電機槽內線圈產生的電磁力是作用在槽內的導體上還是鐵芯上？

上期我們講了槽內線圈的感應電勢，解答了用“Blv觀點”計算槽內線圈感應電勢的有關問題，明確了電機線圈中的感應電勢大小與電樞開槽無關，“Blv觀點”不僅適用于計算光滑電樞表面的線圈感應電勢，而且也適用于計算電樞開槽后槽內線圈感應電勢的計算，但用“Blv觀點”計算槽內線圈的感應電勢時，其中的B必須用光滑電樞時的氣隙磁密值代入。

與此問題類似，通電導體在磁場中會受到的電磁力的作用，電磁力的大小可用“BIL”計算。具體到電機中，如果電樞是光滑的，線圈位于光滑電樞表面，則用“BIL觀點”計算線圈導體的受力，進而計算電磁轉矩是非常容易理解的；如果電樞開槽，線圈的導體位于槽內，同樣存在著槽內的磁密很小，“BIL觀點”還是否適用的問題。如果能用，其中的B又應該用何值代入？另外同學們還經常問到一個問題，就是槽內線圈產生的電磁力是作用在槽內的導體上還是作用在鐵芯上？本期就來回答這些問題！

1 磁介質在磁場中受到的磁場力

將一塊磁介質(簡稱“磁質”)置于磁場中，就會受到磁場力的作用。在磁質的某點附近取一體積微元dV，設該體積微元所受到的磁力為dF，則定義dF/dV為該點磁質所受到的體積磁力密度，即f=dF/dV。也就是說，磁質上某點的磁力密度就是該點附近單位體積的磁質所受到的磁場力。根據相關電磁理論，磁質在磁場中所受到的體積磁力密度為：

f=J×B-(1/2)H2?gradμ+f″ ⑴

需要說明的是，上式為不失一般性的磁力密度表達式，全面考慮到了各種情況：其中第一項是考慮了磁質中包含傳導電流所受到的磁場力，即通電導體在磁場中受到的磁力，也就是人們常說的“洛倫茲力”，式中：J為該點處的傳導電流密度矢量；B為該點處的磁密矢量，該項表明通電導體在磁場中所受到的磁力密度為電流密度矢量與磁密矢量的叉乘，進一步推導(略)可知，如果電流方向與磁場方向垂直，則該項磁力的大小就等于BIL，作用點在載流導體上，方向可用左手定則判定；第二項是考慮了磁質中各點的磁導率分布可能不同，式中：gradμ為該點磁導率的梯度；H為該點的磁場強度，該項表明當磁質內各點的磁導率分布不均勻時，就會因各向磁阻不均勻而產生的磁力，稱為麥克斯韋力，麥克斯韋力的大小與該處磁導率的梯度成正比，該項前面的負號“-”表示麥克斯韋力的方向為從μ值大處指向μ值小處；第三項 f″則表示磁質在磁場中受到應力后發(fā)生變形，于是各方向的μ值發(fā)生變化而引起的力，稱為磁致伸縮力，通常在磁質內部 f″會被材料局部的彈力相平衡，屬于內力，只影響磁質內部的應力分布，不影響整個磁質所受到的總合力，加之在簡化的鐵磁物質模型中，認為磁質變形時μ并不隨之而變化，因此通常在電機中將該項忽略不計。這樣在分析實際電機中的電磁力時，就只考慮前面兩項——洛倫茲力和麥克斯韋力，并還可根據電機磁路的具體情況，作相應的簡化。

整塊磁質所受到的磁場力：

F=?【V】f?dV⑵

式中：【V】為積分區(qū)域，即整個磁質的體積。

2 磁場通過兩種不同磁介質時交界面上的磁場力

對于⑴式中的第二項——麥克斯韋力，若一種磁質內部的μ為常數(處處相等)，則該磁質內部gradμ=0，這就意味著同一磁介質內部的麥克斯韋力為0，但如果磁路中存在兩種磁介質，例如電機的磁路中就存在鐵心與空氣兩種磁介質，由于鐵心與空氣的磁導率相差巨大，那么在鐵心與空氣的交界面上就存在巨大的法向磁導率梯度gradμ，因此在交界面上就會產生巨大的麥克斯韋力。因此在分析電機中的電磁力時，往往不考慮鐵心內部的體積磁力密度，而只考慮兩種不同介質交界面上的面積磁力密度，即磁應力，為此⑵式可寫作：

F=?【V】f?dV=?【A】σ?da⑶

式中：【A】為積分區(qū)域，即為包圍體積【V】的閉合曲面；σ為磁應力，即單位面積上的電磁力；da為曲面A上的面積微元。

根據麥克斯韋張量理論，經過一系列復雜的推導(略)，得出兩種不同磁介質交界面上的磁應力：

σ=(1/2μ)(Bn2-Bt2)n+(1/μ)Bn?Bt?t=σn+σt ⑷

式中：Bn和Bt分別為交界面上法向和切向的磁密；n和t分別代表交界面上的單位法向矢量和單位切向矢量；σn和σt分別為交界面上磁應力的法向分量和切向分量：

σn=(1/2μ)(Bn2-Bt2)

σt=(1/μ)Bn?Bt ⑸

3 鐵心和空氣交界面的磁場力

如圖1所示表示鐵心和空氣形成交界面A。設空氣為介質1，μ1=μ0，空氣側的磁密為B1；鐵心為介質2，μ2=μFe，鐵心側的磁密為B2；磁場為二維平行平面場。

在交界面A上取一面積微元da，根據⑸式，空氣側磁應力的切向分量σ1t和法向分量σ1n分別為：

σ1t=(1/μ0)B1n?B1t

σ1n=(1/2μ0)(B1n2-B1t2) ⑹

鐵心側磁應力的切向分量和σ2t和法向分量σ2n分別為：

σ2t=(1/μFe)B2n?B2t

σ2n=(1/2μFe)(B2n2-B2t2) ⑺

于是作用在微元面積da上的合成切向磁應力σt和法向磁應力σn分別為：

σt=σ1t-σ2t=(1/μ0)B1n?B1t-(1/μFe)B2n?B2t

σn=σ1n-σ2n=(1/2μ0)(B1n2-B1t2)-(1/2μFe)(B2n2-B2t2) ⑻

若交界面上無電流層，則交界面上的邊界條件為：

B1n=B2n=Bn≈Bδ

H1t=H2t=Ht ⑼

式中：Bδ為氣隙磁密。

將⑼式代入⑻式得：

σt=0

σn=[(μFe-μ0)/(2μFe?μ0)]?(Bn2+μFe?μ0?Ht2) ⑽

由⑽式可見，當交界面上無電流層時，交界面上僅有法向磁應力，其方向為從鐵心指向空氣，切向應力恒等于0。由于鐵心的磁導率遠大于空氣的磁導率，即μFe＞＞μ0，故認為磁力線進入鐵心時，基本上垂直于鐵心表面，即Ht≈0，于是法向磁應力可近似寫成：

σn≈Bn2/(2μ0)≈Bδ2/(2μ0) (11)

通常工程實踐中，都是用(11)式來計算法向磁應力的。

4 線圈置于光滑電樞表面時的切向力

在實際電機中，如果把圖1中的鐵心側看作光滑的電樞鐵心；空氣側看作氣隙；把電樞繞組看作均勻分布在電樞鐵心與氣隙的交界面上，電樞繞組中的電流看作是均勻分布在交界面上沒有厚度的電流層。那么在電機空載時，交界面上沒有電流層，根據上述第3章的分析，分界面上的切向磁應力和法向磁應力即由(10)式決定，也就是說，光滑電樞的電機空載時切向磁應力為0，只有法向磁應力，法向磁應力近似按(11)式計算。由于法向磁應力不產生電磁轉矩，而產生電磁轉矩的切向磁應力為0，因此空載時電磁轉矩為0。

負載時，電樞繞組中通有電流，即交界面上存在電流層有，設電樞圓周單位弧長上的電流為A′(即電機設計里的線負荷，為了區(qū)別于交界面A，這里用A′代表線負荷)：

A′=∑I/(2πR) (12)

式中：∑I為整個電樞圓周上的總電流，即各相電流的安導總和；R為電樞半徑。

接下來分析交界面上存在電流層時的邊界條件。首先看法向邊界條件，由于磁力線是不間斷的閉合曲線，因此在交界面上，鐵心和氣隙兩側的法向磁密相等，即交界面上的法向邊界條件仍然是B1n=B2n=Bn≈Bδ，交界面上的法向磁應力仍然按(11)式計算。

再看切向邊界條件，圖1中將磁場強度H沿包圍面積微元da的閉合曲線周長積分就應該等于da面積內所包圍的電流，即：

H1t?dl+H2t?dl=A′?dl (13)

式中：H1t、H2t分別為分界面上空氣和鐵心側磁場強度的切向分量；dl為電樞圓周上的弧長微元?？紤]到鐵心中的磁導率遠大于空氣的磁導率，即μFe＞＞μ0，因此鐵心側的切向磁壓降可以忽略不計，認為所有磁壓降全部降在氣隙側，即H2t?dl=0，H2t=0，于是有H1t=A′。因此交界面上的邊界條件為：

B1n=B2n=Bn≈Bδ

H1t=A′｝(14)

H2t=0

將上述法向和切向邊界條件代入⑻式的第一個公式，得負載時切向磁應力為：

σt=(1/μ0)B1n?B1t

=B1n?H1t

=Bδ? A′ (15)

由(15) 式可見，電樞表面的切向磁應力就是電機設計里所說的電磁負荷！

進一步推導電機負載時總的切向力為：

Ft=σt?2πR?L

=Bδ?A′?2πR?L

=Bδ?∑I?L (16)

式中：L為鐵心有效長度。由(16)式可見，光滑電樞表面的電機，負載時的切向電磁力就是“BIL”。

小結一下：線圈置于光滑電樞表面時，空載切向磁應力為0，法向磁應力約為Bδ2/(2μ0)，電磁轉矩為0；負載時的法向磁應力仍約為Bδ2/(2μ0)，切向磁應力等于負載時的電磁負荷，切向電磁力可以用 “BIL觀點”來計算，切向電磁力的作用點是作用在線圈導體上，鐵心表面只受法向電磁力作用。

5 線圈置于電樞槽內時的切向力

當電樞開槽、導體嵌入槽內以后，情況有了很大的變化。由于鐵心的磁導率遠大于空氣的磁導率，槽內磁通密度相對較低，因此載流導體放入槽內后，導體上所受到的電磁力將急劇下降，此時切向磁場力和由此產生的電磁轉矩，大部份將集中在電樞齒壁上。下面用磁應力來說明此問題。

如圖2a)表示空載時主極所產生的氣隙和槽內磁場，圖b表示槽內載流導體單獨作用(不考慮主極磁場)時，槽內和氣隙中的磁場。設鐵心的磁導率μFe＝常值，把圖2a)和圖2b)兩個磁場疊加，可得負載時氣隙和槽內的合成磁場，如圖2c)所示。

比較圖2a)和圖2c)可以看出：空載時電樞左、右齒壁上的磁場為對稱分布，作用在左、右齒壁上的法向(x方向)磁場力互相平衡，使切向合成磁場力和相應的電磁轉矩為0。負載時，由于載流導體的作用，氣隙和槽內的磁場發(fā)生畸變，左、右齒壁上的磁場分布不再對稱，左齒壁上的磁場加強、磁應力加大，右齒壁上的磁場減弱、磁應力減小，結果使齒上受到一個x方向（即切向）的磁場力和電磁轉矩。

設Bs0為空載時齒壁上的磁通密度，Bsi為槽內載流導體單獨作用時，在左、右齒壁處所產生的磁通密度；則負載時左齒壁上的磁通密度Bs1＝Bs0＋Bsi，右齒壁上的磁通密度Bs2＝Bs0-Bsi，如圖2c)所示；于是由式(11)可知，作用于左、右齒壁上的合成磁應力σ為：

σ≈(1/2μ0)(Bs12-Bs22)

=(1/2μ0)(Bs1+Bs2)(Bs1-Bs2)

=(1/2μ0)?2Bs0?2Bsi

=(2/μ0)Bs0?Bsi (17)

合成磁場力F則為

F=∫【0,h】σ?L dy=(2/μ0)L∫【0,h】Bs0Bsidy (18)

式中：h為槽高；L為鐵心有效長度。此力對齒壁而言是法向力，對電樞而言，則是產生電磁轉矩的切向力。

一般情況下，要用解析法來推導出Bs0和Bsi是極為困難的。但是，對于矩形開口槽、且槽形很深(認為h→∞)，載流導體置于槽底的情況，可以用保角變換法來求出槽壁處的Bs0和Bsi，并由此算出作用在載流導體上的合成的磁場力F。對于這種特定情況，經過一系列復雜的推導和計算(略)可得到如下結論：

①當槽深h→∞時，作用在左、右齒壁上的合成磁場力大小，恰好等于電樞為光滑時作用在載流導體上的切向電磁力F0，F(xiàn)0＝BδIL，其中Bδ為光滑電樞時的空載氣隙磁密。

②從槽口到深度d處，齒壁上的合成磁場力Fd如圖3所示。

由圖可見，90％以上的磁場力將集中在離槽口2.5g深(g為氣隙長)的齒壁上。

③當載流導體進入槽內時，由于齒的屏蔽作用，導體上所受到的切向電磁力將隨導體所處深度的增大而急驟下降。例如當bs/g＝4、載流導體為線電流、進入槽內深度d＝2g時，作用在導體上的切向電磁力，將下降到置于光滑電樞表面時的10％左右。

用上述磁應力法來計算磁場力，其優(yōu)點是既可算出實際磁場力的分布，又可算出總的電磁力和電磁轉矩；缺點是需要求出負載時整個電機內的磁場分布，這用解析法是不可能做到的，只能通過數值計算的辦法才能做到。

必須強調一個重要結論：電樞開槽后，無論何種槽型，作用在電樞齒壁上的合成切向磁場力，與作用在槽內載流導體上的切向電磁力兩者之和，恒等于載流導體置于光滑電樞表面時的切向電磁力“BIL”，這就意味著電樞開槽后，仍然可以用“BIL觀點”來計算切向電磁力！特別是如果僅需知道總的電磁轉矩，而無需得知電磁力和電磁轉矩的分布時，就可以作為載流導體置于光滑電樞表面的情況來處理，并用“BIL觀點”算出電磁力和總的電磁轉矩。但必須注意以下兩點：一是此時電樞表面必須是光滑的圓柱面，否則將導致錯誤的結果；二是這樣處理雖然總的切向電磁力和電磁轉矩結果是正確的，但是并未揭示問題的實質和切向電磁力的分布情況，實際上電樞開槽后，產生電磁轉矩的切向力主要是作用在鐵心的齒上，而槽內載流導體受到的切向力很小，通?？梢院雎圆挥?。

其實上述重要結論還可從另外一個角度，用“虛位移法”來理解和解釋：假設載流導體為“線電流”，即槽的面積遠大于載流導體截面積，導體的粗細可以忽略，認為載流導體是一根無限細的導線，當把該載流導體放入很深的槽底時，則電機內部的磁場分布(氣隙和槽內的磁場分布)就與導體在槽底的切向位置無關，將載流導體在槽底切向移動位置時并不影響槽內和氣隙磁場的分布，因而磁場的儲能不會因導體在槽底作切向位移而變化，這就意味著磁場儲能對導體切向位移的偏導數為0，說明導體所受到的切向電磁力即為0。而鐵心若沿切向位移一個很小的角度時，磁場的儲能會變化很大，即磁場儲能對鐵心切向位移的偏導數很大，說明切向電磁力主要作用在鐵心上。當然上述這種分析是建立在理想的假設條件下，如：“線電流”模型、槽子足夠窄而深、導體位于槽內足夠深處等，如果考慮到實際電機中槽子深度有限、導體離槽口較近等因素，則槽內載流導體也會受到一定的切向電磁力，特別是當槽子寬而淺、導體離槽口很近時，導體受到的電磁力會有所增大(如圖3所示)，但與齒壁受到的切向力相比，導體受到的切向電磁力還是很小，可以忽略的。

總結一下：

①電樞表面光滑時，電樞受到的切向電磁力可以用“BIL觀點”來計算，切向電磁力的作用點是作用在載流導體上。因此在設計無槽電機時，要特別注意繞組與電樞鐵心之間的機械固定問題，必須要有足夠的附著力，以防線圈與鐵心之間扭脫打滑發(fā)生相對移位。

②電樞開槽后，線圈導體嵌放于槽內，此時仍然可以用“BIL觀點”來計算總的切向電磁力的大小，但切向電磁力的作用點并不是作用在導體上，而是主要作用在鐵心的齒壁上，而槽內載流導體上的切向電磁力可以忽略不計。因此，設計有槽電機時，應該對齒根部位進行必要的機械強度校核，以免齒根斷裂。





審核編輯：劉清