建立永磁同步電機(jī)高頻電路模型的方法研究

1 引言

永磁同步電機(jī)具有結(jié)構(gòu)簡單、體積小、效率高、損耗小和功率體積比大等優(yōu)點(diǎn)，目前被廣泛應(yīng)用于新能源汽車的驅(qū)動系統(tǒng)。電機(jī)作為驅(qū)動系統(tǒng)電磁干擾流經(jīng)的重要路徑，建立其高頻模型，對下一步搭建系統(tǒng)整體的傳導(dǎo)干擾和輻射干擾預(yù)測模型十分重要，因此，電機(jī)高頻模型的精度和準(zhǔn)確度會對系統(tǒng)整體模型的精確性和正確性產(chǎn)生很大影響。然而，目前用于建立電機(jī)高頻模型的方法往往存在建模過程復(fù)雜、誤差大、通用性差及模型頻帶覆蓋窄等問題，因此，需要一種更為有效的建模方法。

本文首先介紹基于矢量匹配法的電路建模方法：闡述矢量匹配法的基本原理，描述高頻等效電路構(gòu)建過程，推導(dǎo)其模型參數(shù)的計(jì)算方法。隨后用此方法建立星形和三角形兩種不同接線方式的永磁同步電機(jī)高頻電路模型，并進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

2 矢量匹配法

2.1概述

矢量匹配法（Vector Fitting）［1］是Gusavsen和Semlyen于1999年提出的一種穩(wěn)定、有效的擬合方法，該方法避免了有理逼近過程中出現(xiàn)的病態(tài)和不平衡加權(quán)問題，目前廣泛應(yīng)用于電力系統(tǒng)和高速電路設(shè)備頻率特性擬合［2-4］，矢量匹配法特別適用于有關(guān)頻變效應(yīng)的建模，并在擬合過程中表現(xiàn)出良好的魯棒性、有效性和穩(wěn)定性。

2.2矢量匹配法基本原理

電網(wǎng)絡(luò)理論中，線性電路的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)可表達(dá)為一有理函數(shù)：

（1.1）

可將此函數(shù)寫成極點(diǎn)、留數(shù)形式，即

（1.2）

其中，留數(shù)和極點(diǎn)是實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)對，d和e是實(shí)數(shù)。

① 矢量匹配法求解過程

給定一組測試數(shù)據(jù) （k=1，2…。.P），當(dāng)極點(diǎn)給定時，式（1.2）就變成關(guān)于待求參數(shù)、d和e的線性函數(shù)，采用矢量匹配法可解出式（3.2）中所有參數(shù)、、d和e，其求解過程如下：

設(shè)（n=1，2…。.N）是函數(shù)給定的一組初始極點(diǎn)，同時引入輔助函數(shù)，將與相乘，假設(shè)與有相同的極點(diǎn)，可得方程：

（1.3）

在上式中，有理函數(shù)和近似式具有相同的極點(diǎn)，是未知函數(shù)的留數(shù)，此外，函數(shù)的項(xiàng)被強(qiáng)制為1。將式（1.3）中第二行兩端同乘并與第一行進(jìn)行減法運(yùn)算，可得關(guān)于待求參數(shù)、、d和e的線性方程。

（1.4）

將一組測試數(shù)據(jù)（k=1，2，3…P）及其對應(yīng)頻點(diǎn)代入（1.4）式，可得一組線性方程，其矩陣形式為

（1.5）

其中，系數(shù)矩陣的第k行元素為：

（1.6）

解向量x和已知向量b分別為：

（1.7） （1.8）

假設(shè)第和極點(diǎn)或留數(shù)為一組共軛復(fù)數(shù)對時，形式如下：

（1.9）

則矩陣中對應(yīng)元素為：

（1.10）

此時矩陣相應(yīng)的留數(shù)分別是和。

對于式（1.5）一般有，因此它是超定的，可以用最小二乘法求解得到、、和。但是，由給定的初始極點(diǎn)求解式（1.5）計(jì)算得到的、和并不準(zhǔn)確，因此需要修正初始極點(diǎn)，求解下一次迭代過程中的初始值，使逐步逼近。

用表示式（1.3）第一個方程的右邊，將和寫成零極點(diǎn)形式有

（1.11）

（1.12）

式中，和分別是和的零點(diǎn)。由上式可得

（1.13）

上式表明，的極點(diǎn)與的零點(diǎn)相等。由于有理函數(shù)和具有相同的極點(diǎn)，這樣，初始極點(diǎn)在運(yùn)算的過程中相互抵消，求解得到的零點(diǎn)就是下一次迭代的極點(diǎn)。

由式（1.3）和（1.12）可得：

（1.14）

將上式右側(cè)寫為行列式形式有

（1.15）

構(gòu)建矩陣

（1.16）

式中，是包含初始極點(diǎn)的對角矩陣，是元素為1的列向量，是包含留數(shù)的行向量，即

（1.17） （1.18）

因此矩陣的特征多項(xiàng)式就是式（1.15），由此，的零點(diǎn)可通過求解矩陣的特征值得到。

當(dāng)中極點(diǎn)和中對應(yīng)留數(shù)是共軛復(fù)數(shù)時，各矩陣相應(yīng)部分的子矩陣為

（1.19）

將計(jì)算得到的特征值替代式（3.4）的給定的初始極點(diǎn)，再求解式（1.5）。重復(fù)這一迭代過程數(shù)次，最后得到滿足精度要求的和。

3 永磁同步電機(jī)高頻建模

對三相永磁同步電機(jī)進(jìn)行高頻建模，本文采用測量法，即把電機(jī)看成一個“黑盒子”，不需要知道電機(jī)結(jié)構(gòu)和電磁參數(shù)，只需測量電機(jī)端部阻抗頻譜特性，結(jié)合矢量匹配法，即可模擬出電機(jī)高頻電路模型。

電動汽車使用的電機(jī)的定子繞組接線方式有兩種：星形和三角形，根據(jù)電機(jī)繞組的連接方式不同，分別對星形接線和三角形接線的永磁同步電機(jī)進(jìn)行高頻建模。需要強(qiáng)調(diào)的是，在矢量法建模過程中，取為阻抗參數(shù)還是導(dǎo)納參數(shù)與定子繞組的接線方式無關(guān)，這兩個參數(shù)是可以相互轉(zhuǎn)換的。

3.1三角形接線電機(jī)建模

目前，針對永磁同步電機(jī)高頻模型研究對象大多數(shù)為星形聯(lián)結(jié)的電機(jī)，而對定子繞組為三角形聯(lián)結(jié)的電機(jī)研究很少。通常，大功率電機(jī)的定子繞組接線方式采用三角形聯(lián)結(jié)，這是因?yàn)樵谙嗤β氏氯切谓泳€較星形接線下繞組中流過的電流較小，可以使繞組線圈制造和布線更為方便。而采用將三角形電機(jī)繞組拆卸獲取電路參數(shù)的方法通用性差，提取過程復(fù)雜。因此，有必要對三角形聯(lián)結(jié)的電機(jī)高頻模型進(jìn)行研究。

①電機(jī)模型

圖1三角形接線電機(jī)模型

三角形接線電機(jī)的高頻阻抗網(wǎng)絡(luò)模型如圖1所示，圖中，表示三相繞組對地的阻抗，為共模阻抗，表示三相繞組之間的差模阻抗。永磁同步電機(jī)的轉(zhuǎn)子是永磁體，忽略其渦流損耗和磁飽和效應(yīng)，因此在建模中同樣沒考慮轉(zhuǎn)子的影響。

② 抗測量

電機(jī)阻抗測量采用共模和差模測量兩種方式，測試設(shè)備Agilent4294A，測試頻段為100kHz-100MHz，測試頻點(diǎn)數(shù)201個。共模測量即測試電機(jī)三端口并聯(lián)后和機(jī)殼間的阻抗，其測試阻抗表示為，如圖2所示；差模測量即測試電機(jī)兩端口并聯(lián)后和第三端口間的阻抗，其測試阻抗表示為，如圖3所示。

（a） 端口聯(lián)接方式 （b） 等效阻抗

（a） Motor terminal connections （b） Motor equivalent impedance

圖2共模阻抗

（a） 端口聯(lián)接方式 （b） 等效阻抗

（a） Motor terminal connections （b） Motor equivalent impedance

圖3差模阻抗

③數(shù)據(jù)處理

根據(jù)圖2（b）和2（b），測量阻抗和與繞組阻抗和的關(guān)系為：

（1.20）

（1.21

通過式（1.20）和（1.21）可以求得繞組阻抗和的表達(dá)式：

（1.22）

（1.23）

上節(jié)在建立星形聯(lián)結(jié)電機(jī)建模過程中，使用了基于阻抗函數(shù)的矢量匹配法，本節(jié)將采用基于導(dǎo)納函數(shù)的矢量匹配法擬合其等效電路。在此以求解的等效電路為例說明求解的整個過程。

表1 的矢量匹配法求解參數(shù)

Table.1 VF method for

通過式（1.23）可得的阻抗特性數(shù)據(jù)，將獲得的阻抗數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為導(dǎo)納，即后，代入矢量匹配法程序，進(jìn)行6階擬合，得到導(dǎo)納函數(shù)的極點(diǎn)和留數(shù)，如表1所示。

在Saber搭建阻抗和的等效電路模型，和的仿真與實(shí)測結(jié)果對比如圖4所示。由圖可知，用基于導(dǎo)納函數(shù)的矢量匹配法擬合得到的電路參數(shù)能很好的吻合待建模阻抗的高頻特性。在求解求解和等效電路的過程中，原始數(shù)據(jù)中包含的阻抗的實(shí)部、虛步信息，其仿真數(shù)據(jù)在幅值和相位上都有很好的擬合效果。

（a） 繞組共模阻抗 （b） 繞組差模阻抗

（a）The winding CM impedance （b） The winding DM impedance

圖4 阻抗對比

③ 模型驗(yàn)證

將得到的和等效電路按圖1的連接方式在Saber軟件中搭建電機(jī)EMI高頻模型。計(jì)算和在100 kHz~100 MHz的阻抗特性曲線，并與實(shí)際測量結(jié)果進(jìn)行對比。阻抗曲線仿真和實(shí)測對比如圖5、6所示，對比可以發(fā)現(xiàn)，測量阻抗的幅頻特性和相頻特性與仿真結(jié)果在整個頻段范圍內(nèi)曲線吻合很好，進(jìn)一步驗(yàn)證了矢量匹配法的正確性和準(zhǔn)確性。

（a） 幅值 （b） 相位

（a） Amplitude （b） Phase

圖5 仿真與實(shí)測結(jié)果

（a） 幅值 （b） 相位

（a） Amplitude （b） Phase

圖6 仿真與實(shí)測結(jié)果

4 小結(jié)

本文研究了建立永磁同步電機(jī)高頻電路模型的方法。介紹了矢量匹配法的基本原理，通過對網(wǎng)絡(luò)函數(shù)極點(diǎn)和留數(shù)等參數(shù)的分析，分別推導(dǎo)出基于阻抗函數(shù)和導(dǎo)納函數(shù)的等效電路建立過程，并應(yīng)用于三角形聯(lián)結(jié)的永磁同步電機(jī)高頻電路的建模。永磁同步電機(jī)的建模過程歸納為：構(gòu)建電機(jī)繞組高頻模型的電路拓?fù)?，通過共模測量和差模測量獲得模型中共模阻抗和差模阻抗的頻率特性；使用矢量匹配法將測試數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，計(jì)算阻抗（導(dǎo)納）函數(shù)的極點(diǎn)留數(shù)等參數(shù)，隨后轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的等效電路。電機(jī)高頻電路模型的時頻域仿真結(jié)果和實(shí)測數(shù)據(jù)的對比，驗(yàn)證了利用矢量匹配法建立永磁同步電機(jī)高頻模型的正確性和有效性。此外，該建模思路和方法同樣可以用于其他種類的交流電機(jī)高頻電路模型，具有一定的通用性。本研究內(nèi)容為研究電機(jī)驅(qū)動傳導(dǎo)電磁干擾和輻射電磁干擾問題打下基礎(chǔ)，對建立驅(qū)動系統(tǒng)精確的傳導(dǎo)和輻射干擾模型有重要意義。