單位脈沖的傅立葉變換是否存在？

在之前的文章中，我們研究了信號(hào)x（t）的傅立葉變換的一些特性。總結(jié)一下：

考慮到傅里葉變換是可逆的，我們可以寫(xiě)成：

這個(gè)概念如圖1所示。

圖1：傅里葉變換的反演運(yùn)算

單位脈沖

讓我們?cè)O(shè)想一個(gè)電路，它攜帶的電流在短時(shí)間內(nèi)保持恒定值，然后消失。理想情況下，我們有：

其中持續(xù)時(shí)間T足夠小。此外，我們假設(shè)i0=Q0/T，其中Q0是與電流i0值相關(guān)的電荷（圖2）。這個(gè)理想的實(shí)驗(yàn)使我們能夠控制電流的持續(xù)時(shí)間T，同時(shí)保留電荷值。因此，通過(guò)減小T，我們得到如圖3所示的趨勢(shì)。

圖2：方程（3）的電流趨勢(shì)

圖3：持續(xù)時(shí)間T值減小的方程（3）的電流趨勢(shì)。出于圖形的原因，我們僅針對(duì)起始值突出顯示i0/T

T的逐漸減小在數(shù)學(xué)上由極限通過(guò)運(yùn)算表示：

這顯然是無(wú)稽之談。然而，運(yùn)算（4）中所涉及的電荷是Q0。事實(shí)上，電荷由下式給出：

也就是說(shuō)，圖2中與T無(wú)關(guān)的矩形的面積：

因此，“電流”（4）仍然與電荷Q0相關(guān)。由于（4）的模糊性，我們使用了引號(hào)。然而，結(jié)果（6）是顯而易見(jiàn)的，因?yàn)椤半娏鳌北M管有一個(gè)無(wú)窮大的峰值，但持續(xù)時(shí)間卻無(wú)窮小，并且我們知道0·∞也是無(wú)窮的形式，在這種情況下，它返回的是最終量Q0。用符號(hào)表示就是：

其中δ（t）是狄拉克δ函數(shù)：

式（6）涉及：

這一特性可概括為如下式子：

其中g(shù)（t）是任意正則函數(shù)。因此，積分值等于δ函數(shù)自變量消失時(shí)g（t）所假定的值。由此可見(jiàn)，對(duì)于一個(gè)平移的δ函數(shù)，我們有：

請(qǐng)注意，δ函數(shù)的量綱是其參數(shù)的倒數(shù)。因此，在我們的例子中，它具有時(shí)間的倒數(shù)（即頻率）的量綱。

根據(jù)δ函數(shù)，電流（4）可以寫(xiě)成如下：

這就是所謂的單位脈沖或數(shù)學(xué)脈沖（圖4）。

我們已經(jīng)考慮了電流的具體情況，但也可以考慮電壓。這里，單位脈沖可以寫(xiě)為v（t）=Aδ（t），其中A是一個(gè)常數(shù)，量綱為V·s。

圖4：?jiǎn)挝幻}沖的圖形表示

傅里葉變換

任何單位脈沖在t=0處出現(xiàn)奇點(diǎn)都不會(huì)嚇到我們，因?yàn)槊}沖在任何情況下都會(huì)在無(wú)窮遠(yuǎn)處為零，因此我們預(yù)計(jì)傅里葉積分會(huì)收斂。事實(shí)上，對(duì)于特性（10），我們有：

也就是說(shuō)，單位脈沖的傅立葉頻譜是平坦的。從物理上講，這意味著單位脈沖可以分解為無(wú)數(shù)個(gè)從?∞到+∞的正弦頻率振蕩。

結(jié)論

為了定義單位脈沖，我們從矩形脈沖（3）開(kāi)始，它在數(shù)學(xué)上更簡(jiǎn)單。從正弦振蕩開(kāi)始也能得到同樣的結(jié)果，正弦振蕩從?T/2處開(kāi)始并在T/2處抵消。

我們建議讀者證明傅里葉變換是一個(gè)“sinc”函數(shù)，即sin（f?f0）/（f?f0）類(lèi)型，其中f0是截?cái)嗾袷幍念l率。通過(guò)減少后者的持續(xù)時(shí)間，sinc函數(shù)“變寬”，在T→0的極限范圍內(nèi)變得嚴(yán)格平坦，從而再現(xiàn)了單位脈沖的傅里葉變換。相反，如果持續(xù)時(shí)間T逐漸增加，則sinc函數(shù)“收縮”，并且對(duì)于T→+∞為δ（f?f0），即以f0為中心的δ函數(shù)。這并不奇怪，因?yàn)槲覀儸F(xiàn)在有一個(gè)頻率為f0的從?∞到+∞的完整振蕩，因此傅里葉頻譜是一條以f0為中心的線，在數(shù)學(xué)上用δ（f?f0）表示。

我們的結(jié)論是，必須牢記以下雙重性：