介紹調(diào)制函數(shù)的兩種建模方法

雖然，許多有關(guān)調(diào)制的描述，都將其描繪成一種乘法過程，但，實際情況更為復(fù)雜。

首先，為清晰起見，若信號Acos和未調(diào)制載波cos(ωt)施加于理想乘法器的兩路輸入，則我們將得到一個調(diào)制器。這是因為兩個周期波形A_scos(ω_st) 和 A_ccos(ω_ct)施加于乘法器（為便于分析，假定比例因子為1 V）輸入端，產(chǎn)生的輸出為：

Vo(t) = ?A_sA_c[cos((ω_s+ ω_c)t) + cos(ω_s– ω_c)t))]

若載波A_ccos(ω_ct)幅度為1 V (Ac = 1)，則該式進(jìn)一步簡化為：

Vo(t) = ?A_s[cos((ω_s+ ω_c)t) + cos((ω_s– ω_c)t)]

但在大多數(shù)情況下，調(diào)制器是執(zhí)行此功能更好的電路。調(diào)制器（用來改變頻率的時候也稱為混頻器）與乘法器密切相關(guān)。

• 乘法器的輸出是其輸入的瞬時積。

• 調(diào)制器的輸出是該調(diào)制器其中一路輸入的信號（稱為信號輸入）和另一路輸入的信號符號（稱為載波輸入）的瞬時積。

圖1所示為調(diào)制函數(shù)的兩種建模方法：

作為放大器使用，通過載波輸入上的比較器輸出切換正增益和負(fù)增益；

作為乘法器使用，并在其載波輸入和其中一個端口之間放置一個高增益限幅放大器。

圖1. 調(diào)制函數(shù)的兩種建模方法

兩種架構(gòu)都可用來形成調(diào)制器，但開關(guān)放大器架構(gòu)（用于AD630平衡調(diào)制器中）運行較慢。大多數(shù)高速IC調(diào)制器含有一個跨導(dǎo)線性乘法器（基于吉爾伯特單元），并在載波路徑上有一個限幅放大器，用來過驅(qū)其中一路輸入。該限幅放大器可能具有高增益，允許低電平載波輸入——或者具有低增益和干凈的限幅特性，從而要求相對較大的載波輸入以正常工作。

出于某些原因，我們使用調(diào)制器而非乘法器。乘法器的兩個端口均為線性，因此載波輸入的任何噪聲或調(diào)制信號都會與信號輸入相乘，降低輸出；同時，大多數(shù)情況下可忽略調(diào)制器載波輸入的幅度變動。二階特性會導(dǎo)致載波輸入的幅度噪聲影響輸出，但最好的調(diào)制器都會盡可能減少這種影響，因此不納入本文的討論范圍。簡單的調(diào)制器模型使用由載波驅(qū)動的開關(guān)。

（理想）開路開關(guān)具有無限大的電阻和零熱噪聲電流，且（理想）閉路開關(guān)具有零電阻和零熱噪聲電。因此，雖然調(diào)制器的開關(guān)并非理想，但相比乘法器而言，調(diào)制器依然具有較低的內(nèi)部噪聲。另外，比起乘法器，設(shè)計與制造類似的高性能、高頻率調(diào)制器也更為簡便。

與模擬乘法器相同，調(diào)制器將兩路信號相乘；但與模擬乘法器不同的是，調(diào)制器的乘法運算是非線性的。當(dāng)載波輸入的極性為正時，信號輸入乘以+1；而當(dāng)極性為負(fù)時，則乘以–1。換言之，信號乘以載波頻率下的方波。

頻率為ωct 的方波可使用傅里葉序列的奇次諧波表示：

K[cos(ω_ct) – 1/3cos(3ω_ct) + 1/5cos(5ω_ct) – 1/7cos(7ω_ct) + …]

對該序列求和：[+1, –1/3, +1/5, –1/7 + ...] 為 π/4。因此，K數(shù)值為4/π，這樣當(dāng)正直流信號施加到載波輸入時，平衡調(diào)制器可作為單位增益放大器使用。

載波幅度并不重要，只要它足夠大，可驅(qū)動限幅放大器即可；因此，由信號Ascos(ωst)和載波 cos(ωct)驅(qū)動的調(diào)制器產(chǎn)生的輸出即為信號與載波平方的乘積：

2As/π[cos(ω_s+ ω_c)t + cos(ω_s– ω_c)t –

1/3{cos(ω_s+ 3ω_c)t + cos(ω_s– 3ω_c)t} +

1/5{cos(ω_s+ 5ω_c)t + cos(ω_s– 5ω_c)t} –

1/7{cos(ω_s+ 7ω_c)t + cos(ω_s– 7ω_c)t} + …]

該輸出包含下列項的頻率之和與頻率之差：信號與載波、信號與載波的所有奇次諧波。理想的完美平衡調(diào)制器中不存在偶次諧波乘積。然而在真實調(diào)制器中，載波端口的殘余失調(diào)會導(dǎo)致低電平偶次諧波乘積。在許多應(yīng)用中，低通濾波器(LPF)可濾除高次諧波乘積項。請記住，cos(A) = cos(–A), 因此 cos(ω_m– Nω_c)t = cos(Nω_c– ω_m)t，并且無需擔(dān)心“負(fù)”頻率。濾波處理后，調(diào)制器輸出可計算如下：

2As/π[cos(ω_s+ ω_c)t + cos(ω_s– ω_c)t]

它和乘法器輸出的表達(dá)式一致，只是增益稍有不同。在實際系統(tǒng)中，增益采用放大器或衰減器進(jìn)行歸一化，因此此處無需考慮不同系統(tǒng)的理論增益。

在簡單的應(yīng)用中，顯然使用調(diào)制器優(yōu)于使用乘法器，但如何定義“簡單”？

調(diào)制器用作混頻器時，信號和載波輸入分別為頻率等于f₁和 f_c的簡單正弦波，未經(jīng)濾波處理的輸出包含頻率和 (f₁+ f_c) 與頻率差 (f₁– f_c) ，以及信號與載波奇次諧波的頻率和與頻率差 (f₁+ 3f_c), (f₁– 3fc), (f₁+ 5f_c), (f₁– 5f_c), (f₁+ 7f_c), (f₁– 7f_c)。經(jīng)LPF濾波之后，預(yù)計僅得到基波項 (f₁+fc) 和 (f₁–f_c)。

然而，若 (f₁+ f_c) > (f₁– 3f_c)，將無法使用簡單的LPF區(qū)分基波與諧波項，因為某個諧波項的頻率低于某個基波項。這并非屬于簡單的情況，因此需進(jìn)一步分析。

如果假設(shè)信號包含單一頻率f1，或假設(shè)信號更復(fù)雜，分布在頻段f₁至 f₂中，則我們便可分析調(diào)制器的輸出頻譜，如下圖所示。假設(shè)完美平衡的調(diào)制器不存在信號泄漏、載波泄漏或失真，則輸出不含輸入項、載波項和雜散項。輸入以黑色表示（或在輸出圖中以淺灰色表示，哪怕實際上并不存在）。

圖2. 輸入頻譜，顯示信號輸入、載波和奇次載波諧波

圖2顯示輸入—位于 f₁至 f₂頻段內(nèi)的信號，以及頻率為 f_c的載波。乘法器不含下列奇次載波諧波：1/3(3f_c), 1/5(5f_c), 1/7(7f_c)…，以虛線表示。請注意，小數(shù)1/3、1/5和1/7表示幅度，而非頻率。

圖3顯示乘法器或調(diào)制器的輸出，以及截止頻率為2f_c的LPF。

圖3. 使用LPF的乘法器或調(diào)制器輸出頻譜

圖4顯示未經(jīng)濾波處理的調(diào)制器輸出（但不含7f_c以上的諧波項）。

圖4. 未經(jīng)濾波處理的調(diào)制器輸出頻譜

若信號頻帶f₁至 f₂位于奈奎斯特頻帶（直流至 f_c/2）內(nèi)，則截止頻率高于2f_c的LPF將使調(diào)制器具有與乘法器相同的輸出頻譜。若信號頻率高于奈奎斯特頻率，則情況更復(fù)雜。

圖5顯示信號頻帶正好低于f_c時將發(fā)生的情況。依然有可能分離諧波項和基波項，但此時需使用具有陡峭滾降特性的LPF。

圖5. 信號大于fc/2時的輸出頻譜

圖6顯示由于f_c位于信號通帶內(nèi)，諧波項疊加 (3f_c– f₁) c + f₁)，因此，基波項不再能夠通過LPF與諧波項分離。所需信號此時必須通過帶通濾波器(BPF)進(jìn)行選擇。

圖6. 信號超過fc時的輸出頻譜

所以，雖然調(diào)制器在大部分變頻應(yīng)用中優(yōu)于線性乘法器，但設(shè)計實際系統(tǒng)時必須考慮到它們的諧波項。