請問群時延和相位時延分別是怎么影響著信號的呢？

今日正文

(1) 什么是線性時不變系統(tǒng)(LTI System)?

線性時不變系統(tǒng)，英文全稱是linear time-invariant system，簡稱LTI System。

線性時不變系統(tǒng)，即這個系統(tǒng)既是線性系統(tǒng)，又是時不變系統(tǒng)。

所謂線性系統(tǒng)，即表示系統(tǒng)滿足疊加關(guān)系，如下圖所示。

所謂時不變系統(tǒng)，即滿足下列等式，如下圖所示：

即，輸入的時延會等量的反應到輸出上。

(2)線性時不變系統(tǒng)的傳輸函數(shù)

線性時不變系統(tǒng)，可以用系統(tǒng)的沖激響應來表示，即當輸入為沖激函數(shù)δ(t)時，系統(tǒng)的輸出響應。同時結(jié)合LTI系統(tǒng)所滿足的線性和時不變特性，推導出輸入x(t)，輸出y(t)和沖激響應h(t)之間的關(guān)系，如下圖所示?？梢钥吹剑琇TI系統(tǒng)的輸出，是其輸入與系統(tǒng)沖激響應的卷積。

對等式兩端求傅里葉變換，可以得到：

H(f)即定義為LTI系統(tǒng)的傳輸函數(shù)，為Y(f)和X(f)的比值，也為系統(tǒng)的沖激響應對應的傅里葉變換，即：

同時，傳輸函數(shù)H(f)還可以分成兩部分來表示，一部分為幅度，一部分為相位，即：

(3)無失真線性時不變系統(tǒng)

對于小信號射頻鏈路而言，我們希望這個線性時不變系統(tǒng)是無失真的，即信號通過這個系統(tǒng)時，相當于把信號從一個時間點上平移到另一個時間點上，除了幅度等比例放大或縮小外，其他都不變。

無失真線性時不變系統(tǒng)，即表示既無幅度失真，也無相位失真。

所謂幅度失真，就是不同頻率處幅度的放大或縮小的比例不一致，即上圖中的K隨頻率變化。所謂相位失真，就是不同頻率處相位時延(phase delay)不一致，即上圖中的t0隨頻率變化。

而無幅度失真和無相位失真，即表示K和t0都是恒定值。

無失真線性時不變系統(tǒng)的傳輸函數(shù)H(f)的幅度和相位響應，可以用下圖來表示。

(4) group delay和phase delay的定義

群時延(group delay)和相位時延(phase delay)的定義如上圖所示。

按照上面的定義，計算無失真線性時不變系統(tǒng)傳輸函數(shù)對應的phase delay和group delay，發(fā)現(xiàn)兩者是相等的，如下圖所示。

(5)那群時延和相位時延分別是怎么影響著信號的呢？

假設輸入是一個帶包絡的窄帶調(diào)制信號，那么可以推導出這個信號經(jīng)過LTI系統(tǒng)后，群時延和相位時延對它的影響，如下圖所示。

(6)從頻域看看這個影響？

假設系統(tǒng)為無失真線性時不變系統(tǒng)，則τp=τg，并假設輸入信號是帶包絡的窄帶調(diào)制信號，如下圖所示。

則輸出信號的頻譜為：

在相應的假設下，輸出信號的頻譜為：

也就是說，group delay對應于m(t)個頻率分量的角度旋轉(zhuǎn)，上面是假設τg是不隨頻率變化的，旋轉(zhuǎn)角度是有規(guī)律可言的；但一般濾波器的群時延，都有一個波動，這會導致旋轉(zhuǎn)角度沒有規(guī)律，而且基帶頻率的地方，角度旋轉(zhuǎn)的越多。不知道，這是不是寬帶信號要求群時延波動更低的底層原因？

而phase delay則對應于載波的角度旋轉(zhuǎn)，因為這邊的假設，載波的旋轉(zhuǎn)角度正好是200pi，正好是周期的整數(shù)倍，所以沒有在圖中體現(xiàn)出旋轉(zhuǎn)角度的量。

我想基帶算法部分，對固定的群時延應該能夠糾正，但是對于群時延波動，不知道行不行？