Allan 方差理論及測(cè)量方法

Allan方差起初是為了評(píng)估原子鐘振蕩器的穩(wěn)定性而提出的，它提供了在不同時(shí)間尺度上頻率穩(wěn)定性的可靠測(cè)量，而標(biāo)準(zhǔn)偏差等統(tǒng)計(jì)量卻沒有考慮到這一點(diǎn)。在本白皮書中，我們將回顧 Allan 方差的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，并分享Allan 方差及其相關(guān)參量如何在振蕩器表征等實(shí)際應(yīng)用中成為精確分析時(shí)間序列數(shù)據(jù)的有用工具。

利用Moku 我們可以執(zhí)行Allan 方差測(cè)量，Moku 是一種基于 FPGA 的設(shè)備，它包含了一整套可重構(gòu)的測(cè)試測(cè)量儀器。相位表是Moku上開發(fā)的高精度數(shù)字相位測(cè)量?jī)x，我們可以超精確地記錄輸入周期信號(hào)的相位、頻率和振幅數(shù)據(jù)，也可以實(shí)時(shí)地計(jì)算和繪制 Allan 方差統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)。

Allan方差由來

您的系統(tǒng)穩(wěn)定性如何？有許多工具可以用來解答這個(gè)問題。1960年 David W. Allan 在在美國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)技術(shù)研究院（當(dāng)時(shí)稱為國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)局）研究光學(xué)時(shí)鐘時(shí)發(fā)明了一種全新的工具[1]。

Allan 發(fā)現(xiàn)，隨著樣本數(shù)量增加，現(xiàn)有的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)（例如標(biāo)準(zhǔn)差）對(duì)于特定噪聲源會(huì)出現(xiàn)偏差。這促使他開發(fā)了一種新的時(shí)域計(jì)量方法，今天該方法以他的名字命名。

由于 Allan 當(dāng)時(shí)研究光學(xué)時(shí)鐘，所以為原子頻率鐘標(biāo)準(zhǔn)開發(fā)了 Allan 方差。因此，該主題的討論經(jīng)常僅限于該領(lǐng)域的術(shù)語(yǔ)，特別是在表征振蕩器的頻率穩(wěn)定性方面。

但是，Allan方差可以針對(duì)任何時(shí)間序列進(jìn)行計(jì)算。該序列可以代表信號(hào)自身，像溫度傳感器的輸出信號(hào)，或其任意屬性（如頻率、相位、幅度等），并以恒定的速率進(jìn)行評(píng)估。因此，Allan 方差從通信[2]到導(dǎo)航[3]的各種應(yīng)用中備受青睞。

Moku 相位表提供了 Allan 方差作為一個(gè)數(shù)據(jù)后續(xù)處理的選項(xiàng)，如下方圖 1 Moku:Pro 相位表所示。本說明針對(duì)首次接觸的用戶提供了有關(guān)該統(tǒng)計(jì)方法的入門介紹。

圖 1:在相位表上顯示 Allan 標(biāo)準(zhǔn)差（Allan 方差的平方根），首先單擊數(shù)據(jù)圖形顯示按鈕。然后從下拉菜單選擇“Allan 標(biāo)準(zhǔn)差”。

Allan方差數(shù)學(xué)運(yùn)算

Allan 方差的基本原理是將時(shí)間序列劃分為等分的部分，并考慮每等分的時(shí)間平均值與前一等分的時(shí)間平均值有何不同。如果從整個(gè)數(shù)據(jù)集來看這些差異很小，那么系統(tǒng)在這個(gè)時(shí)間尺度上是穩(wěn)定的。

圖2:計(jì)算 第一步是將數(shù)據(jù)分割成長(zhǎng)度為τ的片段并計(jì)算每一個(gè)分段的時(shí)間平均值，。然后，我們減去連續(xù)平均值并計(jì)算這些差異的 RMS 值。將計(jì)算結(jié)果除以 得到觀測(cè)時(shí)間τ上的 Allan 方差。

更具體地說，假定我們有一個(gè)連續(xù)的時(shí)間序列 ，其Allan方差 定義為：

這里<.>表示期望值<平均值>，同時(shí)是 y 在觀測(cè)時(shí)間τ上的第 i 個(gè)樣本的平均值（圖 2）。Allan 標(biāo)準(zhǔn)差就是Allan 方差的平方根，或者 。我們可以針對(duì)一系列觀測(cè)時(shí)間τ評(píng)估該表達(dá)式，以深入了解數(shù)據(jù)在不同時(shí)間尺度上的自相似性（即穩(wěn)定性）。

從式（1）可以看出， 的維度與 y 相等。我們將該值解釋為間隔τ秒的 y 測(cè)量值在兩個(gè)τ秒之間的預(yù)期均方根差。

例如，假定一個(gè)時(shí)鐘振蕩頻率在 。如果其分?jǐn)?shù)頻率差的 Allan 方差- Y，表達(dá)式為：

在10秒觀測(cè)時(shí)間（τ= 10 s）上為 1.23x10-10，然后我們可以預(yù)計(jì) Y 其兩個(gè)隨機(jī)選擇并連續(xù)的 10秒觀測(cè)時(shí)間測(cè)量值相差為 1.23x10-10 RMS。在給定的部分頻率差定義下，這等于一個(gè)預(yù)期的絕對(duì)頻率差 。

現(xiàn)在我們思考長(zhǎng)度為 M 的真實(shí)有限數(shù)據(jù)集的情況，以周期進(jìn)行采樣（圖 3）。我們不能在一個(gè)采集系統(tǒng)內(nèi)自由地選擇總時(shí)間τ，所以我們將時(shí)長(zhǎng) 劃分成K個(gè)數(shù)據(jù)分段，這里 。Allan 方差可以粗略地近似為：

這里在 的不確定度是 。測(cè)量不確定度的完整處理方法不在本文討論范圍之內(nèi)，因此請(qǐng)參閱參考文獻(xiàn)[4]了解更多詳細(xì)信息。為了改善結(jié)果的可靠性并且比較高效地使用數(shù)據(jù)值，我們可以將數(shù)據(jù)劃分為重疊段（圖 4），這得到了 對(duì)連續(xù)的分段，與之前的 正相反。這樣重疊的 Allan 方差可以表示為：

圖 3：在真實(shí)的采樣系統(tǒng)里，數(shù)據(jù)量是有限的，同時(shí)τ被限制在幾倍采樣周期內(nèi) （這里n = 2）

通過積分獲得Allan方差

在許多常見的測(cè)量場(chǎng)景下存在一個(gè)變量 x，其屬性如下式所示：

例如在時(shí)鐘穩(wěn)定度測(cè)量中，時(shí)間偏差 X 是部分頻率差 Y 的積分，例如在陀螺儀系統(tǒng)中，被測(cè)角度，θ即旋轉(zhuǎn)速度Ω的積分。

我們可以通過式（5）的積分來計(jì)算 x，即使它不和某個(gè)被測(cè)物理量相對(duì)應(yīng)。

圖 4：為了最優(yōu)化使用這些數(shù)據(jù)值，分段會(huì)重疊。這創(chuàng)建了額外的連續(xù)觀測(cè)時(shí)間對(duì)，所以增加了等式（3）中可能的被加數(shù)數(shù)量。在這個(gè) n = 2 的案例中，受制于非重疊的分段，我們可以執(zhí)行減法：， 等等?，F(xiàn)在我們還有：， 等等。盡管樣本并不完全獨(dú)立，但我們結(jié)果的可信度仍然有所提高。

在這種情況下

或者用離散函數(shù)表示，

這樣等式（4）就變成

這里 N = M + 1 是 x 的長(zhǎng)度。為了理清這一點(diǎn)，我們可以考慮 y 通過 x 的數(shù)值導(dǎo)數(shù)（差）來構(gòu)造，因此 M = N ? 1。

這似乎像一個(gè)很抽象的簡(jiǎn)化定義，當(dāng)出于計(jì)算效率的原因，等式（10）提供了 Allan 方差最普遍的方程式。注意這里，x 測(cè)量值提供的是 y 的 Allan 方差，而非 x。

繪制Allan方差圖

Allan 方差通常針對(duì)多個(gè)平均時(shí)間進(jìn)行運(yùn)算，并且以 log - log 刻度繪圖（圖 5）。這樣的圖形有助于確定給定測(cè)量值的最佳平均時(shí)間。注意我們不會(huì)總是推薦使用較長(zhǎng)的平均時(shí)間，特別是存在低頻漂移的情況下。

另外，常見的噪聲源一般以冪定律描述，它在 Allan 標(biāo)準(zhǔn)差圖上呈現(xiàn)已知的斜率。例如，白噪聲會(huì)隨著平均時(shí)間的平方根而減少。所以我們能夠預(yù)期白噪聲的斜率為 ，情況也確實(shí)如此。更普遍的是，如果特定噪聲源在功率譜密度 S 的斜率是 ，則Allan標(biāo)準(zhǔn)差的斜率即 。

這一事實(shí)使人們能夠輕松確定哪個(gè)噪聲源在不同的平均時(shí)間內(nèi)占主導(dǎo)地位，建立噪聲預(yù)度以確定系統(tǒng)性能是否得到充分理解，或量化每個(gè)誤差源的分布（圖 6）。

表1羅列了在研究時(shí)鐘和陀螺儀時(shí)常見噪聲源的斜率

表 1：針對(duì)選定應(yīng)用中的不同噪聲源的斜率冪指數(shù) （即β是 ）[3, 5]。FM：頻率調(diào)制方式，PM：相位調(diào)制方式。

圖 5：時(shí)間序列（上軸）樣例，同時(shí)它相對(duì)應(yīng)的 Allan 標(biāo)準(zhǔn)差圖（下軸）。 針對(duì)多個(gè)平均時(shí)間τ進(jìn)行評(píng)估，結(jié)果以 log - log 刻度顯示。

圖 6：冪定律噪聲源在 Allan 標(biāo)準(zhǔn)差圖上顯示為已知的斜率，讓我們可以容易地對(duì)系統(tǒng)噪聲建模?？偟脑肼暥x為不相干的獨(dú)立噪聲分布總和，即 。在這種情況下，穩(wěn)定性隨著平均時(shí)間的推移而提高（因?yàn)榘自肼暤挠绊憸p少），直到粉紅/閃爍噪聲成為主導(dǎo)。在較長(zhǎng)的時(shí)間尺度上，穩(wěn)定性受到數(shù)據(jù)線性漂移的限制（參見圖 5，上軸）。當(dāng)平均時(shí)間約為 5000秒時(shí)，測(cè)量結(jié)果最為穩(wěn)定。

如何在Moku配置Allan方差測(cè)量

下方視頻演示如何在Moku配置Allan 方差測(cè)量。

功率譜密度vs Allan方差

就像我們前面提到的，有許多的工具可用于描述系統(tǒng)穩(wěn)定性。雖然 Allan 方差是穩(wěn)定性在時(shí)域上的計(jì)量，那功率譜密度（PSD）， 就是頻域上的對(duì)應(yīng)項(xiàng)。如果 y 的單位是 ，則 的單位是 。當(dāng)然在 Allan 方差中所包含的信息 只是 PSD 中包含信息的替代表示，并且存在一個(gè)很接近的轉(zhuǎn)換形式（參考[6]中的附錄I）。注意這個(gè)只可以是從 PSD 向 Allan 方差的轉(zhuǎn)換，相反則不行。轉(zhuǎn)換方程如下：

這里 是時(shí)域采樣函數(shù)的傳遞函數(shù)。

在這個(gè)情況下，我們需要注意一個(gè)有用的表達(dá)式：

這里 。我們可以以此為例，根據(jù) 轉(zhuǎn)換 相位(φ)噪聲的 PSD 為頻率(f)噪聲之一。

結(jié)果

我們?cè)诒疚闹幸呀?jīng)介紹了 Allan 方差，展示如何計(jì)算并解釋分析。最初是在振蕩器穩(wěn)定性的背景下開發(fā)的，目前仍是最常用的統(tǒng)計(jì)方法。不過 ，我們需要強(qiáng)調(diào)它適用于任何時(shí)間序列并且在廣泛的領(lǐng)域中大有用處。

Allan 方差有助于確定特定測(cè)量下的理想觀測(cè)時(shí)間并識(shí)別主要的噪聲源。還可以將功率譜密度轉(zhuǎn)換為阿倫方差。

Allan 方差是一種非常有用的統(tǒng)計(jì)工具，也是 Moku 相位表上可用于數(shù)據(jù)后續(xù)處理的眾多此類工具之一。其性能以及相位表的微弧度級(jí)精度和 Moku:app 的直觀用戶界面，使 Moku 成為在表征振蕩器系統(tǒng)穩(wěn)定性的應(yīng)用中卓越的設(shè)備。

除Allan方差之外

正如標(biāo)準(zhǔn)差存在局限性一樣，Allan 標(biāo)準(zhǔn)差也不是在所有情況下都是理想的統(tǒng)計(jì)方法。為了考慮完整，這里簡(jiǎn)要討論了 Allan 標(biāo)準(zhǔn)差的兩種常用導(dǎo)數(shù)，它們?cè)谀承┣闆r下提供了改善的性能。

修正Allan標(biāo)準(zhǔn)差

我們?cè)谏厦孀⒁獾搅嗽?Allan 標(biāo)準(zhǔn)差圖上（圖 6）基于梯度軌跡識(shí)別噪聲源的可能性。然而多個(gè)噪聲源會(huì)存在同一個(gè)斜率。特別是振蕩器白噪聲相位調(diào)制（WPM）和閃爍噪聲相位調(diào)制（FPM）會(huì)同時(shí)產(chǎn)生一個(gè) 斜率（如表 1）。然而，WPM 對(duì)測(cè)量帶寬非常靈敏，F(xiàn)PM 則不然。通過在 n 個(gè)相鄰測(cè)量之間部署額外的平均方法，這里 ，這樣修正后的 Allan 標(biāo)準(zhǔn)差，產(chǎn)生隨τ線性變窄的有效帶寬，同時(shí)能夠區(qū)分這些噪聲源[7]。

修正的 Allan 標(biāo)準(zhǔn)差可以表示為：

或者更實(shí)際一點(diǎn)，

時(shí)間偏差

基于修正的Allan標(biāo)準(zhǔn)差更進(jìn)一步的計(jì)量是時(shí)間偏差，或者時(shí)間Allan標(biāo)準(zhǔn)差 ，可以表示為：

注意這不過是修正 Allan 方差的另一個(gè)版本（所有在 log - log 圖上的斜率通過τ的一次冪減少）。選擇歸一化因數(shù)使得當(dāng) n = 1 時(shí)， 與白相位調(diào)制（PWM）噪聲保持一致。

TDEV也經(jīng)常用 表示，明確了它是描述 x 穩(wěn)定性（而不是 y）的事實(shí)。這是由于附加因子τ造成的。

顧名思義，這種測(cè)量在表征時(shí)序分布信號(hào)非常有用，它用于描述時(shí)鐘的相位變化來作為平均時(shí)間的函數(shù)。