零極點的物理本質(zhì)是什么？如何對系統(tǒng)產(chǎn)生影響？

每次想弄清楚零極點的物理本質(zhì)是什么，如何對系統(tǒng)產(chǎn)生影響（大學(xué)信號與系統(tǒng)沒好好學(xué))，網(wǎng)上找一下相關(guān)內(nèi)容，總能看到 ”Hs=A0/(s+a） 極點為s=-a s=jw 所以w=a時增益-20db/十倍頻 “類似的結(jié)論。

雖然也可以分析電路，但仔細想一想總讓人一臉懵逼。s不是等于σ+jw嗎，怎么變成了jw，jw又變成了w,而且w=-a又變成了w=a。每次都想把信號與系統(tǒng)重新學(xué)一遍（只能怪自己大學(xué)摸魚去了），但看著厚厚的上下冊，拖了又拖...... 最近剛好空一點，整理了一些相關(guān)內(nèi)容。

傅里葉變換和拉普拉斯變換：

傅里葉變換 ：將時域函數(shù)轉(zhuǎn)換為不同頻率的正弦波的疊加。

拉普拉斯變換 ：

由于傅里葉變換的局限性，要保證f（t）收斂，因此對于非收斂的函數(shù)，添加一個衰減因子e ^-σt^ ，使函數(shù)在t→∞時，f(t)→0。然后再進行傅里葉變換。

極點的意義：

H（s)=H0/(s-a) 極點s=a 對應(yīng)的時域原函數(shù)：Ht=H0*e^at

由上述分析可知，Hs是Ht×衰減因子做傅里葉變換得到，Gt=H0e^ate^-σt=H0*e^-(σ-a)t 要使Gt收斂，則必須σ＞a。

因此可知道極點s=a，是σ+jw=a ，并非jw=a。即σ=a。

極點代表的時域函數(shù)可進行拉式變換的收斂域，σ需在極點的右方（見下圖，execl做的簡易示圖，勿噴）：

（對于虛數(shù)極點s=a+bj，代表σ=a，w=b，a反應(yīng)衰減速率，b反應(yīng)震蕩頻率，虛數(shù)極點后續(xù)有時間再具體分析）

圖中陰影部分為收斂域，a1為左半平面極點，收斂域在a1右側(cè)，a2為右邊平面極點，收斂域同樣在右側(cè)。

由此可由極點位置判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性：

左半平面極點：收斂域經(jīng)過原點，說明σ=0時，時域函數(shù)f(t)** e^-σt *收斂，即f(t)收斂。

右半平面極點：收斂域大于零，說明f(t)** e^-σt *中σ必須大于0才收斂，即f(t)不收斂。

另一個問題，為什么s=σ+jw 又有s=jw。其實也就是s域函數(shù)與電路的頻率響應(yīng)的轉(zhuǎn)換。

根據(jù)拉式變換的微分性質(zhì)可知道電容的s域參數(shù)=1/sc

交流時電容容抗Zc=1/jwc

因此s=jw 只是分別在s域和頻域里數(shù)學(xué)形式上相同，電感同理。

因此知道傳輸函數(shù)Hs，令s=jw可得到電路的頻率響應(yīng)H(w) （此Hw并不是傅里葉變換的Hw)

有了頻響函數(shù)，電路的幅頻特性，相頻特性都能很簡單的計算出來。