關于極限語言ε-δ的一點理解

好多人都是因為這個地方放棄數(shù)學的對吧？

我覺得也不用說什么這個語言是怎么出來的，直接講我的理解。

“無限接近于X”這個表述方式無法被準確定義。你不能用一個未被定義的詞來作為定義本身的一部分。就好像我們寫程序一樣，一定要保證一開始運行的狀態(tài)你是可控的。

所以這個ε-δ的工作就是來精確的說明和一個數(shù)字無限貼貼的時候應該如何理性的定義。（把原來不確定的動態(tài)的靠近過程，轉換成了靜態(tài)的，確定的數(shù)）

其實本質是使用了差值，或是叫可以接受的誤差。

這里面說了數(shù)列和極限：

數(shù)列說的是下標，函數(shù)說的領域，因為我們研究的一點處的情況。

其實ε是"error"(誤差)、δ是"distance"(距離)的首字母。實際上，是柯西在他的著作中用ε來表示"error"的。

這個也挺抽象的

目前教科書上面的定義都是這個

wiki百科是這樣的，其實是一樣的

emmmm，原因是因為采用了‘任意-存在’這種邏輯結構，就讀不懂了。

這個是上面的定義的可視化圖：只要無限靠近c，函數(shù)值就無限靠近L

繼續(xù)說，如何來表達函數(shù)值和極限值的趨近，也就是極限關系呢？就是它們的距離越來越小，距離的表示就是 |函數(shù)值-極限|，距離一定是正的，加絕對值，如果你說可以是負值，那我勸你還是不要GHS。

也就是說，小于世界上任何一個正數(shù)就好了，可能在你的認識里面這個數(shù)等于0就是最好的，不行啊，這樣一搞不就是是等式了。

那么我們這樣說，對任意一個ε（取很小的值），使得|函數(shù)值-極限| ＜ε就說明啦。以上是對函數(shù)值無限接近于極限值的描述。

接著就是來說明這個了，這個x為什么會被夾著。

極限是自變量趨于某個值的，這個趨近于的描述應該是一個過程，如何用數(shù)學來說明這個趨近的事實。兩個點不太行，只有連續(xù)才可以表示一個過程。在數(shù)學里面使用“區(qū)間”才可以表示連續(xù)的點。

先設x和a的初始距離為δ，在x靠近a或者是趨近的這個過程中，x和a之間的范圍始終在（0，δ）區(qū)間里面。

距離我上面說了，可以用差的絕對值來表示，也就是說自變量趨于某個值。

這個圖也挺形象

上面的這個不等式也可以說成是鄰域，也就是說鄰域知道了極限的作用范圍。

至于微積分基本上每個定義上，都會加個去心鄰域，現(xiàn)在明白了，其實就是為了防止鄰域中心沒有定義的情況，因為書上的定義定理啥的都得具有一般性，所以它就這樣，能夠代表所有不管在此點有沒有定義的函數(shù)，反正是極限，有沒有鄰域中心都一樣。

本來極限的定義就是無限趨向該點，這和在該點有沒有定義并沒有關系，所以我們只要保證除去該點以外的鄰域有定義即可。

這個解釋也很酷，說明了鄰域的作用其實是一個微小的觀察空間

這個也是一個有趣的例子

審核編輯：劉清