數(shù)據(jù)表示與編碼的奧秘：為什么8位數(shù)據(jù)范圍是-128到127？

很表面很淺薄的問題。

簡單說愛怎么規(guī)定就怎么規(guī)定，甚至-1到254都行。無非是顯示時通過編碼表做個轉(zhuǎn)換的問題而已。

不過，當初選擇“補碼”這種編碼形式，卻并不像表面看起來那么淺薄。背后的道道可多著呢。

首先，8位二進制一共可以提供256個“碼點”；那么我們就總可以用這些“碼點”來編碼256種符號。

這種編碼方案有很多。最著名的大概就是ASCII碼方案了，這個方案規(guī)定了英文字符（區(qū)分大小寫）、0~9這10個數(shù)字、標點符號以及一些控制字符如何編碼：

但ASCII碼用來編碼字符效果不錯；拿來存儲數(shù)字卻極為浪費。比如它需要三個字節(jié)才能表示123。

為了編碼數(shù)字，我們需要一個更有效的方案。

一種很自然的想法是，我們就直接把二進制對應的數(shù)字值拿來用，這就是最好的編碼方案！

于是，8個二進制位就可以表示0~255之間的所有數(shù)字——用ASCII碼三個字節(jié)才能表示的123，直接用二進制編碼就是01111011，一個字節(jié)足夠了。

這個方案只能表示正數(shù)；遇到負數(shù)怎么辦呢？

簡單，第一個二進制位拿出來當符號位，剩下七位仍然當數(shù)字用，就能表示±127之間的任何數(shù)字了。

這個方案就叫“原碼”；其中不帶符號位的就是無符號數(shù)（unsigned）。

原碼是一種很初級的編碼方案，它僅僅解決了編碼問題——從此數(shù)字有辦法二進制表示了。

但我們在計算機內(nèi)部表示數(shù)字是用來計算的；那么想用原碼計算的話，那可就麻煩了……

我們知道，最初CPU的內(nèi)部最重要的核心器件叫ALU（Arithmetic and Logic Unit算術(shù)邏輯單元），其中的A就是數(shù)學。

ALU的核心是加法器，這是個隨參與計算的數(shù)值的二進制位數(shù)指數(shù)增長的數(shù)字電路。較早期的CPU里面絕大多數(shù)的邏輯門都被拿來做這個加法器了。

加法器顧名思義只能拿來做加法。

但是沒關系，如果你調(diào)過機械表，就知道從8點調(diào)到1點的方式有兩種：一種是往后撥7個小時，一種是往前撥5個小時。

換句話說，在時鐘鐘面上，8-7和8+(12-7)效果相同，最終得到的都是1.

類似的，1個字節(jié)的加減法，如果計算結(jié)果超過255就會造成溢出，溢出的高位二進制數(shù)據(jù)無處存放自動丟棄，計算結(jié)果就出錯了——但反過來想，這不恰恰就是一個邏輯鐘面嗎？

顯然，我們也可以利用這個性質(zhì)做減法：減32完全可以當成加(256-32)來算嘛；而由于二進制的特點，256-32恰好又等于32這個數(shù)值取反。

類似的，有符號數(shù)其實是一個符號位和7個二進制位，7個二進制位能表示的最大數(shù)是127；因此減32就可以用加(128-32)代替（和表盤上的12點/0點一樣）。

于是，減法器就可以不做，一個加法器就足夠用了——省了好大一坨門電路，CPU的制造成本一下子就去了一大塊。

既然最終減法一定要這樣做……那么從一開始就不應該用原碼表示負數(shù)，對吧。

不然每次計算都還得用一條指令判斷判斷符號位，然后該取反取反……這速度可就慢下去了。

如果從一開始，負數(shù)就取反表示，那么負數(shù)加法完全無需判斷，拎起來就加——圓滿。

這個編碼方案就是所謂的反碼。

反碼是一個充滿了工程師的惡臭味的優(yōu)秀方案。

說它優(yōu)秀，是因為它的確解決問題；說它惡臭，是因為它用起來實在麻煩，需要很多“微妙”的調(diào)整才能得到正確結(jié)果。

比如，它的符號位相加后，如果產(chǎn)生了進位，就要把進位送回去加到最低位上——你得搞一大張真值表才能確定這個做法的正確性。

嗯……這就是最容易產(chǎn)生沒人看得懂但絕對不能動不然就會出錯的神奇代碼的重災區(qū)——反正它就是能工作；剛開始我還知道為什么得這樣做，一段時間后就只有上帝知道了。

反碼行為奇特的根本原因在于，它有兩個零：＋0和－0，分別對應于00000000和10000000——還記得嗎？我們規(guī)定第一位是符號位。因此最前面的0/1是±號，并不是數(shù)值。

但＋0和－0都是0.它們是同一個數(shù)據(jù)，卻得到了兩個碼點。

打個比方的話，這就好像夜里12點就是0點一樣；結(jié)果我們的鐘匠師傅沒想明白，偏偏要在鐘面上、12點和1點之間添加一個零點——然而邏輯上我們?nèi)匀恍枰?2小時是一圈。

現(xiàn)在，你還想好好調(diào)表嗎？算的準準的，8點前擰5個小時就是1點了；結(jié)果擰完一看，0點？

徹底亂套了，對吧。

而反碼的計算規(guī)則呢，無異于規(guī)定了過12點的方向——正著過正常去1點，反著過會先停在-0點上，所以必須推一把。

注意這個調(diào)整是計算過程的一部分，每次計算都必須即時調(diào)整。這是一個額外的負擔——和顯示時查表轉(zhuǎn)換到光學點陣/向量是不想干的兩個過程。

或者說，數(shù)據(jù)的內(nèi)部表示和外部顯示之間的轉(zhuǎn)換是另外一個必不可少的流程。這里只要不是太過復雜就不能算額外負擔；而原碼/反碼這兩個編碼方案已經(jīng)影響了計算過程，造成了額外的性能消耗。

一言以蔽之：能解決問題，但是太難看、太復雜。

一個更好的方案叫補碼。

但是在介紹補碼之前，我先來講一個數(shù)學概念—群。

群大概來源于“算術(shù)運算以及適用算法運算的集合”的抽象，但又超脫于簡單的四則運算，是一切計算/變換類似行為的總綱。

在群的觀念里，加減乘除都是一種“二元運算”；二元運算是一個集合G中任意兩個元素向群中另一個元素的映射。比如1+1就映射到了2。

注意群有“封閉性”，意思是群中任意兩個元素經(jīng)過二元運算后，映射的那個元素都還要在群中。因此(自然數(shù),加減法)就不是一個群，因為減法會映射到負數(shù)。

此外，二元運算需要滿足結(jié)合律，要有單位元（任何元素與之執(zhí)行二元運算后都會映射到該元素自身），等等。

更復雜的東西我也還看不懂（對不起，俺數(shù)學水平太弱雞了）；但了解這么多其實也已經(jīng)夠了：反碼存在兩個0，意味著對于加法運算來說，它存在兩個不同的單位元；而根據(jù)群的定義，群里面有且只有一個單位元。

因此，在反碼這個基礎上無法定義一個群——用人話說就是，你不可能期望找到一種不需要判斷的算法，從而基于反碼模擬加減法運算。

沒錯，反碼有兩個零這事并不像外行想象的那樣無關痛癢——它并不僅僅是浪費了一個碼點的問題，而是破壞了相關結(jié)構(gòu)的性質(zhì)的問題。

如何解決這個問題呢？

不妨返璞歸真，看看這個問題的本質(zhì)。

很簡單，和上面等待寫入時間信息的無字鐘面一樣：這里有256個不同的二進制編碼，我們需要給它們分別指定一個意義。

我們希望它們是連續(xù)的編碼，且基于二進制的排序不能打亂——這樣我們才能使得基于這些碼點的、拋棄溢出位的加減法運算構(gòu)成一個群。

只有它們是一個群，我們才能簡單明了的在加法器上支持加減法運算——而不是先算一個瑕疵值然后想辦法彌補、把硬件/軟件變得復雜。

打個比方的話，就是把這些二進制編碼按順序排于鐘面，我們要在上面填上帶±號的數(shù)字。

原碼的問題在于，它的編碼排列“不按固定順序”，使得因此必須把負數(shù)先“顛倒”一下（實際上取反）才能用；而反碼頭疼醫(yī)頭腳疼醫(yī)腳，大致保證了編碼順序，卻沒能消除額外的無效碼點，造成在±0這個位置兩個碼點對應一個編碼。

這兩個編碼都沒法自然構(gòu)造出加法群。

借用@任衛(wèi)同學的這張圖：

可以很清晰的看出補碼編碼的連續(xù)性。

（相比之下，原碼是0 1 2 3……127 -0 -1 -2……-127，順序上一會兒從小到大一會兒從大到??；補碼按照一定的順序編碼但是多了個-0；

只有補碼，嚴格按照統(tǒng)一的順序連續(xù)排列數(shù)字）。

既然連續(xù)，那么通過加一個值（可能為負）調(diào)整對稱中心（比如0的位置是00000000還是11111111）、然后再引入模運算剔除高位溢出，這個群就建立起來了。

換句話說，隨便你如何編碼，只要別改變底層的二進制順序、不要有跳躍/重復碼點，那么這個計算就仍然是一個群。

這個計算過程和最終的顯示是完全脫鉤的，你不需要在計算時做任何調(diào)整——溢出就隨它溢出，反正（在模運算的層面上）算出來的值總是對的。這是群的性質(zhì)所保證的。

（注意是“模運算的層面上”，換句話說算出來的實際意義是什么還是得你自己解釋；尤其是產(chǎn)生溢出之后。）

比如，哪怕你把它的編碼范圍改成[-129, 126]或者[-1, 254]，這也僅僅是一個加/減一個整數(shù)的映射操作而已；核心計算法則仍然會滿足你的需求）。

甚至，你規(guī)定0代表1、1代表0，最終也不過是顯示時換一個不同的譯碼表而已，并不改變問題性質(zhì)。

這個性質(zhì)是普適的。

7位、8位或者32位、128位二進制全都適用。

一旦明白了這個……再寫環(huán)形緩沖時，你還要費勁巴拉的檢查什么時候需要繞回嗎？求個余（或許還需要再視情況不同增減一個常數(shù)），完事。

你看，數(shù)學這種東西厲害吧？

哪怕群論門檻都摸不到的這么一點點皮毛知識，帶來的就是眼界水平的差異。

一旦了解了這點皮毛，關于補碼的種種清規(guī)戒律神奇規(guī)則，也就平常。

但沒有這個眼界，就容易像反碼那樣動輒得咎；反之，隨你怎么玩都不會出界。

沒錯。別看這東西簡單；

但想要做第一個提出的人，你還是需要強悍的洞察力的。

站在群論的肩膀上、反向碾壓這個問題，這是伽羅瓦之后的現(xiàn)代人特有的福利。

審核編輯：黃飛