如何通過(guò)Matlab進(jìn)行零極點(diǎn)求解？

本文主要嘗試回答以下三個(gè)問(wèn)題：

（1）系數(shù)已知的傳遞函數(shù)怎么求其零極點(diǎn)？

（2）系數(shù)為變量的傳遞函數(shù)怎么求其零極點(diǎn)表達(dá)式？

（3）只知道一組節(jié)點(diǎn)方程，如何推導(dǎo)系統(tǒng)傳遞函數(shù)？

01

系數(shù)已知的傳遞函數(shù)怎么求其零極點(diǎn)？

1.1 問(wèn)題

如果我們拿到了一個(gè)傳遞函數(shù)，其所有系數(shù)是已知的，怎么計(jì)算其零極點(diǎn)？

1.2 解決方法

Matlab可通過(guò)兩種模型描述系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，這兩種模型是：傳遞函數(shù)模型、零極點(diǎn)模型。它們之間是可以互相轉(zhuǎn)化的。如果一個(gè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的所有系數(shù)已知的，我們只要將其描述成傳遞函數(shù)模型，接著將其轉(zhuǎn)換成零極點(diǎn)模型。一旦完成轉(zhuǎn)換，我們就可以觀察到系統(tǒng)的零極點(diǎn)大小。此外，我們還可以畫(huà)出傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)圖，更加直觀的看到零極點(diǎn)的分布位置。

EG1：如果a=1，求解G=（2*s+1）/（a*s^2+2*a*s+1）的零極點(diǎn)，Matlab代碼如下：

圖↑ 代碼

圖↑ 轉(zhuǎn)換為了零極點(diǎn)模型

圖↑ 零極點(diǎn)MAP圖

1.3 寫(xiě)在最后

Matlab默認(rèn)的傳遞函數(shù)模型一定是拉普拉斯形式的，它的輸入一般包括直接輸入和矩陣輸入。如果使用直接輸入的方式，需要在輸入之前定義Laplace算子，只有這樣Matlab才能視其為傳遞函數(shù)模型。

step（ ）、bode（ ）等分析方式只對(duì)傳遞函數(shù)模型有效

Laplace變換和其反變換只能針對(duì)符號(hào)表達(dá)式進(jìn)行。也就是說(shuō)，你對(duì)一個(gè)時(shí)域函數(shù)進(jìn)行Laplace變換后得到的Lalace表達(dá)式，雖然在我們看來(lái)就是傳遞函數(shù)，但Matlab并不會(huì)視其為傳遞函數(shù)模型（除非定義Laplace算子后重新輸入一遍L(zhǎng)place表達(dá)式）

02

系數(shù)為變量的傳遞函數(shù)怎么求其零極點(diǎn)表達(dá)式？

2.1 問(wèn)題

你有沒(méi)有面臨過(guò)這樣一種情況：當(dāng)你設(shè)計(jì)一個(gè)OP時(shí)，為了計(jì)算出它準(zhǔn)確的傳遞函數(shù)，你首先畫(huà)出包含各種寄生電容效應(yīng)的小信號(hào)模型圖，然后經(jīng)過(guò)了艱難的計(jì)算，終于讓你算出了傳遞函數(shù)的表達(dá)式。為了穩(wěn)定性設(shè)計(jì)，你需要知道它的零極點(diǎn)分布情況。這時(shí)候你需要接著對(duì)傳遞函數(shù)進(jìn)行第二次的求解，目的是為了求得零極點(diǎn)表達(dá)式。只有這樣你才能清楚地知道零極點(diǎn)和哪些參數(shù)相關(guān)，來(lái)指導(dǎo)你在設(shè)計(jì)上實(shí)現(xiàn)優(yōu)化。

但有時(shí)候，零極點(diǎn)表達(dá)式的計(jì)算是很困難。

基于上述的問(wèn)題，尤其是當(dāng)一個(gè)傳遞函數(shù)包含未知參數(shù)（多于1個(gè)）時(shí)，我們有沒(méi)有可能借助Matlab工具計(jì)算出零極點(diǎn)公式呢？回答是：如果傳遞函數(shù)是二階的，利用Matlab求零極點(diǎn)表達(dá)式是容易實(shí)現(xiàn)的。但對(duì)于更高階的系統(tǒng)而言，想通過(guò)Matlab來(lái)求得解析解是極其困難的。

我們通常求解傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)，其實(shí)就是求解傳遞函數(shù)其分子或分母的根，那么該問(wèn)題本質(zhì)上就是一個(gè)求方程解的問(wèn)題。該問(wèn)題或可借助Matlab工具輔助解決。

Matlab的符號(hào)運(yùn)算工具箱提供了一個(gè)solve（）函數(shù)，該函數(shù)可以用于一般線(xiàn)性或非線(xiàn)性方程的解析求解，可以用來(lái)試著解決我們所關(guān)心的問(wèn)題。

2.2 solve（）函數(shù)簡(jiǎn)介

solve的調(diào)用形式：

solve（eq）

solve（eq， var）

solve（eq1， eq2， …， eqn）

solve（eq1， eq2， …， eqn， var1， var2， …， varn）

eq為符號(hào)表達(dá)式，var為指定的要求解的變量。如果不聲明要求解的變量（第一和第三種形式），則matlab自動(dòng)按默認(rèn)變量進(jìn)行求解。

下面試著以一個(gè)通用一元二次方程的求解例子來(lái)理解solve（ ）函數(shù)。

EG2：試對(duì)一個(gè)典型的一元二次方程y=a*x^2+b*x+c進(jìn)行求解。Matlab的實(shí)現(xiàn)代碼和結(jié)果如下：

圖↑ 程序及結(jié)果

程序計(jì)算得到的結(jié)果是一元二次方程的通解，對(duì)于該結(jié)果我們應(yīng)該是相當(dāng)熟悉的。

2.3實(shí)際傳遞函數(shù)根的求解

EG3：下圖為拉扎維書(shū)上一個(gè)共源極放大器的例子，給出了該電路的精確傳遞函數(shù)。

我們先觀察該傳遞函數(shù)，發(fā)現(xiàn)它是一個(gè)二階系統(tǒng)。由于所有二階傳遞函數(shù)的分母的其實(shí)都是a*x^2+b*x+c的形式，表達(dá)式中的各個(gè)電阻、電容可以申明為變量。如此一來(lái)，此例的實(shí)現(xiàn)和EG2并沒(méi)有什么不同。令分母等于0，求解的結(jié)果便是系統(tǒng)的極點(diǎn)了。此例中零點(diǎn)可以直接觀察得出。

圖↑ 拉扎維書(shū)上的內(nèi)容

思考這樣一個(gè)問(wèn)題：我們真的需要借助Matlab對(duì)諸如此類(lèi)的二階系統(tǒng)求零極點(diǎn)表達(dá)式嗎？

如前所述，我們很清楚一個(gè)二階方程a*x^2+b*x+c=0的通解是什么，那么就可以直接應(yīng)用該公式進(jìn)行極點(diǎn)求解，這時(shí)候用Matlab就有點(diǎn)多余了。

那么對(duì)于更高階的方程，比如三次方程，Matlab能夠勝任解析求解嗎？答案是不能。因?yàn)橐粋€(gè)通用的一元三次方程是沒(méi)有通解的，因此想通過(guò)簡(jiǎn)單申明變量、借助Matlab求其解析解的想法注定難以實(shí)現(xiàn)。需要注意的是，雖然三階方程沒(méi)有通解，但并不代表其沒(méi)有解，它的解是根據(jù)判別式的不同而不同的。而如果明確知道這個(gè)判別式，便可以將其作為一個(gè)新的約束方程，和傳遞函數(shù)進(jìn)行方程聯(lián)解，這時(shí)候是有可能求出結(jié)果的。

在實(shí)際模擬電路的設(shè)計(jì)中，我們通常會(huì)通過(guò)“假設(shè)-保證假設(shè)成立”的方式來(lái)簡(jiǎn)化方程求解。剛才說(shuō)到的“判別式”像極了我們電路設(shè)計(jì)時(shí)的種種假設(shè)條件，所有的計(jì)算都有賴(lài)于這個(gè)前提的成立。關(guān)于eg2，在書(shū)中拉扎維不就假定主極點(diǎn)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于次極點(diǎn)來(lái)簡(jiǎn)化零極點(diǎn)計(jì)算的么。倘若這種假設(shè)是合理的，這將為快速估算提供新的途徑。但是，這種堪稱(chēng)宇宙無(wú)敵的假設(shè)法，一般人是用不了的，比如我就經(jīng)常碰到這樣的問(wèn)題：自認(rèn)為完美的假設(shè)，在一圈計(jì)算下來(lái)之后才發(fā)現(xiàn)前提是不成立的。兩種假設(shè)之間的差別或許就代表著我和大神之間的距離，這多少有點(diǎn)打擊自信心。

至此可以做個(gè)小結(jié)：

對(duì)于包含變量的傳遞函數(shù)，如果其是二階的，利用Matlab求零極點(diǎn)表達(dá)式是容易實(shí)現(xiàn)的。但對(duì)于更高階的系統(tǒng)而言，想通過(guò)Matlab來(lái)求得解析解是極其困難的。

Matlab解出的表達(dá)式即使是準(zhǔn)確的，仍需要我們自己去對(duì)公式進(jìn)行近似?；蛟S近似的公式不絕對(duì)準(zhǔn)確，但卻可以用于指導(dǎo)設(shè)計(jì)。

2.4寫(xiě)在最后

對(duì)于電路系統(tǒng)：

對(duì)于一個(gè)電路系統(tǒng)，它有可能是單輸入、單輸出的，也有可能是多輸入、多輸出的。對(duì)于前者，其傳遞函數(shù)是一個(gè)一元方程；而對(duì)于后者，其傳遞函數(shù)通常是一個(gè)方程組。但無(wú)論是哪種情況，都可以使用solve（）函數(shù)嘗試對(duì)其求解 。

關(guān)于Matlab的符號(hào)計(jì)算：

計(jì)算精確：符號(hào)計(jì)算基于數(shù)學(xué)公式、定理并通過(guò)一系列推理、演繹得到方程的解或者數(shù)學(xué)表達(dá)式的值，對(duì)操作對(duì)象不進(jìn)行離散化和近似化處理；

應(yīng)用范圍有限：實(shí)際科研和生產(chǎn)中遇到的問(wèn)題絕大多數(shù)都無(wú)法獲得精確的符號(hào)解，這時(shí)我們不得不求助數(shù)值計(jì)算；

對(duì)符號(hào)計(jì)算態(tài)度：用其來(lái)完成公式推導(dǎo)和解決簡(jiǎn)單的對(duì)計(jì)算時(shí)效性要求不高的問(wèn)題，綜合符號(hào)計(jì)算和數(shù)值計(jì)算各自的優(yōu)點(diǎn)，視問(wèn)題特點(diǎn)混合使用符號(hào)計(jì)算和數(shù)值計(jì)算。

關(guān)于solve（）：

solve（）函數(shù)適用于單變量方程（比如只有x一個(gè)未知數(shù) ）或多變量方程（比如本文例子中有a，b，c，x，y多個(gè)變量）的求解。但該函數(shù)能求解的前提是求解對(duì)象確實(shí)存在解析解，如果沒(méi)有，那么只能求解數(shù)值解，但數(shù)值解需要傳遞函數(shù)的各系數(shù)已知。

03

只知道一組節(jié)點(diǎn)方程，如何推導(dǎo)系統(tǒng)傳遞函數(shù)？

3.1 問(wèn)題

針對(duì)一個(gè)小信號(hào)模型，如果我們只能根據(jù)KCL/KVL列出節(jié)點(diǎn)方程，因此可以得到一組節(jié)點(diǎn)方程。我們能否借助Matlab工具根據(jù)節(jié)點(diǎn)方程組推導(dǎo)出傳遞函數(shù)呢？

3.2 解決方法

圖↑ 書(shū)上的一個(gè)例子

如上圖，這是拉扎維書(shū)上的一個(gè)例子，我們?cè)囍帉?xiě)程序，看看能否利用兩個(gè)節(jié)點(diǎn)方程推導(dǎo)出傳遞函數(shù)。

程序如下：

圖↑ 代碼

運(yùn)行結(jié)果：

圖↑ 運(yùn)行結(jié)果

直接求出的H1結(jié)果是正確的，但式中還帶有變量Vx，雖然上下式中都有，可以化簡(jiǎn)掉，但該結(jié)果總是不那么理想。因此對(duì)H1進(jìn)行合并同類(lèi)項(xiàng)后得到H2，可以看到H2完全按照降冪排列，且已經(jīng)化除了Vx，表達(dá)式和書(shū)上的完全一樣。

看來(lái)，利用Matlab是可以實(shí)現(xiàn)傳遞函數(shù)的推導(dǎo)的！

3.3 寫(xiě)在最后

其實(shí)推導(dǎo)傳遞函數(shù)本身并沒(méi)有什么難度，即使手算無(wú)非也就是多花點(diǎn)時(shí)間，Matlab只是能讓我們偷個(gè)懶而已，況且你是否敢完全相信軟件的推導(dǎo)結(jié)果呢？

更有意義的是如何面對(duì)一個(gè)傳遞函數(shù)，比如了解它的零極點(diǎn)分布，了解怎樣在參數(shù)之間取舍才能得到一個(gè)穩(wěn)定的系統(tǒng)。而這，軟件似乎無(wú)能為力。

審核編輯：黃飛