運(yùn)算放大器電路設(shè)計(jì)技巧1：試試這樣搞定運(yùn)放在補(bǔ)償器動(dòng)態(tài)響應(yīng)

補(bǔ)償器是使控制系統(tǒng)在動(dòng)態(tài)運(yùn)行中快速穩(wěn)定的電子濾波器。在絕大多數(shù)的研究中，補(bǔ)償器是置于運(yùn)算放大器（op amp） 周圍的一個(gè)有源電路，其特點(diǎn)被認(rèn)為是完美的。如果這種方法可用于低帶寬系統(tǒng)，如今的轉(zhuǎn)換器即使輸出電容小，交叉頻率超過100千赫就能確保足夠快的瞬態(tài)響應(yīng)以限制輸出壓降。在這些應(yīng)用中，考慮一個(gè)完美的運(yùn)算放大器的計(jì)算不再工作，并最終誘導(dǎo)嚴(yán)重的增益和相位失真。通過揭示開環(huán)增益和所選運(yùn)放的兩個(gè)低頻和高頻磁點(diǎn)如何影響整體響應(yīng)，可以選擇合適的元件，避免影響交叉時(shí)所需的增益和相位特性。這第一部分將重點(diǎn)關(guān)注開環(huán)增益的影響，有意忽略了低頻和高頻磁點(diǎn)。第二部分將探討這些額外的極點(diǎn)的影響，并顯示如果沒有適當(dāng)選擇，它們?nèi)绾蜗魅踝罱K結(jié)果。

不同類別的補(bǔ)償器

補(bǔ)償器的作用是形成一個(gè)給定電路的頻率響應(yīng)-例如降壓轉(zhuǎn)換器-以便一旦閉環(huán)，控制系統(tǒng)表現(xiàn)出所需的交叉頻率 f_c 和適當(dāng)?shù)南辔?/ 增益裕度。補(bǔ)償器通過提供在 f_c 的一些中期波段的增益或衰減強(qiáng)行形成 0 dB 交叉點(diǎn)。相位裕度 j_m 由補(bǔ)償器在 f_c 表現(xiàn)出的相位提升（phase boost）量調(diào)節(jié)。最后，增益裕度取決于交叉后補(bǔ)償器調(diào)降增益的能力。

有不同類型的補(bǔ)償器，其在開關(guān)轉(zhuǎn)換器中通常命名為 type 1 、type 2 和 type 3 。所有三個(gè)型號在原點(diǎn)都有一個(gè)極點(diǎn)以提供最大可用準(zhǔn)靜態(tài)增益（S = 0），提供一個(gè)精確的輸出變量。type-1 補(bǔ)償器是個(gè)簡單的積分電路，完全不提供相位提升。type 2 基于 type 1，和增加了一個(gè)極 / 零對以提供最大90°的相位提升。最后，type-3 電路提供另一個(gè)極零對，可提升相位達(dá)180°。圖1顯示了三種補(bǔ)償器的頻率響應(yīng)（幅度和相位）及各自的傳遞函數(shù)表達(dá)式。更多關(guān)于這些電路的信息請查閱[ 1 ]。

圖1：您選擇的補(bǔ)償器與您想要的相位提升量有關(guān)

Type-2 補(bǔ)償器常見于電流模式電源，其最大相位提升90°，可提供大量補(bǔ)償。圖2所示為它用于運(yùn)算放大器周圍。您可觀察一個(gè)檢測所監(jiān)測變量（V_out，本例子中為輸出電壓）的電阻分壓器和幾個(gè)形成濾波器的無源元件。為確定該轉(zhuǎn)換器的傳遞函數(shù)，我們將首先考慮運(yùn)放的開環(huán)增益 A_OL ，并看看它如何影響最終的表達(dá)式。該電路的傳遞函數(shù) G 是聯(lián)系勵(lì)磁信號 V_out 到輸出響應(yīng) V_FB 的數(shù)學(xué)關(guān)系。

圖2：在該補(bǔ)償器中，我們考慮運(yùn)放具有有限開環(huán)增益，但我們尚不考慮其內(nèi)部極點(diǎn)。

簡介快速分析技術(shù)

有許多方法來確定該濾波器的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。本文將使用快速分析電路技術(shù)（FACTs），如[ 2 ]和[ 3 ] 所描述的。這些 FACTs 的基本原理是確定在兩個(gè)不同條件下的電路時(shí)間常數(shù)：激勵(lì)信號消失（V_out降至0 V）時(shí)和響應(yīng)清零（V_FB= 0）時(shí)。通過使用這種技術(shù)，您將了解確定一個(gè)特定的傳遞函數(shù)有多快速和直觀。

如參考文獻(xiàn)所示，一個(gè)具有非零準(zhǔn)靜態(tài)增益的第一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可表示為：

（1）

首項(xiàng) G₀ 是 S = 0 時(shí)系統(tǒng)表現(xiàn)出的增益。視情況而定，該項(xiàng)帶有單位。在這里，因?yàn)槲覀冋務(wù)摰脑鲆媸荹V] / [V] ，沒有單位，G 是無量綱的。分子的 N(s) 控制傳遞函數(shù)的零點(diǎn)。在數(shù)學(xué)上，零點(diǎn)是個(gè)特定的點(diǎn) s_z，其響應(yīng)為空。從理論上講，考慮到激勵(lì)信號覆蓋整個(gè) s 面（諧波模式下不僅在垂直軸），當(dāng)輸入信號調(diào)到零角頻率 s_z ，零點(diǎn)表現(xiàn)為輸出響應(yīng)的調(diào)零。電路中一些特定阻抗組合阻擋了信號傳播，響應(yīng)為0 V，盡管存在激勵(lì)源。零點(diǎn)是分子的根。請注意這是個(gè)方便的數(shù)學(xué)抽象，大大有助于通過檢測找到零點(diǎn)，無需寫一連串代數(shù)。關(guān)于這種方法的更多細(xì)節(jié)請查閱[ 4 ]。

分母 D（s ） 由電路自然時(shí)間常數(shù)構(gòu)成。通過設(shè)置激勵(lì)信號為0和確定這種結(jié)構(gòu)中所考慮的電容或電感“所示”的阻抗而得出這些時(shí)間常數(shù) t= RC 或 t= L / R 。通過“觀察”，我的意思是您想象把歐姆表置于暫時(shí)移除的電容或電感器，并讀取它顯示的電阻。這其實(shí)是個(gè)相當(dāng)簡單的練習(xí)?？纯?strong style="">圖3無源電路，您看到一個(gè)注入源-激勵(lì)-偏置網(wǎng)絡(luò)的左側(cè)。輸入信號通過網(wǎng)格和節(jié)點(diǎn)傳播以形成觀察到的電阻 R₃ 的響應(yīng)。

The response：響應(yīng)

The excitation：勵(lì)磁

圖3：確定電路的時(shí)間常數(shù)需要將勵(lì)磁設(shè)置為0，并觀察從電路中暫時(shí)移除的能量存儲(chǔ)元件所提供的電阻。

為確定本例電路的時(shí)間常數(shù)，我們將勵(lì)磁設(shè)置為0（一個(gè) 0V 電壓源換為短路和 0A 電流源開路），拆下電容器。然后，我們連接（在我們頭腦中）一個(gè)歐姆表，以確定由電容器端提供的電阻。圖4引導(dǎo)您進(jìn)行這些步驟。

The excitation is set to 0：勵(lì)磁設(shè)為0

For example：例如

圖4：在 0V 源換為短路后，您確定電容器端的電阻。

如果您按圖4進(jìn)行練習(xí)，您“看到”R₁ 與 R₂ 并聯(lián)后與與 R₄ 串聯(lián)，所有這些與 R₃ 并聯(lián)后與 r_C 串聯(lián)。該電路的時(shí)間常數(shù)只通過 R 和 C₁ 即可計(jì)算得出：

（2）

我們可證明，一個(gè)第一階系統(tǒng)的極點(diǎn)是其時(shí)間常數(shù)的倒數(shù)。因此：

（3）

現(xiàn)在，s= 0 時(shí)這個(gè)電路的準(zhǔn)靜態(tài)增益是多少？在直流條件下，電感器短路，電容器開路。把這個(gè)概念應(yīng)用于圖3的電路，繪制如圖5所示。您想象在 R₄ 前切斷連接，會(huì)看到一個(gè)含 R₁ 和 R₂ 的電阻分壓器。R₂ 上的戴維寧(Thévenin)電壓為：

（4）

輸出電阻 R_th 是 R₁ 與 R₂ 并聯(lián)的值。因此完整的傳遞函數(shù)涉及到與 R_th 串聯(lián)的 R₄ 和加載的 R₃ 所構(gòu)成的電阻分壓器。r_C 是斷開的，由于電容 C₁ 在這直流分析中被移除。因此可寫：

（5）

您斷開直流電路中的電容器，計(jì)算這個(gè)簡單的電阻排列的傳遞函數(shù)。

基本就是這些了，我們正錯(cuò)過零點(diǎn)。我們?nèi)绾沃朗欠竦搅肆泓c(diǎn)？嗯，這是個(gè)有用的技巧：在你的頭腦中考慮圖3的電路，短路電容 C₁ ?，F(xiàn)在，假設(shè)您激勵(lì)具有短路電容器的電路。您能夠基于示波器觀察 V_out 的響應(yīng)嗎？當(dāng)然， r_C 短路 R₃ ，盡管振幅可能低，輸入信號仍會(huì)傳播并有響應(yīng)。如果這個(gè)練習(xí)的答案是“是的，盡管 C₁ 短路，但仍然有響應(yīng)”那么有與 C₁ 有關(guān)的零點(diǎn)。如果您處理含一個(gè)電感 L₁ 的電路，然后進(jìn)行同樣的練習(xí)，但采用電感開路。如果在這模式仍有響應(yīng)，那么有與 L₁ 有關(guān)的零點(diǎn)。

我們在序言中說，零點(diǎn)通過阻斷激勵(lì)信號的傳播而在電路中表現(xiàn)出來，并產(chǎn)生輸出為空。如果我們考慮一個(gè)變形電路–其中 C₁ 被

1/sC₁ 代替–如圖6所示，當(dāng)勵(lì)磁偏移網(wǎng)絡(luò)，有什么特定的條件意味著響應(yīng)為空？有一個(gè)空響應(yīng)只意味在 R₃ 循環(huán)的電流為0。如果電阻沒有電流，沒有電壓施加和 V_out 是 0 V，這不是短路，而是虛擬的接地。

圖6：在這變形電路中，當(dāng) r_C 和 C₁ 串聯(lián)轉(zhuǎn)化為短路，響應(yīng)消失。

如果 R₃ 沒有電流，那么 r_C 和 1/sC₁ 串聯(lián)創(chuàng)建一個(gè)轉(zhuǎn)換的短路：

（6）

根 s_z 是我們需要的零點(diǎn)位置：

（7）

從而有：

（8）

現(xiàn)在，我們可以組合所有這些結(jié)果，形成以圖3電路為特征的最終的傳遞函數(shù)：

（9）

這就是所謂的低熵表達(dá)式，您可立即識別增益、極點(diǎn)和零點(diǎn)。高熵表達(dá)式將在考慮阻抗分壓器時(shí)通過施加大規(guī)模外力到原來的電路來獲得，例如：

（10）

不只您可能在推導(dǎo)表達(dá)式時(shí)犯錯(cuò)誤--我也會(huì)！但是將結(jié)果格式化到像（9）這樣需要更多的精力。此外，請注意，在寫（9）時(shí)我們沒有寫一行代數(shù)。如果我們后來發(fā)現(xiàn)一個(gè)錯(cuò)誤，那么易于回到一個(gè)單獨(dú)的圖紙并單獨(dú)修復(fù)它。（9）的校正將是容易的?，F(xiàn)在嘗試在（10）進(jìn)行相同的修正，您可能會(huì)從頭開始。您檢查一下，在 Mathcad? 表繪制的表達(dá)式（9）和（10）的頻率響應(yīng)是相同的，如圖7所示。

圖7：快速 Mathcad? 告訴您用 FACTs 推導(dǎo)出的表達(dá)式是否與由原表達(dá)式返回的響應(yīng)相匹配。

FACTs 的簡介意在說明在簡單和更復(fù)雜的電路上使用它們是多么輕松和高效。通過將一個(gè)復(fù)雜的體系結(jié)構(gòu)分解為簡單的單獨(dú)的電路，您可以很快地編寫傳遞函數(shù)，有時(shí)只通過檢查，正如我們所做的那樣。既然我們已介紹了工具，讓我們把它應(yīng)用到我們的 type 2 補(bǔ)償器。

FACTs 應(yīng)用于 Type-2 補(bǔ)償器

為高效地運(yùn)用 FACTs 到圖2的電路，我們開始于計(jì)算儲(chǔ)能元件： C₁ 和 C₂ ?？紤]到它們的獨(dú)立狀態(tài)可變—如它們不是串聯(lián)的或并行的--這是個(gè)二階系統(tǒng)?？紤]非零準(zhǔn)靜態(tài)增益，這樣的系統(tǒng)可以表示為以下形式：

（11）

對于二階系統(tǒng)，我們可以證明分母遵循下列公式：

（12）

系數(shù) s 僅僅是確定零點(diǎn)激勵(lì)的時(shí)間常數(shù)之和。S2 系數(shù)稍微復(fù)雜，因?yàn)樗肓艘粋€(gè)新的符號：。此符號意味著您“看到”的 C₂ 終端的阻抗，而 C₁ 由短路取代。乍一看有點(diǎn)難以理解，但沒有不可逾越的，我們用幾句話解釋就會(huì)明白。

按照求解圖3電路的途徑，我們可研究 s= 0 的系統(tǒng)，如圖8所示。在分析的過程中，V_ref 是個(gè)完美的源及其動(dòng)態(tài)響應(yīng)為0（忽略我們應(yīng)用的調(diào)制，它的電壓是固定的）。因此，它自然不存在于小信號電路，在交流分析中采用短路的形式。

圖8：在直流條件下，斷開所有的電容：運(yùn)算放大器運(yùn)行于開環(huán)配置。

運(yùn)算放大器提供的電壓相當(dāng)于開環(huán)增益 A_OL 的 e 倍。反相引腳的電壓與低邊阻抗 R_lower 有關(guān)，在這種情況下，e 是個(gè)非零的值：

（13）

在這個(gè)電路中，我們有兩個(gè)電容，因此有兩個(gè)單獨(dú)的時(shí)間常數(shù)。為確定與 C₂ 有關(guān)的第一個(gè)時(shí)間常數(shù)，我們將激勵(lì)信號設(shè)為0，我們從看到的 C₂ 確定阻抗，C2 連接端子，而 C1 從電路中移除。草圖如圖9。

Set excitation to 0：將勵(lì)磁設(shè)為0

圖9：與電容 C₂ 有關(guān)的第一個(gè)時(shí)間常數(shù)：在其端子間您看到的阻抗是多少？

如果在前面的例子檢查得很好，電壓控制源的存在-運(yùn)算放大器-用這簡單的方法是行不通的。為確定由 C₂ 端提供的阻抗，我們可連接測試生成器 I_T ，我們將決定其兩端的電壓 V_T 。然后 V_T / I_T 會(huì)給我們提供想要的阻抗。涉及電流源的草圖如圖10所示.。您可寫的第一個(gè)簡單的等式與 e 有關(guān)。運(yùn)算放大器的輸入引腳之間的電壓是施加在并聯(lián)的 R₁ 和 R_lower 的電壓的負(fù)值：

（14）

：您安裝一個(gè)測試發(fā)生器以確定 C₂ 兩端的阻抗。

運(yùn)算放大器的輸出為開環(huán)增益 A_OL 的 e 倍。因此：

（15）

將(14)代入(15)得出：

（16）

V_T 是電流源的電壓。在其左側(cè)端有負(fù)的 e 而右側(cè)偏移 V_FB ：

（17）

如果我們從（17）提取 V_FB ，結(jié)合（16）的結(jié)果，我們有：

（18）

我們的阻抗是簡單的：

（19）

因此第一個(gè)時(shí)間常數(shù) t₂ 表示為：

（20）

第二個(gè)時(shí)間常數(shù)與 C₁ 有關(guān)，需要更新的原理圖，如圖11所示。我們沒有安裝電流發(fā)生器，因?yàn)榻Y(jié)果很明顯：C₁ 兩端的電阻就是已經(jīng)確定的 C₂ 的電阻與 R₂ 串聯(lián)：

：立即確定第二個(gè)時(shí)間常數(shù)，因?yàn)樗球?qū)動(dòng) C₂ 的電阻與 R₂ 串聯(lián)。

（21）

我們有兩個(gè)時(shí)間常數(shù)，我們可以進(jìn)行第二階項(xiàng)。我們說，我們需要評估

，其中 C₂ 被短路，而我們從 C₁ 的終端看電阻。圖12顯示了新的草圖。既然我們在與 R₂ 有關(guān)的回路中有弗蘭克短路，那么電阻 R 就是 R₂：

（22）

因此，如果我們根據(jù)（12）組合時(shí)間常數(shù)，我們得出分母D(s)：

（23）

圖12：高頻系數(shù)采用了神秘的符號但最終并不復(fù)雜：短路的C₂和確定C₁端電阻。

這二階形式可以重新排列，假設(shè)質(zhì)量因子Q遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于1。在這種情況下，那么兩個(gè)極點(diǎn)完全分離：一個(gè)控制低頻，而第二個(gè)位于頻譜的上部。由（12）我們可以證明，兩個(gè)極點(diǎn)定義為：

（24）

（25）

如果我們將這些定義應(yīng)用到（23），簡化和重新排列，我們得到：

（26）

（27）

既然我們有分母，我們這個(gè)電路有零點(diǎn)嗎？我們可以運(yùn)用之前展示的技巧：如果我們想象短路，C₁或C₂然后C₁和C₂，這三個(gè)配置有響應(yīng)嗎？如果C₁短路，我們有一個(gè)含R₂和其他電阻的簡單的逆變器：有個(gè)與C₁有關(guān)的零點(diǎn)。如果C₂短路，則運(yùn)算放大器為0：C₂沒有零點(diǎn)。如果兩個(gè)電容器都短路，當(dāng)然，沒有響應(yīng)。為確定零位置，圖13中的什么可以防止勵(lì)磁的傳播，使響應(yīng)為空？如果C₁和R₂提供的阻抗變?yōu)檗D(zhuǎn)化的短路，那么響應(yīng)消失：

（28）

然后

（29）

圖13：如果由R₂與C₁串聯(lián)的阻抗成為轉(zhuǎn)化的短路，那后響應(yīng)為空：這就是零點(diǎn)如何產(chǎn)生的。

其中給出了零點(diǎn)位于：

（30）

我們現(xiàn)在有最終的傳遞函數(shù)

（31）

及

（32）

（33）

（34）

（35）

比較電路之間的響應(yīng)

現(xiàn)在比較由 type-2 電路(其中我們考慮開環(huán)增益)帶來的動(dòng)態(tài)響應(yīng)是有意義的，下面給出了 type 2 完美的傳遞函數(shù)：

（36）

其中

（37）

（38）

（39）

舉例說明，我們比較理想的運(yùn)放和開環(huán)增益 50 dB 的運(yùn)放（例如 TL431）當(dāng)補(bǔ)償器必須達(dá)到以下目標(biāo)：f_c= 10 kHz 和在這個(gè)頻率 20 dB 的增益補(bǔ)償，相位提升必須是65°。R₁和R_lower計(jì)算用于 12V 輸出和 2.5 V 參考電壓。（31）和（36）的兩個(gè)動(dòng)態(tài)響應(yīng)如圖14所示。交叉增益和相位升壓的偏差可以忽略不計(jì)。然而，在120赫茲頻率時(shí)（31）的增益為35 dB，（36）則為45dB。最后，有限的A_OL選項(xiàng)的準(zhǔn)靜態(tài)增益僅36.4 dB（?66），而無限時(shí)則為完美的運(yùn)算放大器。這些數(shù)字的影響是什么？在兩倍的電源頻率的增益不足將影響控制系統(tǒng)的能力，排斥整流紋波。輸出變量可能會(huì)受到這個(gè)組件的影響，特別是在電壓模式控制下。此外，控制變量可能有顯著的靜態(tài)誤差，如果植入增益低。如果您現(xiàn)在選擇具有更高A_OL的運(yùn)算放大器，例如 80dB，偏差消失，兩曲線相互非常接近，如圖15所示。

圖14：type 2 的波特圖中，我們考慮開環(huán)增益A_OL和低邊電阻R_lower的作用與原完美的等式并不會(huì)相差太多。

圖15：當(dāng)開環(huán)增益A_OL增加，兩條曲線很好地疊加。準(zhǔn)靜態(tài)增益提高到66.3 dB，對比于采用50dB A_OL增益時(shí)的36 dB 。

總結(jié)

這第一部分證明了在采用非理想運(yùn)算放大器的補(bǔ)償器中開環(huán)增益的影響。當(dāng)運(yùn)算放大器不再被認(rèn)為是完美的，您可以看到在動(dòng)態(tài)響應(yīng)的低頻范圍內(nèi)弱開環(huán)增益的影響，和評估這種情況帶來的性能下降。在這第一部分中，我們只考慮開環(huán)增益的影響。在第二部分中，我們將復(fù)雜化分析，添加兩個(gè)低頻和高頻極點(diǎn)，集成電路設(shè)計(jì)人員自然將其置于一個(gè)運(yùn)算放大器中以確保其穩(wěn)定性。

參考文獻(xiàn)

1.C. Basso, “ Designing Control Loops for Linear and Switching Converters – A Tutorial Guide”, Artech House 2012, ISBN 978-1-60807-557-7

2.C. Basso, “Linear Circuit Transfer Functions – An Introduction to Fast Analytical Techniques”, Wiley 2016, ISBN 978-1-119-23637-5

3.V. Vorpérian, “Fast Analytical Techniques for Electrical and Electronic Circuits”, Cambridge University Press 2002, ISBN 978-0-521-624428

4.C. Basso, “Fast Analytical Techniques at Work with Small-Signal Modeling”, APEC Professional Seminar, Long Beach (CA), 2016, http://cbasso.pagesperso-orange.fr/Spice.htm

↓↓↓閱讀原文，查看更多！