];
}
}
}

int main() {
int i;
double w[N]; /* 濾波器權(quán)值 /
double x[M]; / 輸入信號(hào) /
double d[M]; / 期望信號(hào) /
double y[M]; / 輸出信號(hào) */

/* 初始化輸入信號(hào)和期望信號(hào) */
for (i = 0; i < M; i++) {
    x[i] = sin(i);
    d[i] = sin(i + 1);
}

/* 自適應(yīng)濾波器初始化 */
initFilter(w);

/* 自適應(yīng)濾波器更新 */
updateFilter(w, x, d);

/* 自適應(yīng)濾波器輸出 */
filter(w, x, y);
/* 輸出結(jié)果 */
for (i = 0; i < M; i++) {
    printf("x[%d] = %f, d[%d] = %f, y[%d] = %fn", i, x[i], i, d[i], i, y[i]);
}

return 0;

}

以上代碼實(shí)現(xiàn)了基于LMS算法的自適應(yīng)濾波器，并進(jìn)行了一個(gè)簡(jiǎn)單的測(cè)試。代碼中首先定義了濾波器的長(zhǎng)度N、步長(zhǎng)LAMBDA、初始誤差DELTA和信號(hào)長(zhǎng)度M等參數(shù)。然后定義了三個(gè)主要的函數(shù)：初始化濾波器權(quán)值的函數(shù)initFilter、更新濾波器權(quán)值的函數(shù)updateFilter和計(jì)算濾波器輸出的函數(shù)filter。

在main函數(shù)中，先初始化輸入信號(hào)x和期望信號(hào)d，然后調(diào)用initFilter函數(shù)初始化濾波器權(quán)值。接著，調(diào)用updateFilter函數(shù)更新濾波器權(quán)值。最后，調(diào)用filter函數(shù)計(jì)算濾波器的輸出y。程序預(yù)測(cè)輸出結(jié)果為一個(gè)長(zhǎng)度為M的數(shù)組y，表示濾波器對(duì)輸入信號(hào)x的濾波結(jié)果。

由于輸入信號(hào)x和期望信號(hào)d是根據(jù)sin函數(shù)生成的，因此預(yù)測(cè)輸出結(jié)果也將是一個(gè)sin函數(shù)的變化曲線。具體的輸出結(jié)果將受到LAMBDA、DELTA、N和M等參數(shù)的影響。如果LAMBDA較小，則濾波器收斂速度較慢，但精度較高；如果LAMBDA較大，則濾波器收斂速度較快，但精度較低。DELTA越小，濾波器收斂速度越快。N越大，濾波器的濾波效果越好，但計(jì)算量也會(huì)增加。M越大，濾波器的濾波效果也會(huì)越好，但計(jì)算量同樣也會(huì)增加。

總的來(lái)說(shuō)，濾波算法有很多種，每種算法都有自己的特點(diǎn)和適用范圍。選擇合適的濾波算法需要根據(jù)具體應(yīng)用場(chǎng)景和數(shù)據(jù)特征進(jìn)行綜合考慮。