基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的激活函數(shù)和相應(yīng)的數(shù)學(xué)介紹

最近我有一個(gè)同事老是問我“為什么我們用這么多激活函數(shù)？”，“為什么這個(gè)函數(shù)效果比那個(gè)好？”，“你怎么知道要用哪個(gè)函數(shù)？”，“這是很難的數(shù)學(xué)？”等等。所以我想，我何不給對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)只有基本了解的人寫篇文章，介紹下激活函數(shù)和相應(yīng)的數(shù)學(xué)呢？

注意：本文假設(shè)你對(duì)人工“神經(jīng)元”有基本的了解。

激活函數(shù)

簡單來說，人工神經(jīng)元計(jì)算輸入的“加權(quán)和”，加上偏置，接著決定是否需要“激活”（好吧，其實(shí)是激活函數(shù)決定是否激活，但是現(xiàn)在讓我們先這樣理解吧）。

考慮一個(gè)神經(jīng)元。

上式中，Y的值可能是負(fù)無窮大到正無窮大之間的任意值。神經(jīng)元并不知道值的界限。所以我們?nèi)绾螞Q定神經(jīng)元是否需要激活呢？

為此，我們決定增加“激活函數(shù)”。

階躍函數(shù)

我們首先想到的是一個(gè)基于閾值的激活函數(shù)。如果Y的值大于一個(gè)特定值，就定義為“激活”。如果小于閾值，則不激活。

激活函數(shù) A = “激活” if Y > 閾值 else not

或者，A = 1 if Y > 閾值, 否則 0

好吧，我們剛剛定義的是一個(gè)階躍函數(shù)（step function）。

當(dāng)值大于0（閾值）時(shí)，輸出為1（激活），否則輸出為0（不激活）。

很好。很清楚，這可以作為神經(jīng)元的激活函數(shù)。然而，這個(gè)方法有一些特定的缺陷。

假設(shè)你正創(chuàng)建一個(gè)二元分類器，輸出“是”或“否”（激活或未激活）。一個(gè)階躍函數(shù)可以做到這一點(diǎn)。實(shí)際上這正是階躍函數(shù)做的事，輸出1或0。然后，想想如果你想要連接更多這樣的神經(jīng)元來引入更多的分類，比如類一、類二、類三，等等。當(dāng)不止一個(gè)神經(jīng)元“激活”時(shí)會(huì)發(fā)生什么？所有的神經(jīng)元將輸出1（基于階躍函數(shù)）。然后你如何決定最終結(jié)果屬于哪個(gè)分類呢？嗯，很難，很復(fù)雜。

你可能想要用當(dāng)且僅當(dāng)一個(gè)神經(jīng)元輸出為1來表示分類結(jié)果。?。∵@更難訓(xùn)練了。更好的選擇是，激活函數(shù)不是二元的，可以表達(dá)“50%激活”、“20%激活”之類的概念。這樣，當(dāng)不止一個(gè)神經(jīng)元激活的時(shí)候，你可以找到“激活程度最高”的神經(jīng)元（其實(shí)比max更優(yōu)的選擇是softmax，不過目前我們就用max吧）。

當(dāng)然，如果不止1個(gè)神經(jīng)元表示“100%激活”了，問題仍然存在。不過，由于輸出存在中間值，因此學(xué)習(xí)過程將更平滑、更容易（較少波動(dòng)），不止1個(gè)神經(jīng)元100%激活的概率要比使用階躍函數(shù)訓(xùn)練小很多（當(dāng)然，這也取決于訓(xùn)練的數(shù)據(jù)）。

好，所以我們希望輸出中間（模擬）激活值，而不是僅僅輸出“激活”或“不激活”（二元值）。

我們第一個(gè)想到的是線性函數(shù)。

線性函數(shù)

A = cx

以上是一個(gè)直線函數(shù)，激活與函數(shù)輸入（神經(jīng)元的加權(quán)和）成比例。

所以這將給出一定范圍內(nèi)的激活，而不是二元激活。我們當(dāng)然可以連接若干神經(jīng)元，如果不止一個(gè)神經(jīng)元激活了，我們可以基于最大值（max或softmax）做決定。所以這很好。那么，這有什么問題呢？

如果你熟悉用于訓(xùn)練的梯度下降，你會(huì)注意到這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是一個(gè)常數(shù)。

A = cx對(duì)x的導(dǎo)數(shù)是c。這意味著梯度與x無關(guān)。這將是一個(gè)常數(shù)梯度。如果預(yù)測(cè)出現(xiàn)了錯(cuò)誤，反向傳播進(jìn)行的改動(dòng)將是常數(shù)，而不依賴于輸入delta(x)?。?！

這可不怎么好！（并非總是如此，但請(qǐng)容許我這么說。）此外，還有一個(gè)問題。想想連接起來的層。每個(gè)層由線性函數(shù)激活。這個(gè)激活接著作為下一層的輸入，下一層同樣基于線性函數(shù)激活，重復(fù)此過程，一直到最后一層。

不管我們有多少層，如果這些層的激活函數(shù)都是線性的，最后一層的最終激活函數(shù)將是第一層的輸入的線性函數(shù)！停頓一會(huì)，想想這個(gè)。

這意味著，這兩層（或N層）可以被一個(gè)單獨(dú)的層替換。??！我們剛剛失去了堆疊網(wǎng)絡(luò)層的能力。不管我們堆疊多少層，整個(gè)網(wǎng)絡(luò)始終等價(jià)于帶線性激活的單層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（線性函數(shù)的線性組合仍然是一個(gè)線性函數(shù)）。

讓我們繼續(xù)吧。

sigmoid函數(shù)

好吧，這曲線看上去很平滑，有點(diǎn)像階躍函數(shù)。那這有什么好處呢？花點(diǎn)時(shí)間想一想。

首先，它是非線性的。這意味著該函數(shù)的組合也是非線性的。太棒了！我們可以堆疊網(wǎng)絡(luò)層了。至于非線性激活？是的，它是非線性激活！和階躍函數(shù)不同，它將給出模擬激活。同時(shí)，它也具備平滑的梯度。

不知道你注意到了沒有，當(dāng)X位于-2和2之間時(shí)，Y的值非常陡峭。這意味著，此區(qū)間內(nèi)X的任意微小變動(dòng)都將導(dǎo)致Y顯著變動(dòng)。這意味著，該函數(shù)趨向于將Y的值導(dǎo)向曲線的兩端。

看起來這個(gè)性質(zhì)對(duì)分類器而言很有用？沒錯(cuò)！確實(shí)是這樣。它趨向于將激活導(dǎo)向曲線的兩邊。這在預(yù)測(cè)上形成了清晰的差別。

另外一個(gè)優(yōu)勢(shì)是，相對(duì)于線性函數(shù)(-inf, inf)的值域，該函數(shù)的值域?yàn)?0, 1)。因此我們的激活函數(shù)是有界的。

sigmoid函數(shù)是現(xiàn)在使用這廣泛的函數(shù)之一。那么，它有什么問題呢？

不知道你注意到了沒有，越是接近sigmoid的兩端，相對(duì)X的改變，Y就越趨向于作出非常小的反應(yīng)。這意味著在該區(qū)域的梯度會(huì)很小。也就是“衰減的梯度”問題 。嗯，所以當(dāng)激活函數(shù)接近曲線兩端的“鄰近地平線”部分時(shí)發(fā)生了什么？

梯度會(huì)很小，或者消失了（由于值極小，無法做出顯著的改變了）。網(wǎng)絡(luò)拒絕進(jìn)一步學(xué)習(xí)，或者學(xué)習(xí)速度劇烈地變慢了（取決于具體案例，直到梯度/計(jì)算碰到了浮點(diǎn)值的限制）。不過，我們有一些變通措施，因此在分類問題中，sigmoid仍舊非常流行。

Tanh函數(shù)

另一個(gè)常用的激活函數(shù)是tanh函數(shù)。

嗯，這看起來和sigmoid很像嘛。實(shí)際上，這是一個(gè)經(jīng)過拉升的sigmoid函數(shù)！

好，tanh的性質(zhì)和我們之前討論的sigmoid類似。它是非線性的，因此我們可以堆疊網(wǎng)絡(luò)層。它是有界的(-1, 1)，所以不用擔(dān)心激活膨脹。值得一提的是，tanh的梯度比sigmoid更激烈（導(dǎo)數(shù)更陡峭）。因此，選擇sigmoid還是tanh將取決于你對(duì)梯度強(qiáng)度的需求。和sigmoid類似，tanh也存在梯度衰減問題。

tanh也是一個(gè)非常流行和廣泛使用的激活函數(shù)。

ReLu

接著，是ReLu函數(shù)，

A(x) = max(0, x)

ReLu函數(shù)如上所示。當(dāng)x是正值時(shí)，它輸出x，否則輸出0。

乍看起來這和線性函數(shù)有一樣的問題，因?yàn)樵谡堤幩蔷€性的。首先，RuLu是非線性的。ReLu的組合也是非線性的！（實(shí)際上它是一個(gè)很好的逼近子。ReLu的組合可以逼近任何函數(shù)。）很好，這意味著我們可以堆疊網(wǎng)絡(luò)層。不過，它并不是有界的。ReLu的值域是[0, inf)。這意味著它將膨脹激活函數(shù)。

我想指出的另一點(diǎn)是激活的稀疏性。想象一個(gè)具有很多神經(jīng)元的大型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。使用sigmoid或tanh會(huì)導(dǎo)致幾乎所有神經(jīng)元以模擬的方式激活（沒忘吧？）這意味著需要處理幾乎所有的激活以描述網(wǎng)絡(luò)的輸出。換句話說，激活是密集的。這樣成本很高。理想情況下，我們希望網(wǎng)絡(luò)中的一些神經(jīng)元不激活，從而使激活變得稀疏和高效。

ReLu在這方面很有用。想象一個(gè)具備隨機(jī)初始權(quán)重（或歸一化的權(quán)重）的網(wǎng)絡(luò)，基于ReLu的特性（x的負(fù)值將輸出0），基本上50%的網(wǎng)絡(luò)將生成0。這意味著更少的神經(jīng)元將被激活（稀疏激活），網(wǎng)絡(luò)也更輕量。哇，棒！ReLu看起來真不錯(cuò)！是的，它確實(shí)不錯(cuò)，但沒什么東西不存在缺陷……甚至是RuLu。

ReLu的水平線部分（X的負(fù)值）意味著梯度會(huì)趨向于0。當(dāng)激活位于ReLu的水平區(qū)域時(shí)，梯度會(huì)是0，導(dǎo)致權(quán)重?zé)o法隨著梯度而調(diào)整。這意味著，陷入此狀態(tài)的神經(jīng)元將停止對(duì)誤差/輸入作出反應(yīng)（很簡單，因?yàn)樘荻仁?，沒有什么改變）。這被稱為死亡ReLu問題。這一問題會(huì)導(dǎo)致一些神經(jīng)元直接死亡、失去響應(yīng)，導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)的很大一部分進(jìn)入被動(dòng)狀態(tài)。有一些緩和這一問題的ReLu變體，將水平線轉(zhuǎn)為非水平部分，例如，當(dāng)x<0時(shí)y = 0.01x，使圖像從水平線變?yōu)槁晕A斜的直線。這就是弱修正ReLu（leaky ReLu）。還有其他一些變體。主要的想法是讓梯度不為零，這樣網(wǎng)絡(luò)可以逐漸從訓(xùn)練中恢復(fù)。

相比tanh和sigmoid，ReLu在算力上更經(jīng)濟(jì)，因?yàn)樗褂玫氖潜容^簡單的數(shù)學(xué)運(yùn)算。設(shè)計(jì)深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的時(shí)候，這是需要考慮的一個(gè)重要因素。

好，該選哪個(gè)呢？

現(xiàn)在來考慮該用哪個(gè)激活函數(shù)的問題。我們是否應(yīng)該總是使用ReLu呢？還是sigmoid或tanh？好，是也不是。當(dāng)我們知道嘗試逼近的函數(shù)具有某些特定性質(zhì)時(shí)，我們可以選擇能夠更快逼近函數(shù)的激活函數(shù)，從而加快訓(xùn)練過程。例如，sigmoid對(duì)分類器而言很有效（看看sigmoid的圖像，是不是展示了一個(gè)理想的分類器的性質(zhì)？），因?yàn)榛趕igmoid的組合逼近的分類函數(shù)要比諸如ReLu之類的函數(shù)更容易。當(dāng)然，你也可以使用自己定制的函數(shù)！如果你并不清楚試圖學(xué)習(xí)的函數(shù)的本質(zhì)，那我會(huì)建議你從ReLu開始，然后再試其他。在大多數(shù)情況下，ReLu作為一個(gè)通用的逼近子效果很不錯(cuò)。

在本文中，我嘗試描述了一些常用的激活函數(shù)。還有其他的激活函數(shù)，但基本的思想是一樣的。尋找更好的激活函數(shù)的研究仍在進(jìn)行。希望你理解了激活函數(shù)背后的思想，為什么要使用激活函數(shù)，以及如何選用激活函數(shù)。