半導(dǎo)體參數(shù)分析儀的FFT分析

概述

傅立葉分析可以將時(shí)域信號(hào)與頻域信號(hào)進(jìn)行轉(zhuǎn)換?？焖俑盗⑷~變換（FFT）計(jì)算在獲取時(shí)間相關(guān)的直流信號(hào)（如電流、電壓）并將其轉(zhuǎn)換為頻率和基于交流的參數(shù)，如電流譜密度、1/f噪聲、熱噪聲和交流阻抗）時(shí)非常有用。源測(cè)量單元 （SMU）和脈沖測(cè)量單元（PMU）是4200A-SCS參數(shù)分析儀的模塊，用于在時(shí)域測(cè)量和加載輸出電流或電壓。儀器對(duì)這些基于時(shí)間的測(cè)量可以通過(guò)FFT計(jì)算轉(zhuǎn)換為頻域的參數(shù)。

從Clarius+ V1.9軟件發(fā)布開始，4200A-SCS參數(shù)分析儀加載了FFT分析功能，能夠自動(dòng)對(duì)時(shí)域測(cè)量進(jìn)行基于頻率的計(jì)算，而無(wú)需下載數(shù)據(jù)并在單獨(dú)的工具中執(zhí)行分析。并且能夠更快地獲得重要的測(cè)試結(jié)果。本文給出了這些功能的說(shuō)明以及FFT參數(shù)提取的一些典型案例，包括使用SMU和PMU進(jìn)行電流譜密度測(cè)量，電阻熱噪聲測(cè)量以及RC電路的交流阻抗計(jì)算。

Clarius公式編輯器中的FFT相關(guān)功能

Clarius軟件有一個(gè)內(nèi)置的公式編輯器，能夠?qū)y(cè)試數(shù)據(jù)和其他計(jì)算結(jié)果進(jìn)行數(shù)據(jù)計(jì)算。公式編輯器提供了各種計(jì)算函數(shù)、常用數(shù)學(xué)運(yùn)算符和常用常量。從Clarius V1.9版本開始，F(xiàn)FT公式已添加到編輯器中。圖1顯示了帶有FFT的函數(shù)編輯器的截圖。

圖1. 在Clarius軟件的函數(shù)編輯器中的FFT功能

表1列出了內(nèi)置的FFT函數(shù)及其描述。這些方程對(duì)輸入數(shù)組的實(shí)部和虛部行FFT變換或FFT逆變換，然后獲得對(duì)應(yīng)的輸出實(shí)部或虛部分量。其中兩個(gè)公式從輸入時(shí)間數(shù)組返回頻率數(shù)組。平滑函數(shù)通過(guò)將高頻分量歸零，對(duì)輸入數(shù)組進(jìn)行數(shù)字濾波。

表1. FFT公式和描述

在使用FFT公式時(shí)，最好以均勻間隔的時(shí)間間隔獲取數(shù)據(jù)。當(dāng)將時(shí)間數(shù)組轉(zhuǎn)換為頻率數(shù)組時(shí)，F(xiàn)FT_Freq函數(shù)允許用戶輸入一個(gè)容差參數(shù)，以確定連續(xù)間隔的時(shí)間數(shù)據(jù)是否均勻間隔。如果輸入時(shí)間數(shù)組中兩點(diǎn)之間的差值（以百分比表示）大于容差值，則會(huì)將“#REF”返回到Sheet。

計(jì)算出的實(shí)部和虛部數(shù)據(jù)數(shù)組的輸出數(shù)據(jù)量將是2的冪次方。因此,理想的采集數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)應(yīng)該是2的冪次方，比如64、128、256、512、1024等。如果數(shù)據(jù)點(diǎn)的數(shù)量不是2的冪次方，則返回的點(diǎn)數(shù)將被減少，使其等于2的冪次方。

使用FFT測(cè)試示例

Clarius庫(kù)中的多個(gè)測(cè)試，包含了使用FFT公式將基于時(shí)間的電流或電壓測(cè)量轉(zhuǎn)換為頻率相關(guān)參數(shù)的示例。這些例子包括SMU電流譜密度、電阻器的熱噪聲、PMU電流譜密度和RC電路的交流阻抗。

SMU電流譜密度與頻率測(cè)量

Clarius庫(kù)中的SMU電流譜密度（smu-isd）測(cè)試，使用SMU進(jìn)行的隨時(shí)間變化的直流電流測(cè)量，從中得出電流譜密度與頻率的相關(guān)函數(shù)。根據(jù)設(shè)備和應(yīng)用的不同，該測(cè)試可能能夠用于導(dǎo)出包括設(shè)備的電流噪聲，1/f 噪聲。

在本測(cè)試中，4201-SMU使用Normal速度模式，在三個(gè)不同的電流范圍 (1mA，1μA和1nA) 下，測(cè)試開路的直流電流與時(shí)間關(guān)系。SMU的Force HI和Sense HI端子上需要加蓋金屬帽。FFT函數(shù)將會(huì)導(dǎo)出電流、功率、頻率、帶寬和電流譜密度的實(shí)分量和虛分量，如圖2所示。

圖2. smu-isd 測(cè)試公式

三次測(cè)試運(yùn)行得到的電流譜密度與頻率曲線如圖3所示。因?yàn)闇y(cè)量的是用開路的電流，所以基本上是推導(dǎo)出來(lái)的是SMU的本底噪聲。頻率會(huì)根據(jù)定時(shí)設(shè)置而發(fā)生變化。

這些圖表顯示的是電流噪聲譜密度，以 A/sqrt(Hz) 為單位，而不是以單次，安培為單位，直流測(cè)量的噪聲。從快速傅立葉變換的數(shù)學(xué)表達(dá)式來(lái)看，電流頻譜密度在這里定義為：

ISD = sqrt(2*PWR/(PTS*BW))

其中，

PWR是電流幅度的平方，或者PWR= Im(I)^2 + Re(I)^2

BW是時(shí)間采樣的帶寬

PTS是點(diǎn)數(shù)，它應(yīng)該是2的冪次方

帶寬 (BW) 定義為1/dt，其中dt為兩次測(cè)量之間的時(shí)間間隔，假設(shè)所有測(cè)量之間的時(shí)間間隔為恒定值。

圖3. SMU不同檔位的電流譜密度與頻率

測(cè)量速度在測(cè)試設(shè)置窗口中配置。雖然不能直接設(shè)置測(cè)量時(shí)間間隔，但測(cè)量時(shí)間、帶寬和測(cè)試頻率都是已知的，并會(huì)返回到列表中。在設(shè)置speed模式時(shí)，通常需要在每個(gè)單次直流測(cè)量的速度和噪聲之間進(jìn)行權(quán)衡。測(cè)量速度越快，噪聲就越大。對(duì)于總測(cè)試時(shí)間較長(zhǎng)的測(cè)量，帶寬較小，因此噪聲也較小。

本測(cè)試中的測(cè)量是在固定的電流量程上進(jìn)行的。使用固定量程，而不是自動(dòng)量程，這對(duì)于保持每個(gè)讀數(shù)的測(cè)量時(shí)間恒定是非常重要的，這是FFT計(jì)算所需要的。

之所以使用sampling測(cè)試模式，是因?yàn)榧虞d了一個(gè)恒定的偏置。在該模式下，必須輸入讀數(shù)的個(gè)數(shù)。盡管在使用FFT計(jì)算時(shí)需要大量的讀數(shù)，但這并不實(shí)用。

在這個(gè)測(cè)試中，讀取了1024個(gè)讀數(shù)，因?yàn)?024是2的冪次方。表2列出了SMU電流譜密度測(cè)試的公式。

表2. SMU電流譜密度測(cè)試公式

電阻的熱噪聲

電阻的熱噪聲或約翰遜噪聲可以通過(guò)電阻上的直流電壓與時(shí)間的測(cè)量來(lái)計(jì)算。測(cè)試庫(kù)中的resistor-noise測(cè)試項(xiàng)測(cè)量0A的直流電壓與時(shí)間的函數(shù)，并計(jì)算在1GΩ電阻上的實(shí)部和虛部的電壓數(shù)組、功率、頻率、帶寬和電壓譜密度。電阻于SMU1和GNDU之間。一旦執(zhí)行測(cè)試，熱噪聲（VSD）被繪制為頻率的函數(shù)，如圖4所示。

圖4. 1GΩ電阻的熱噪聲

在這個(gè)測(cè)試中，直流電壓測(cè)量是在200mV 量程上進(jìn)行的，在1nA量程上施加0A。計(jì)算1GΩ電阻的噪聲電流和約翰遜噪聲。1GΩ電阻的熱噪聲理論計(jì)算值約為4E-6Vrms，使用公式：vn=sqrt(4*k*TEMP* 1e9)。

電阻器熱功率噪聲的實(shí)際公式為：

P=4*k*TEMP*BW

其中，

k為玻爾茲曼常數(shù)，1.38 E-23 J/K

TEMP為環(huán)境溫度 (K)

BW為帶寬 (Hz)

表3列出了resistor-noise測(cè)試的公式描述。時(shí)間、量程、點(diǎn)數(shù)和其他設(shè)置的信息與導(dǎo)出SMU電流譜密度的描述類似。

表3. 電阻熱噪聲測(cè)試相關(guān)公式

使用PMU獲取電流譜密度

和SMU一樣，4225-PMU的電流譜密度也可以通過(guò)電流和時(shí)間的測(cè)量以及FFT計(jì)算得出。在測(cè)試庫(kù)中可以找到pmu-isd，在100μA和100nA范圍內(nèi)測(cè)試計(jì)算 PMU 開路的電流譜密度。這個(gè)測(cè)試是通過(guò)使用PMU_freq_time_ulib用戶庫(kù)中的PMU_sampleRate用戶模塊生成的。使用PMU測(cè)試，我們可以在CH1和CH2上加載電壓偏置，選擇CH2的電流范圍，并指定總測(cè)試時(shí)間和采樣率。pmmu-isd測(cè)試的配置如圖5所示。

圖5. pmu-isd測(cè)試配置視圖

與 SMU 電流譜密度測(cè)試一樣，公式編輯器有幾個(gè)公式可以推導(dǎo)出測(cè)試電流的帶寬、實(shí)部分量和虛部分量、功率、頻率和電流譜密度。圖6顯示了100μA和100nA檔位下電流譜密度與頻率的函數(shù)曲線。由于數(shù)據(jù)是用開路采集的，因此這些是在固定電流量程上以可選采樣率測(cè)量到的PMU本底噪聲。

圖6. PMU電流譜密度

在configure視圖中，輸入總測(cè)試時(shí)間和采樣率。點(diǎn)數(shù)等于總測(cè)試時(shí)間乘以采樣率。選擇輸入?yún)?shù)，由于將對(duì)數(shù)據(jù)執(zhí)行FFT計(jì)算，使點(diǎn)數(shù)總數(shù)為2的幕次方。為了獲得最佳的結(jié)果，至少應(yīng)該使用20個(gè)點(diǎn)或更多。對(duì)于本次測(cè)試，帶寬設(shè)置為1024HZ。

表4. PMU譜密度測(cè)試相關(guān)公式

測(cè)定RC串聯(lián)電路的交流阻抗

使用雙通道4225-PMU結(jié)合內(nèi)置的FFT計(jì)算公式，可以提取RC電路的AC阻抗參數(shù)。PMU在時(shí)域測(cè)量電流和電壓，Clarius公式編輯器中的FFT通過(guò)計(jì)算將這些測(cè)試結(jié)果轉(zhuǎn)換為頻域的相關(guān)參數(shù)。

例如，可以在PMU的CH1和CH2之間連接串聯(lián) RC電路，如圖7所示。CH1輸出周期性脈沖波形 (ACV)，CH2測(cè)量產(chǎn)生的電流 (imeas)。通過(guò) FFT 計(jì)算得到測(cè)試電路的AC阻抗參數(shù)，如串聯(lián)電阻(Rs)和電抗 (Xs)，以及阻抗的實(shí)部和虛部。電容(Cs)和耗散因子(D)可以用Rs和Xs推導(dǎo)出來(lái)。

圖7. 用于測(cè)量串聯(lián)RC電路AC阻抗的PMU連接

R-C Circuit AC Impedance Calculations (rs-cs-ac-

impedance) 測(cè)試項(xiàng)，包含RC串聯(lián)電路的AC參數(shù)。在這個(gè)測(cè)試示例中，PMU的CH1輸出一個(gè)具有指定幅度和測(cè)試頻率的脈沖波形。還指定了周期數(shù)和每個(gè)周期上的測(cè)試點(diǎn)數(shù)。在公式編輯器中配置計(jì)算，以提取100kΩ，10nF，R-C串聯(lián)電路的AC阻抗參數(shù)。此測(cè)試的配置如圖8所示。

圖8. rs-cs-ac-impedance測(cè)試的配置視圖

在此測(cè)試中，在配置視圖中輸入CH1的電壓脈沖幅值 (ACV)、CH2的電流測(cè)量范圍 (irange)、測(cè)試頻率 (FREQ)、2^n個(gè)周期和2^n個(gè)點(diǎn)。表5列出了本次測(cè)試的輸入?yún)?shù)?；谶@些輸入?yún)?shù)，PMU構(gòu)建具有電流測(cè)量值的電壓段波形。

表5. rs-cs-ac-immpedance測(cè)試輸入?yún)?shù)

在對(duì)周期信號(hào)進(jìn)行FFT計(jì)算時(shí)，通常需要大量的周期然而，獲取大量數(shù)據(jù)通常是不現(xiàn)實(shí)的。為了確保足夠的精度，至少需要測(cè)試32(2^5)個(gè)周期，每個(gè)周期有32(2^5)個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)。在rs-cs-ac-impedance測(cè)試中,周期數(shù)和每個(gè)周期的點(diǎn)數(shù)都是 32。

如果想同時(shí)提取串聯(lián)電阻(RS)和電容(Cs)，最好選擇近似為：F=1/RC的測(cè)試頻率。不過(guò)，這可能需要些實(shí)驗(yàn)。通常在測(cè)量電容或電阻之間需要進(jìn)行權(quán)衡。更精確的電容測(cè)量需要更小的系數(shù)D，D<0.1，而更精確的電阻測(cè)量需要更高的系數(shù)D，D>1。當(dāng)需要足夠的精度提取同時(shí)獲取RS和Cs時(shí)，選擇F=1/RC提供了一個(gè)權(quán)衡方案。

一旦執(zhí)行測(cè)試，返回到 Sheet相等的點(diǎn)數(shù)可以通過(guò)以下公式計(jì)算:

每次測(cè)試的總點(diǎn)數(shù)=循環(huán)次數(shù) x 每個(gè)循環(huán)的點(diǎn)數(shù)

對(duì)于本次測(cè)試，總點(diǎn)數(shù)=32x32=1024。CH1上的測(cè)量脈沖電壓(vforce)，CH2的電壓(vlow)，時(shí)間和 CH2上的測(cè)量電流(imeas)的數(shù)組返回到表中。輸出參數(shù)的描述參考在表6。

表6. rs-cs-ac-impedance測(cè)試輸出參數(shù)

從返回值中，可以提取許多AC參數(shù)。對(duì)于本次測(cè)試，RC串聯(lián)電路的所有計(jì)算參數(shù)如表7所示。

表7. 計(jì)算參數(shù)

所有輸出和計(jì)算參數(shù)也返回到列表中，并在Analyze視圖中繪制圖形，如圖9所示。數(shù)據(jù)可以在時(shí)域和頻域上繪制。左圖為電壓和電流隨時(shí)間變化的函數(shù)曲線。右圖為電壓 (VPWR) 和電流 (IPWR) 幅值的平方的數(shù)組與頻率的函數(shù)曲線。導(dǎo)出主諧波頻率處的Cs、Rs和D，并出現(xiàn)在表格的最后三列中。

圖9. 將數(shù)據(jù)在時(shí)域和頻域進(jìn)行繪制

rs-cs-ac-impedance測(cè)試項(xiàng)使用PMU_freq_time_ulib用戶庫(kù)中的pmu_waveform用戶模塊。此用戶模塊還可用于執(zhí)行其他需要的特定測(cè)試頻率脈沖波形的測(cè)試。

結(jié)論

4200A-SCS參數(shù)分析儀對(duì)直流電流和電壓測(cè)量執(zhí)行FFT計(jì)算的能力使許多AC參數(shù)的提取成為可能，包括電流譜密度、熱噪聲和AC阻抗。這使得我們能夠更快地獲得測(cè)試結(jié)果，因?yàn)椴辉傩枰獑为?dú)的工具來(lái)執(zhí)行FFT分析。

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