聊聊基帶部分的脈沖成形

今日碎碎念

在躺平了2天之后，實(shí)在心虛。所以昨天晚上，拿起陳愛(ài)軍老師的深入通信原理翻了一翻?？吹交鶐?a href="http://ttokpm.com/tags/濾波器/" target="_blank">濾波器處，覺(jué)得這次看，沒(méi)有那么云里霧里了，清晰了很多。

今日正文

在數(shù)字通信中，要傳輸?shù)穆曇簟D像等信息，會(huì)被轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)據(jù)流，然后又會(huì)被映射分流為I路和Q路，并分別進(jìn)行脈沖成形。

(1)為啥不直接用矩形脈沖

首先，想到的，就是不做太多處理，純粹用矩形脈沖來(lái)表示數(shù)字信號(hào)。如下圖所示。

但是，矩形脈沖在時(shí)域是帶限，對(duì)應(yīng)到頻域，是sinc函數(shù)，拖尾幅度比較大，且衰減緩慢，所占帶寬比較大。

而傳輸信道又不可能提供無(wú)限的帶寬，所以矩形脈沖在信道傳輸過(guò)程中，高頻段的信號(hào)會(huì)被濾除掉，產(chǎn)生失真。

對(duì)應(yīng)到時(shí)域，就是后面碼元的電平，會(huì)受到前面碼元拖尾的影響，從而使得電平有所改變，即會(huì)產(chǎn)生碼間干擾(ISI, Intersymbol interference)。

失真嚴(yán)重的話，就可能導(dǎo)致判決出錯(cuò)，無(wú)法正確恢復(fù)出數(shù)字信號(hào)。

因此，如果直接用矩形脈沖的話，由于矩形脈沖的帶寬很寬，但是信道不能提供這樣寬的帶寬，所以信號(hào)會(huì)產(chǎn)生失真，產(chǎn)生ISI；而不想產(chǎn)生碼間干擾，則需要提供足夠的帶寬。

也就是說(shuō)，使用矩形脈沖函數(shù)作為成形函數(shù)的話，無(wú)碼間干擾和窄頻譜帶寬，沒(méi)有辦法兼得。

(2) sinc脈沖出場(chǎng)

那怎么辦呢？有沒(méi)有其他脈沖函數(shù)可以兼得呢？答案是有的，那就是使用sinc脈沖。

由傅里葉變換的對(duì)稱性可知，如果函數(shù)x(t)的傅里葉變換是y(f)，則y(t)的傅里葉變換是x(-f)；如果函數(shù)x(t)是個(gè)偶函數(shù)，那么x(t)的傅里葉變換是y(f)，y(t)的傅里葉變換是x(f)。

所以，時(shí)域上的矩形函數(shù)對(duì)應(yīng)頻域上的sinc函數(shù)；時(shí)域上的sinc函數(shù)對(duì)應(yīng)頻域上的矩形函數(shù)。

對(duì)應(yīng)sinc函數(shù)而言，首先在頻域上是帶限的，為矩形函數(shù)，所以可以無(wú)失真地在相應(yīng)帶寬的信道中傳輸；同時(shí)，在時(shí)域上，多個(gè)sinc信號(hào)疊加的時(shí)候，當(dāng)一個(gè)碼元達(dá)到最大值的時(shí)候，其他碼元的幅值剛好為0，所以只要采樣點(diǎn)合適，就可以恢復(fù)出數(shù)字信號(hào)。

(3)實(shí)際中使用的是啥？

對(duì)于sinc脈沖而言，只要采樣點(diǎn)正確，正好位于各個(gè)碼元最大值所對(duì)應(yīng)的時(shí)間點(diǎn)，就可以恢復(fù)出原來(lái)的數(shù)據(jù)，但是sinc脈沖拖尾幅度比較大，衰減慢，如果采樣點(diǎn)稍有偏差，ISI(碼間串?dāng)_)就會(huì)比較大。

而實(shí)際的系統(tǒng)，總是會(huì)存在一定的定時(shí)誤差，所以一般不會(huì)直接使用sinc脈沖，而是會(huì)采用升余弦濾波器，因?yàn)樗衔卜刃?，而且衰減快。

升余弦濾波器的頻率響應(yīng)為：

alpha稱為升余弦濾波器的滾降系數(shù)，當(dāng)alpha=0時(shí)，升余弦濾波器就變成理想矩形濾波器。

由下圖可知，基帶RC濾波器的帶寬為(1+alpha)/(2Ts)；如果處于載波處的話，那么RC濾波器的帶寬為(1+alpha)/Ts，即我們經(jīng)常說(shuō)的信道帶寬。

升余弦濾波器對(duì)應(yīng)的時(shí)域表達(dá)式為：

從表達(dá)式中可以看出，其保留著sinc函數(shù)在t=n*Ts處為0的特性，同時(shí)由于額外因子的加入，拖尾的衰減速度加快。

在實(shí)際通信系統(tǒng)中，經(jīng)常會(huì)把一個(gè)升余弦濾波器（RC,raised cosine filter）拆成2個(gè)根升余弦濾波器(RRC,root raised cosine filter)，發(fā)射機(jī)處放一個(gè)，接收機(jī)處放一個(gè)。