三維空間直角坐標(biāo)系的平移和旋轉(zhuǎn)變換

這次的文章，我們來看一看三維空間直角坐標(biāo)系的平移和旋轉(zhuǎn)變換，盡管這個內(nèi)容早已見諸文獻(xiàn)資料，但自己在看書籍以及期刊論文時，總是遇到讓人百思不得其解的事情，就是不同的文獻(xiàn)給出的同類型的旋轉(zhuǎn)矩陣居然有不一樣的，這讓小D對文獻(xiàn)中的公式產(chǎn)生了懷疑，也不知道哪個旋轉(zhuǎn)矩陣才是對的。

于是，自己動手，豐衣足食，為了驗(yàn)證公式的正確性，小D把旋轉(zhuǎn)矩陣推了個遍，包括文獻(xiàn)中只給出了公式而沒有過程的旋轉(zhuǎn)矩陣的推導(dǎo)。

三維空間直角坐標(biāo)系的平移變換

文章的開頭，還是先講講坐標(biāo)系的平移變換，平移變換的過程如下圖所示：

假設(shè)點(diǎn)P是空間中的任意一點(diǎn)，其在XYZ坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(x, y, z)。現(xiàn)在點(diǎn)P不動，我們將XYZ坐標(biāo)系做一個平移的操作，把XYZ平移到X′Y′Z′的位置，O′是平移后的坐標(biāo)的原點(diǎn)，要注意的是，O′在XYZ中的坐標(biāo)為(x0, y0, z0)。點(diǎn)P在XYZ坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(x, y, z)，點(diǎn)P在平移后的坐標(biāo)系X′Y′Z′中的坐標(biāo)為(x′, y′, z′)。根據(jù)上面這個示意圖，聰明的你一下就可以發(fā)現(xiàn)：

通過上面的式子，我們可以求解出點(diǎn)P在X′Y′Z′坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為：

把上面的式子轉(zhuǎn)換成矩陣的形式就是：

這就是三維空間直角坐標(biāo)系的平移變換了。

三維空間直角坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換

下面我們來看看三維空間直角坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換，小D最開始在研究旋轉(zhuǎn)變換的時候，只推導(dǎo)了右手坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換。有一次看到了一篇文獻(xiàn)，它用的是左手坐標(biāo)系，但小D對文獻(xiàn)中給出的公式的正確性感到懷疑，而我們要在代碼中用到相關(guān)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，這意味著我們需要知道左手坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)矩陣的正確表達(dá)式，所以小D又把左手坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣推導(dǎo)了一遍。

右手坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換

右手坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)過程有三個，分別是繞X,Y,Z軸旋轉(zhuǎn)，右手坐標(biāo)系在旋轉(zhuǎn)時，通常規(guī)定以逆時針旋轉(zhuǎn)方向?yàn)檎较颉?/p>

①XYZ右手坐標(biāo)系繞X軸逆時針旋轉(zhuǎn)θ角

先來推導(dǎo)右手坐標(biāo)系繞X軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)矩陣，這個過程可以用下面這個示意圖表示：

假設(shè)P點(diǎn)為空間中任意一點(diǎn)，為了便于觀察與推導(dǎo)，我們將P點(diǎn)放在YOZ平面內(nèi)。P點(diǎn)在空間中保持不動，XYZ坐標(biāo)系繞X軸逆時針旋轉(zhuǎn)θ形成新的坐標(biāo)系X′Y′Z′，P點(diǎn)在XYZ中的坐標(biāo)為(x, y, z)，P點(diǎn)在X′Y′Z′中的坐標(biāo)為(x′, y′, z′)，現(xiàn)在我們已知(x, y, z)、旋轉(zhuǎn)角度θ和(x′, y′, z′)，求旋轉(zhuǎn)矩陣Rx。在推導(dǎo)的過程中，我們還要假設(shè)一個變量，就是點(diǎn)P相對于Y軸正方向逆時針的夾角為φ。

很明顯，點(diǎn)P在XYZ坐標(biāo)系中的Y,Z軸坐標(biāo)可以表示為：

點(diǎn)P在X′Y′Z′坐標(biāo)系中Y′,Z′軸坐標(biāo)為：

把x，y帶入x′，y′中，同時P點(diǎn)在XYZ中X軸坐標(biāo)與其在X′Y′Z′坐標(biāo)系中的X′軸坐標(biāo)是相等的，所以有：

把這個表達(dá)式表示成矩陣相乘的形式為：

上面的Rx就是XYZ右手坐標(biāo)系繞X軸逆時針旋轉(zhuǎn)θ角，空間中的點(diǎn)從XYZ坐標(biāo)系變換到X′Y′Z′坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣，Rx的表達(dá)式為：

②XYZ右手坐標(biāo)系繞Y軸逆時針旋轉(zhuǎn)θ角

有了前面的推導(dǎo)過程，XYZ右手坐標(biāo)系繞Y軸逆時針旋轉(zhuǎn)θ角的旋轉(zhuǎn)矩陣的推導(dǎo)就一葫蘆畫瓢了。旋轉(zhuǎn)過程如下圖所示：

點(diǎn)P在XYZ右手坐標(biāo)系中的X,Z軸坐標(biāo)為：

點(diǎn)P在X′Y′Z′坐標(biāo)系中的X,Z軸坐標(biāo)為：

把x，z帶入x′，z′中，同時P點(diǎn)在XYZ中的Y軸坐標(biāo)與X′Y′Z′坐標(biāo)系中的Y′軸坐標(biāo)是相等的，所以有：

寫成矩陣相乘的形式：

所以，XYZ右手坐標(biāo)系繞Y軸逆時針旋轉(zhuǎn)θ角的旋轉(zhuǎn)矩陣Ry為：

③XYZ右手坐標(biāo)系繞Z軸逆時針旋轉(zhuǎn)θ角

XYZ右手坐標(biāo)系繞Z軸逆時針旋轉(zhuǎn)θ的過程如下圖所示：

點(diǎn)P在XYZ右手坐標(biāo)系中的X,Y軸坐標(biāo)為：

點(diǎn)P在X′Y′Z′坐標(biāo)系中的x,y坐標(biāo)為：

把x，y帶入x′，y′中，同時P點(diǎn)在XYZ中的Z軸坐標(biāo)與其在X′Y′Z′坐標(biāo)系中的Z′軸坐標(biāo)是相等的，所以有：

寫成矩陣相乘的形式：

所以，XYZ右手坐標(biāo)系繞Z軸逆時針旋轉(zhuǎn)θ角的旋轉(zhuǎn)矩陣Rz為：

左手坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換

左手坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)過程也是三個，分別是繞X,Y,Z軸旋轉(zhuǎn)，左手坐標(biāo)系在旋轉(zhuǎn)時，通常規(guī)定以順時針旋轉(zhuǎn)方向?yàn)檎较颉?/p>

①XYZ左手坐標(biāo)系繞X軸順時針旋轉(zhuǎn)θ角

XYZ左手坐標(biāo)系繞X軸順時針旋轉(zhuǎn)θ角的過程示意圖如下所示：

上圖中，點(diǎn)P為空間中任意一點(diǎn)，點(diǎn)P保持不動，XYZ左手坐標(biāo)系繞X軸順時針旋轉(zhuǎn)θ角形成新的坐標(biāo)系X′Y′Z′。已知點(diǎn)P在XYZ坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(x,y,z)，點(diǎn)P在X′Y′Z′中的坐標(biāo)為(x′,y′,z′)，我們要求的是XYZ坐標(biāo)系變換到X′Y′Z′坐標(biāo)系這個過程中的旋轉(zhuǎn)矩陣。

從圖中可以看出，點(diǎn)P在XYZ坐標(biāo)系中的Y,Z軸坐標(biāo)為：

點(diǎn)P在X′Y′Z′坐標(biāo)系中的Y,Z軸坐標(biāo)為：

把y，z帶入y′，z′中，同時P點(diǎn)在XYZ中的X軸坐標(biāo)與其在X′Y′Z′中的X′軸坐標(biāo)是相等的，所以有：

寫成矩陣相乘的形式：

所以，XYZ左手坐標(biāo)系繞X軸順時針旋轉(zhuǎn)θ角的旋轉(zhuǎn)矩陣為：

②XYZ左手坐標(biāo)系繞Y軸順時針旋轉(zhuǎn)θ角

XYZ左手坐標(biāo)系繞Y軸順時針旋轉(zhuǎn)θ角形成X′Y′Z′坐標(biāo)系，其過程示意圖如下所示：

點(diǎn)P在XYZ坐標(biāo)系中的X,Z軸坐標(biāo)為：

點(diǎn)P在X′Y′Z′坐標(biāo)系中的X,Z軸坐標(biāo)為：

把x，z帶入x′，z′中，同時P點(diǎn)在XYZ中的Y軸坐標(biāo)與其在X′Y′Z′坐標(biāo)系中的Y′軸坐標(biāo)是相等的，所以有：

以矩陣形式表示為：

所以，XYZ左手坐標(biāo)系繞Y軸順時針旋轉(zhuǎn)θ角的旋轉(zhuǎn)矩陣Ry為：

③XYZ左手坐標(biāo)系繞Z軸順時針旋轉(zhuǎn)θ角

XYZ左手坐標(biāo)系繞Z軸順時針旋轉(zhuǎn)θ角形成X′Y′Z′坐標(biāo)系的過程示意圖如下所示：

點(diǎn)P在XYZ坐標(biāo)系中的X,Y軸坐標(biāo)為：

點(diǎn)P在X′Y′Z′坐標(biāo)系中的X,Y軸坐標(biāo)為：

把x，y帶入x′，y′中，同時P點(diǎn)在XYZ中的Z軸坐標(biāo)與其在X′Y′Z′坐標(biāo)系中的Z′軸坐標(biāo)是相等的，所以有：

將上式表示成矩陣的形式為：

所以，XYZ左手坐標(biāo)系繞Z軸順時針旋轉(zhuǎn)θ角的旋轉(zhuǎn)矩陣Rz為：

左手坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣到這里就推導(dǎo)完啦。

旋轉(zhuǎn)矩陣的運(yùn)用

實(shí)際中，當(dāng)我們要推導(dǎo)兩個不同的坐標(biāo)系，比如地心地固坐標(biāo)系和北東天、北東天坐標(biāo)系和機(jī)體坐標(biāo)系等坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系時，就要用到上面的旋轉(zhuǎn)矩陣。一般的方法是，根據(jù)實(shí)際的旋轉(zhuǎn)過程，按旋轉(zhuǎn)的先后順序計(jì)算旋轉(zhuǎn)矩陣。

比如對于右手坐標(biāo)系，如果有一個過程是先繞Y軸逆時針旋轉(zhuǎn)α，再繞X軸順時針旋轉(zhuǎn)β，最后繞Z軸逆時針旋轉(zhuǎn)γ，那么最終的旋轉(zhuǎn)矩陣的表達(dá)就是：

在應(yīng)用旋轉(zhuǎn)矩陣的過程中，小D還總結(jié)了一個經(jīng)驗(yàn)：不管是左手坐標(biāo)系還是右手坐標(biāo)系，假如繞X軸逆時針旋轉(zhuǎn)θ角，相當(dāng)于繞X軸順時針旋轉(zhuǎn)2π-θ角，同時也相當(dāng)于繞X軸順時針旋轉(zhuǎn)-θ角。

旋轉(zhuǎn)矩陣的驗(yàn)證

推導(dǎo)了這么多公式，那推導(dǎo)結(jié)果是否正確呢？我們可以從《雷達(dá)數(shù)據(jù)處理及應(yīng)用》中找到相關(guān)內(nèi)容：

從書中的截圖中可以驗(yàn)證，自己推導(dǎo)的平移變換以及右手坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣是沒有問題的。但是左手坐標(biāo)系的推導(dǎo)，小D至今沒有找到相關(guān)文獻(xiàn)，但小D相信肯定是有的。

然后小D向gpt求證，gpt給出的答案是這樣的：

很顯然，gpt給出的右手坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣不是小D上面推導(dǎo)的結(jié)果，也跟書中的結(jié)果不一樣。于是小D又去問了gpt4，gpt4的回答是這樣的：

gpt4的回答和gpt3.5的回答如出一轍，當(dāng)時小D心想，gpt腦子估計(jì)又瓦特了。直到最近，小D看到了一本英文書籍Geometric Transformations for 3D Modeling_Michael Mortenson，小D才明白，原來gpt是沒有正確理解問題，它給出的是坐標(biāo)系中的點(diǎn)轉(zhuǎn)動，坐標(biāo)軸不動的情況。這本英文書籍中坐標(biāo)轉(zhuǎn)換相關(guān)的內(nèi)容是這樣的：

這個時候，小D才明白為什么gpt會給出那樣的答案，因?yàn)樾D(zhuǎn)分為兩種：

①點(diǎn)不動，坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)，就是小D推導(dǎo)的公式

②坐標(biāo)軸不動，點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，就是gpt第一次回答的公式

以另一種方式問它，它就回答對了“點(diǎn)不動，坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)”的旋轉(zhuǎn)矩陣正確的公式：

到這里，就驗(yàn)證了小D推導(dǎo)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的所有公式啦。

審核編輯：湯梓紅