總結(jié)了貝葉斯方法在機器學(xué)習(xí)中的最新進展以及對學(xué)習(xí)問題的介紹和展望

概要：隨著大數(shù)據(jù)的快速發(fā)展，以概率統(tǒng)計為基礎(chǔ)的機器學(xué)習(xí)在近年來受到工業(yè)界和學(xué)術(shù)界的極大關(guān)注，并在視覺、語音、自然語言、生物等領(lǐng)域獲得很多重要的成功應(yīng)用。

摘要

隨著大數(shù)據(jù)的快速發(fā)展，以概率統(tǒng)計為基礎(chǔ)的機器學(xué)習(xí)在近年來受到工業(yè)界和學(xué)術(shù)界的極大關(guān)注，并在視覺、語音、自然語言、生物等領(lǐng)域獲得很多重要的成功應(yīng)用，其中貝葉斯方法在過去２０多年也得到了快速發(fā)展，成為非常重要的一類機器學(xué)習(xí)方法．總結(jié)了貝葉斯方法在機器學(xué)習(xí)中的最新進展，具體內(nèi)容包括貝葉斯機器學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)理論與方法、非參數(shù)貝葉斯方法及常用的推理方法、正則化貝葉斯方法等．最后，還針對大規(guī)模貝葉斯學(xué)習(xí)問題進行了簡要的介紹和展望，對其發(fā)展趨勢作了總結(jié)和展望。

關(guān)鍵詞

貝葉斯機器學(xué)習(xí)；非參數(shù)方法；正則化方法；大數(shù)據(jù)學(xué)習(xí)；大數(shù)據(jù)貝葉斯學(xué)習(xí)

機器學(xué)習(xí)是人工智能及模式識別領(lǐng)域的共同研究熱點，其理論和方法已被廣泛應(yīng)用于解決工程應(yīng)用和科學(xué)領(lǐng)域的復(fù)雜問題．2010年的圖靈獎獲得者為哈佛大學(xué)的LeslieValliant授，其獲獎工作之一是建立了概率近似正確（probably approximate correct，PAC）學(xué)習(xí)理論；2011年的圖靈獎獲得者為加州大學(xué)洛杉磯分校的JudeaPearl教授，其主要貢獻為建立了以概率統(tǒng)計為理論基礎(chǔ)的人工智能方法，其研究成果促進了機器學(xué)習(xí)的發(fā)展和繁榮。

機器學(xué)習(xí)的一個重要分支是貝葉斯機器學(xué)習(xí)，貝葉斯方法最早起源于英國數(shù)學(xué)家托馬斯·貝葉斯在1763年所證明的一個關(guān)于貝葉斯定理的一個特例[1-2]．經(jīng)過多位統(tǒng)計學(xué)家的共同努力，貝葉斯統(tǒng)計在20世紀(jì)50年代之后逐步建立起來，成為統(tǒng)計學(xué)中一個重要的組成部分[2-3]。貝葉斯定理因為其對于概率的主觀置信程度[4]的獨特理解而聞名。此后由于貝葉斯統(tǒng)計在后驗推理、參數(shù)估計、模型檢測、隱變量概率模型等諸多統(tǒng)計機器學(xué)習(xí)領(lǐng)域方面有廣泛而深遠(yuǎn)的應(yīng)用[5-6]。從1763年到現(xiàn)在已有250多年的歷史，這期間貝葉斯統(tǒng)計方法有了長足的進步[7]。在21世紀(jì)的今天，各種知識融會貫通，貝葉斯機器學(xué)習(xí)領(lǐng)域?qū)⒂懈鼜V闊的應(yīng)用場景，將發(fā)揮更大的作用。

1.貝葉斯學(xué)習(xí)基礎(chǔ)

本節(jié)將對貝葉斯統(tǒng)計方法進行簡要的介紹[5]：主要包括貝葉斯定理、貝葉斯模型的推理方法、貝葉斯統(tǒng)計學(xué)的一些經(jīng)典概念。

1.1貝葉斯定理

用表示概率模型的參數(shù)，D表示給定的數(shù)據(jù)集．在給定模型的先驗分布和似然函數(shù)的情況下，模型的后驗分布可以由貝葉斯定理（也稱貝葉斯公式）獲得［２］：

???(1)

其中是模型的邊緣似然函數(shù)。

貝葉斯定理已經(jīng)廣為人知，這里介紹一種與貝葉斯公式等價但很少被人知道的表現(xiàn)形式，即基于優(yōu)化的變分推理：

?? ??(2)

其中Ｐ為歸一化的概率分布空間?？梢宰C明，式(2)中的變分優(yōu)化的最優(yōu)解等價于式(1)中的后驗推理的結(jié)果［８］。這種變分形式的貝葉斯定理具有兩方面的重要意義：1）它為 變分貝葉斯方法［９］（variational Bayes）提供了理論基礎(chǔ)；2）提供了一個很好的框架 以便于引用后驗約束，豐富貝葉斯模型的靈活性［10］。這兩點在后面的章節(jié)中將具體闡述。

1.2貝葉斯機器學(xué)習(xí)

貝葉斯方法在機器學(xué)習(xí)領(lǐng)域有諸多應(yīng)用，從單變量的分類與回歸到多變量的結(jié)構(gòu)化輸出預(yù)測、從有監(jiān)督學(xué)習(xí)到無監(jiān)督及半監(jiān)督學(xué)習(xí)等，貝葉斯方法幾乎用于任何一種學(xué)習(xí)任務(wù)．下面簡要介紹較為基礎(chǔ)的共性任務(wù)。

１）預(yù)測。給定訓(xùn)練數(shù)據(jù)Ｄ，通過貝葉斯方法得到對未來數(shù)據(jù)ｘ的預(yù)測［5］：

?? ? ? ? ? ?? (3)

需要指出的是，當(dāng)模型給定時，數(shù)據(jù)是來自于獨立同分布的抽樣，所以通常簡化為。

２）模型選擇。另一種很重要的貝葉斯方法的應(yīng)用是模型選擇［11］，它是統(tǒng)計和機器學(xué)習(xí)領(lǐng)域一個較為基礎(chǔ)的問題。用Ｍ表示一族模型（如線性模型），其中每個元素Θ是一個具體的模型。貝葉斯模型選擇通過比較不同族模型的似然函數(shù)來選取最優(yōu)的：

?? (4)

當(dāng)沒有明顯先驗分布的情況下，被認(rèn)為是均勻分布．通過式（4）的積分運算，貝葉斯模型選擇可以避免過擬合。

關(guān)于貝葉斯統(tǒng)計和貝葉斯學(xué)習(xí)更為詳細(xì)的內(nèi)容，有些論文和教材有更進一步的說明］。

2非參數(shù)貝葉斯方法

在經(jīng)典的參數(shù)化模型中模型的參數(shù)個數(shù)是固定的，不會隨著數(shù)據(jù)的變化而變化．以無監(jiān)督的聚類模型為例，如果能通過數(shù)據(jù)本身自動學(xué)習(xí)得到聚類中心的個數(shù)，比參數(shù)化模型（如K均值、高斯混合模型等）根據(jù)經(jīng)驗設(shè)定一個參數(shù)要好得多；這也是非參數(shù)模型一個較為重要的優(yōu)勢。相比較參數(shù)化貝葉斯方法，非參數(shù)貝葉斯方法（nonparametric Bayesian methods）因為其先驗分布的非參數(shù)特性，具有描述數(shù)據(jù)能力強的優(yōu)點［13］，非參數(shù)貝葉斯方法因此在2000年以后受到較多關(guān)注［14］。例如具有未知維度的隱式混合模型［15］和隱式特征模型［16］、描述連續(xù)函數(shù)的高斯過程［17］等。需要強調(diào)的是非參數(shù)化貝葉斯方法并不是指模型沒有參數(shù)，而是指模型可以具有無窮多個參數(shù)，并且參數(shù)的個數(shù)可以隨著數(shù)據(jù)的變化而自適應(yīng)變化，這種特性對于解決大數(shù)據(jù)環(huán)境下的復(fù)雜應(yīng)用問題尤其重要，因為大數(shù)據(jù)的特點之一是動態(tài)多變。下面將主要針對其中的一些較為重要的模型和推理方法進行簡要介紹。

2.1狄利克雷過程

狄利克雷過程（Dirichletprocess, DP）是統(tǒng)計學(xué)家Ferguson于1973年提出的一個定義在概率測度Ω上的隨機過程［18］，其參數(shù)有集中參數(shù)α＞０和基底概率分布

，通常記為Ｇ～。狄利克雷過程得到的概率分布是離散型的，因此非常適合構(gòu)建混合模型，例如，Antoniak于1974年通過給每個數(shù)據(jù)點增加一個生成概率，構(gòu)造了一個狄利克雷過程混合模型（Dirichlet process mixture, DPM）［15］，即???? ? ? ? ?

?(5)

其中，是生成每個數(shù)據(jù)點概率分布的參數(shù)，比如高斯分布的均值和協(xié)方差等，Ｎ為數(shù)據(jù)點的個數(shù)。

與狄利克雷過程等價的一個隨機過程是中國餐館過程（Chinese restaurant process, CRP）［19］。中國餐館過程是定義在實數(shù)域上的具有聚類特性的一類隨機過程，也因為其特有的較好展示特性而被經(jīng)常使用。如圖１所示，在中國餐館過程中，假設(shè)有無限張餐桌和若干客人；其中第１名顧客選擇第１張餐桌，之后的顧客按照多項式分布選擇餐桌，其中選擇每張餐桌的概率正比于該餐桌現(xiàn)在所坐的人數(shù)，同時以一定概率（正比于參數(shù)α）選擇一個沒人的餐桌．可以看到，當(dāng)所有的客人選擇完畢餐桌，我們可以按照餐桌來對客人進行一個劃分．這里每張餐桌代表一個聚類，每個客人代表一個數(shù)據(jù)點。

可以證明所有的聚類點參數(shù)θ可以通過式（6）得到：

?(6)

將狄利克雷混合模型中的Ｇ積分即可得到中國餐館過程，這也說明了兩個隨機過程的關(guān)系．這種簡潔的表述也很有利于馬爾可夫蒙特卡洛方法的采樣［20］。

另一種構(gòu)造性的狄利克雷過程的表述是截棍過程（stickbreaking construction）［21］．具體地說，將一根單位長度的棍，第ｋ次切割都按照剩下的長度按照貝塔分布的隨機變量，按比例切割：

(7)

即如圖２所示，對于一根長度為單位１的棍，第１次切割長度，以后每次切割都切割剩下部分的比例長度。狄利克雷過程的截棍表述是變分推理的基礎(chǔ)［22］。

2.2印度自助餐過程

與混合模型中每一個數(shù)據(jù)點只屬于一個聚類不同，在特征模型中每一個數(shù)據(jù)點可以擁有多個特征，這些特征構(gòu)成了數(shù)據(jù)生成的過程。這也符合實際情況中樣本數(shù)據(jù)點有多個屬性的實際需求。經(jīng)典的特征模型主要有因子分析（factor analysis）、主成分分析（principal component analysis）［24-25］等。在傳統(tǒng)的特征模型中，特征的數(shù)目是確定的，這給模型的性能帶來一定限制．印度自助餐過程（indian buffet process, IBP）是2005年提出的［26］，因其非參數(shù)特性能從數(shù)據(jù)中學(xué)習(xí)得到模型中的特征個數(shù)，使得模型能夠更好地解釋數(shù)據(jù)，已經(jīng)在因子分析、社交網(wǎng)絡(luò)鏈接預(yù)測等重要問題中應(yīng)用［27-29］。

以二值（“０”或“１”）特征為例，假設(shè)有Ｎ個數(shù)據(jù)點，所有數(shù)據(jù)點的特征向量組成一個特征矩陣，IBP的產(chǎn)生式過程可以形象地類比為Ｎ個顧客到一個無窮多個餐品的自助餐館進行選餐的過程，用“１”表示選擇，“０”表示不選擇，具體描述如圖３所示的方法進行：

1）第１名顧客選擇個餐品，其中；

2）第２名及以后的顧客有兩種情況：1.對于已經(jīng)被選過的餐品，按照選擇該餐品的人數(shù)成正比的概率選擇該餐品；2.選擇個未被選過的餐品，其中。

與中國餐館過程類似，印度自助餐過程也有其對應(yīng)的截棍過程［30］．這里不再贅述，僅列出其構(gòu)造性表述如下：

(8)

但是與中國餐館過程的截棍過程不同的是棍的長度之和并不為１．印度自助餐過程也有其對應(yīng)的采樣方法和變分優(yōu)化求解方法［16,30-31］。

2.3應(yīng)用及擴展

貝葉斯方法特別是最近流行的非參數(shù)貝葉斯方法已廣泛應(yīng)用于機器學(xué)習(xí)的各個領(lǐng)域，并且收到了很好的效果［32］。這里簡要提出幾點應(yīng)用和擴展；對于大規(guī)模貝葉斯學(xué)習(xí)的相關(guān)應(yīng)用將在第５節(jié)介紹，也可查閱相關(guān)文獻［13－14，33］。

經(jīng)典的非參數(shù)化貝葉斯方法通常假設(shè)數(shù)據(jù)具有簡單的性質(zhì)，如可交換性或者條件獨立等；但是，現(xiàn)實世界中的數(shù)據(jù)往往具有不同的結(jié)構(gòu)及依賴關(guān)系。為了適應(yīng)不同的需求，發(fā)展具有各種依賴特性的隨機過程得到了廣泛關(guān)注。例如，在對文本數(shù)據(jù)進行主題挖掘時，數(shù)據(jù)往往來自不同的領(lǐng)域或者類型，我們通常希望所學(xué)習(xí)的主題具有某種層次結(jié)構(gòu)，為此，層次狄雷克利過程（hierarchical Dirichlet process, HDP）［34］被提出，可以自動學(xué)習(xí)多層的主題表示，并且自動確定主題的個數(shù)．另外，具有多個層次的IBP過程也被提出［35］，并用于學(xué)習(xí)深層置信網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)，包括神經(jīng)元的層數(shù)、每層神經(jīng)元的個數(shù)、層間神經(jīng)元的連接結(jié)構(gòu)等。其他的例子還包括具有馬爾可夫動態(tài)依賴關(guān)系的無限隱馬爾可夫模型［36］、具有空間依賴關(guān)系的狄雷克利過程［37］等。

另外，對于有監(jiān)督學(xué)習(xí)問題，非參數(shù)貝葉斯模型最近也受到了廣泛的關(guān)注．例如，社交網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)建模和預(yù)測是一個重要的問題，近期提出的基于IBP的非參數(shù)化貝葉斯模型［27，29］可以自動學(xué)習(xí)隱含特征，并且確定特征的個數(shù)，取得很好的預(yù)測性能。使用DP混合模型同時作聚類和分類任務(wù)也取得了很好的結(jié)果［38］。

3貝葉斯模型的推理方法

貝葉斯模型的推理方法是貝葉斯學(xué)習(xí)中重要的一環(huán)，推理方法的好壞直接影響模型的性能。具體地說，貝葉斯模型的一個關(guān)鍵性的問題是后驗分布通常是不可解的，使得式（３）和式（４）中的貝葉斯積分也是不可解的。這時，就需要一些有效的推理方法。一般而言，主要有兩類方法：變分推理方法（varia-tional inference）和蒙特卡洛方法（Monte Carlo methods）。這兩類方法都在貝葉斯學(xué)習(xí)領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用，下面分別介紹這兩類方法。

3.1變分推理方法

變分法是一種應(yīng)用較廣的近似優(yōu)化方法［39－40］，在物理、統(tǒng)計學(xué)、金融分析、控制科學(xué)領(lǐng)域解決了很多問題。在機器學(xué)習(xí)領(lǐng)域，變分方法也有較多應(yīng)用：通過變分分析，可以將非優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化成優(yōu)化問題求解，也可以通過近似方法對一些較難的問題進行變分求解［41］。

在變分貝葉斯方法中，給定數(shù)據(jù)集Ｄ和待求解的后驗分布，變分方法界定其后驗分布的近似分布為。運用杰森不等式，可以得到對數(shù)似然的一個下界（evidence lower bound，ELOB）。

??(9)

通過最大化該對數(shù)似然下界：

??(10)

或者最小化和之間的KL散度，就可以完成優(yōu)化求解的過程。因此，變分推理的基本思想是將原問題轉(zhuǎn)化成求解近似分布的優(yōu)化問題，結(jié)合有效的優(yōu)化算法來完成貝葉斯推理的任務(wù)［22，42－43］。

很多時候，模型Θ中往往有一些參數(shù)θ和隱變量ｈ。這時變分問題可以通過變分期望最大化方法求解（variational EM algorithm）：通過引入平均場假設(shè)（mean-fieldassumption），可以迭代進行ＥＭ算法［44］。

3.2蒙特卡洛方法

蒙特卡洛方法是一類通過利用模擬隨機數(shù)對未知的概率分布進行估計；當(dāng)未知分布很難直接估計或者搜索空間太大、計算太復(fù)雜時，蒙特卡洛方法就成為重要的推理和計算方法［45－46］。例如，貝葉斯機器學(xué)習(xí)通常需要計算某個函數(shù)在某種分布（先驗或者后驗）下的期望，而這種計算通常是沒有解析解的。假設(shè)是一個概率分布，目標(biāo)是計算如下積分：

??(11)

蒙特卡洛方法的基本思想是使用如下估計來近似Ｉ:

??(12)

其中是從P中得到的采樣。根據(jù)大數(shù)定律，在采樣數(shù)目足夠多時，蒙特卡洛方法可以很好地估計真實期望。

上面描述的是蒙特卡洛方法的基本原理，但實際過程中ｐ的采樣并不是很容易就可以得到，往往采用其他的方法進行，常用的方法有重要性采樣（importance sampling）、拒絕采樣（rejection sampling）、馬爾可夫蒙特卡洛方法（Markov Chain Monte Carlo, MCMC）等。前兩者在分布相對簡單時比較有效，但是對于較高維空間的復(fù)雜分布效果往往不好，面臨著維數(shù)災(zāi)難的問題。下面重點介紹ＭＣＭＣ方法，它在高維空間中也比較有效。

ＭＣＭＣ方法的基本思想是構(gòu)造一個隨機的馬爾可夫鏈，使得其收斂到指定的概率分布，從而達到推理的目的［47］。一種較為常用的ＭＣＭＣ方法是Metropolis-Hastings算法［48］（ＭＨ算法）。在ＭＨ算法中，通過構(gòu)造一個從狀態(tài)到狀態(tài)的轉(zhuǎn)移規(guī)則：

1）根據(jù)從舊的狀態(tài)采樣中得到一個新的狀態(tài)采樣；

2)計算接受概率：

?(13)

3）從０－１均勻分布中采樣得到［0, 1］。若，則接受采樣，否則拒絕采樣。

另一種常用的ＭＣＭＣ方法是吉布斯采樣（Gibbs sampling）［46,49］，它是ＭＨ算法的一種特例，吉布斯采樣已廣泛應(yīng)用在貝葉斯分析的推理中。吉布斯采用是對多變量分布中每一個變量在其他已經(jīng)觀察得到采樣的變量已知的條件下依次采樣，更新現(xiàn)有的參數(shù)，最后收斂得到目標(biāo)后驗分布。假設(shè)需要采樣的多元分布為，即每次選出一個維度ｊ：１≤ｊ≤ｄ，其中ｄ是多元分布的維度；隨后從條件概率分布對進行采樣。

有很多貝葉斯模型都采用了ＭＣＭＣ的方法進行推理，取得了很好的效果［20，30，50］。除此之外，還有一類非隨機游走的ＭＣＭＣ方法———LangevinＭＣＭＣ［51］和Hybrid MonteCarlo［52］。這一類方法往往有更快的收斂速度，但是表述的復(fù)雜程度較大，因此受歡迎程度不及吉布斯采樣，但是，最近在大數(shù)據(jù)環(huán)境下發(fā)展的基于隨機梯度的采樣方法非常有效，后文將會簡要介紹。

4正則化貝葉斯理論及應(yīng)用舉例

在第２節(jié)中提到了貝葉斯方法的兩種等價表現(xiàn)方式，一種是后驗推理的方式，另一種是基于變分分析的優(yōu)化方法，其中第２種方式在近年有了較大發(fā)展．基于這種等價關(guān)系，我們近年來提出了正則化貝葉斯（regularized Bayesian inference, RegBayes）理論［10］：如圖４所示，在經(jīng)典貝葉斯推理過程中，后驗分布只能從兩個維度來獲得，即先驗分布和似然函數(shù)；而在正則化貝葉斯推理中，后驗推理轉(zhuǎn)化成一種變分優(yōu)化的方式，通過引入后驗正則化，為貝葉斯推理提供了第３維自由度，極大地豐富了貝葉斯模型的靈活性。在RegBayes理論的指導(dǎo)下，我們系統(tǒng)研究了基于最大間隔準(zhǔn)則的判別式貝葉斯學(xué)習(xí)以及結(jié)合領(lǐng)域知識的貝葉斯學(xué)習(xí)等，取得了一系列的成果［］。

正則化貝葉斯推理的基本框架可以簡述如下，在式（２）的基礎(chǔ)上，引入后驗正則化項，考慮領(lǐng)域知識或者期望的模型屬性：

(14)

其中是一個凸函數(shù)。在運用RegBayes解決具體問題時需要回答下面３個問題：

問題１．后驗正則化從何而來．后驗正則化是一個通用的概念，可以涵蓋任何期望影響后驗分布的信息。比如，在有監(jiān)督學(xué)習(xí)任務(wù)（如圖像/文本分類）中，我們期望后驗分布能夠準(zhǔn)確地預(yù)測，這種情況下我們可以將分類錯誤率（或者某種上界）作為優(yōu)化目標(biāo)，通過后驗正則化引用到學(xué)習(xí)過程中，典型的例子包括無限支持向量機［38］（infinite SVM）、無限隱式支持向量機［56］（infinitelatent SVM）、最大間隔話題模型［57］（maximummargin supervised topic model, MedLDA）等，這些方法均采用了最大間隔原理，在貝葉斯學(xué)習(xí)過程中直接最小化分類錯誤率的上界（即鉸鏈損失函數(shù)），在測試數(shù)據(jù)上取得顯著的性能提升。

另外，在一些學(xué)習(xí)任務(wù)中，一些領(lǐng)域知識（如專家知識或者通過眾包方式收集到的大眾知識）可以提供數(shù)據(jù)之外的一些信息，對提高模型性能有很大幫助。在這種情況下，可以將領(lǐng)域知識作為后驗約束，與數(shù)據(jù)一起加入模型中，實現(xiàn)高效貝葉斯學(xué)習(xí)。需要指出的是大眾知識往往存在很大的噪音，如何采取有效的策略過濾噪音實現(xiàn)有效學(xué)習(xí)是問題的關(guān)鍵。在這方面，我們提出了將使用邏輯表達的領(lǐng)域知識魯棒地引入貝葉斯主題模型，實現(xiàn)了更優(yōu)秀的模型效果［58］。

問題２．先驗分布、似然函數(shù)以及后驗正則化之間有何關(guān)系。先驗分布是與數(shù)據(jù)無關(guān)的，基于先驗知識的概率分布不能反映數(shù)據(jù)的統(tǒng)計特性；似然函數(shù)則是基于數(shù)據(jù)產(chǎn)生的概率分布，反映了數(shù)據(jù)的基本性質(zhì)，通常定義為具有良好解析形式的歸一化的概率分布。而后驗正則化項同樣是利用數(shù)據(jù)的特性來定義的，但是，它具有更廣泛靈活的方式，不受歸一化的約束，因此，可以更方便準(zhǔn)確地刻畫問題的屬性或者領(lǐng)域知識，如問題１中所舉的最大間隔學(xué)習(xí)以及領(lǐng)域知識與貝葉斯統(tǒng)計相結(jié)合等示例。甚至可以證明，一些后驗分布不可以通過貝葉斯定理得到，但是可以通過后驗正則化得到［10］。因此，RegBayes是比經(jīng)典貝葉斯方法更靈活更強大的方法。

問題３．如何求解優(yōu)化問題。雖然正則化貝葉斯具有極強的靈活性，其學(xué)習(xí)算法仍然可以使用變分方法或者蒙特卡洛方法進行求解，具體的求解方法請閱讀相關(guān)論文。下面介紹的大數(shù)據(jù)貝葉斯學(xué)習(xí)理論和算法均可以應(yīng)用到快速求解正則化貝葉斯模型［55］，這也是目前的研究熱點。

5大數(shù)據(jù)貝葉斯學(xué)習(xí)

隨著互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的發(fā)展，研究面向大數(shù)據(jù)的機器學(xué)習(xí)理論、算法及應(yīng)用成為當(dāng)前研究的熱點［［59］59］，得到學(xué)術(shù)界和工業(yè)界的廣泛關(guān)注。貝葉斯模型有較好的數(shù)據(jù)適應(yīng)性和可擴展性，在很多經(jīng)典問題上都取得了很好的效果，但是，傳統(tǒng)貝葉斯模型的一個較大的問題在于其推理方法通常較慢，特別是在大數(shù)據(jù)背景下很難適應(yīng)新的模型的要求。因此，如何進行大規(guī)模貝葉斯學(xué)習(xí)方法是學(xué)術(shù)界的重要挑戰(zhàn)之一?？上驳氖墙谠诖髷?shù)據(jù)貝葉斯學(xué)習(xí)（big Bayesian learning, BigBayes）方面取得了顯著的進展。下面簡單介紹在隨機算法及分布式算法方面的進展，并以我們的部分研究成果作為示例。表１所示為對目前的若干前沿進展簡要總結(jié)：

5.1隨機梯度及在線學(xué)習(xí)方法

當(dāng)數(shù)據(jù)量較大時精確的算法往往耗時較長，不能滿足需要。一類常用的解決方案是采用隨機近似算法［60－61］。這類算法通過對大規(guī)模數(shù)據(jù)集的多次隨機采樣（random subsampling），可以在較快的時間內(nèi)收斂到較好的結(jié)果。這種思想已經(jīng)在變分推理和蒙特卡洛算法中廣泛采用，簡要介紹如下。

在變分推理方面，如前所述，其核心是求解優(yōu)化問題，因此，基于多次隨機降采樣的隨機梯度下降算法成為很自然的選擇。具體地說，隨機梯度下降算法（stochastic gradient descent, SGD）［62］每次隨機選取一個數(shù)據(jù)子集，并用該子集上計算的梯度估計整個數(shù)據(jù)集上的梯度，對要求解的參數(shù)進行更新：

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其中Ｑ是待優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)，是數(shù)據(jù)的第t個子集。值得注意的是，歐氏空間中的梯度并非最優(yōu)的求解變分分布的方向；對于概率分布的尋優(yōu)，自然梯度往往取得更快的收斂速度［63］。近期的主要進展包括隨機變分貝葉斯方法［61］以及多種利用模型特性的快速改進算法［64］［64］。

在蒙特卡洛算法方面，可以將隨機梯度的方法用于改進對應(yīng)的基于梯度的采樣算法，如隨機梯度朗之萬動力學(xué)采樣方法（stochastic gradient langevin dynamics, SGLD）［65］、隨機梯度哈密爾頓蒙特卡洛（stochasticHamiltonian Monte Carlo, SHM）［66］［66］。這些算法加快了蒙特卡洛采樣的速度、有較好的效果。

例１．為了適應(yīng)動態(tài)流數(shù)據(jù)的處理需求，基于在線學(xué)習(xí)的大規(guī)模貝葉斯推理算法也成為近期的研究熱點，主要工作包括流數(shù)據(jù)變分貝葉斯［67］等。我們近期提出了在線貝葉斯最大間隔學(xué)習(xí)（online Bayesian passive-aggressive learning, Online BayesPA）框架，顯著提高了正則化貝葉斯的學(xué)習(xí)效率，并且給出了在線學(xué)習(xí)后悔值的理論界［55］。在100多萬的維基百科頁面數(shù)據(jù)上的部分實驗結(jié)果如圖５所示，可以看出，基于在線學(xué)習(xí)的算法比批處理算法快100倍左右，并且不損失分類的準(zhǔn)確率。

5.2分布式推理算法

另一種適用于大規(guī)模貝葉斯學(xué)習(xí)問題的算法是基于分布式計算的［68］，即部署在分布式系統(tǒng)上的貝葉斯推理算法。這類算法需要仔細(xì)考慮算法的實際應(yīng)用場景，綜合考量算法計算和通信的開銷，設(shè)計適合于不同分布式系統(tǒng)的推理算法。

一些算法中的部分參數(shù)之間不需要交換信息，只需要計算得到最后結(jié)果匯總即可；對于這類問題，只需要對原算法進行適當(dāng)優(yōu)化，部署在系統(tǒng)上即可有較好的效果。但是，還有更多算法本身并不適合并行化處理，這就意味著算法本身需要修改，使得其可以進行分布式計算，這也是大規(guī)模貝葉斯學(xué)習(xí)的研究熱點之一，并且已經(jīng)取得很多重要進展，包括分布式變分推理［67］和分布式蒙特卡洛方法［69］等。

例２．以主題模型為例，經(jīng)典的模型使用共軛狄利克雷先驗，可以學(xué)習(xí)大規(guī)模的主題結(jié)構(gòu)［70］，但是，不能學(xué)習(xí)主題之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系。為此，使用非共軛Logistic-Normal先驗的關(guān)聯(lián)主題模型（correlated topic model, CTM）［71］被提出。ＣＴＭ的缺點是其推理算法比較困難，已有的算法只能處理幾十個主題的圖結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí)。為此，筆者課題組近期提出了ＣＴＭ的分布式推理算法［72］，可以處理大規(guī)模的數(shù)據(jù)集，學(xué)習(xí)上千個主題之間的圖結(jié)構(gòu)。該算法的部分結(jié)果如表２所示，其中Ｄ表示數(shù)據(jù)集大小，Ｋ表示主題個數(shù)。由表２可以看出分布式推理算法（即gＣＴＭ）極大地提高了模型可以承載的數(shù)據(jù)量（如600萬的維基百科網(wǎng)頁）和更多的主題個數(shù)（如1000）。這個項目的代碼及更多信息已經(jīng)公布，讀者可以自行瀏覽［73］。

在上述大規(guī)模主題圖結(jié)構(gòu)的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上，進一步開發(fā)了“主題全景圖”（TopicPanorama）可視化界面，它可以將多個主題圖結(jié)構(gòu)進行融合，并且以用戶友好的方式展現(xiàn)在同一個界面上，如圖６所示，其中每個節(jié)點代表一個主題，節(jié)點之間的邊代表相關(guān)聯(lián)關(guān)系，邊的長度代表關(guān)聯(lián)強度，所用數(shù)據(jù)集為微軟、谷歌、雅虎等３個IT公司相關(guān)的新聞網(wǎng)頁。該可視化工具具有多種交互功能，用戶可以使用放大或縮小功能對主題圖的局部進行仔細(xì)查看，同時，也可以修改圖的結(jié)構(gòu)并反饋給后臺算法進行在線調(diào)整。多位領(lǐng)域?qū)＜乙恢峦庠摴ぞ呖梢苑奖惴治錾缃幻襟w數(shù)據(jù)。更多具體描述參見文獻［74］。

5.3基于硬件的加速

隨著硬件的發(fā)展，使用圖形處理器（graphics processing units, GPU）、現(xiàn)場可編程邏輯門陣列（field-programmablegate array, FPGA）等硬件資源對貝葉斯學(xué)習(xí)方法進行加速也是最近興起的研究熱點。例如，有研究者利用GPU技術(shù)對話題模型的變分方法［75］和ＭＣＭＣ算法［76－77］進行加速，還有一些研究者利用FPGA對蒙特卡洛算法［78］進行加速。利用強大的硬件設(shè)備，搭配適當(dāng)?shù)哪Ｐ秃退惴軜?gòu)，可以起到事半功倍的效果。

6總結(jié)與展望

貝葉斯統(tǒng)計方法及其在機器學(xué)習(xí)領(lǐng)域的應(yīng)用是貝葉斯學(xué)習(xí)的重要研究內(nèi)容。因為貝葉斯理論的適應(yīng)性和可擴展性使得貝葉斯學(xué)習(xí)得到廣泛的應(yīng)用．非參數(shù)貝葉斯方法和正則化貝葉斯方法極大地發(fā)展了貝葉斯理論，使其擁有更加強大的生命力。

近年來，大數(shù)據(jù)貝葉斯學(xué)習(xí)成為人們關(guān)注的焦點，如何加強貝葉斯學(xué)習(xí)的靈活性以及如何加快貝葉斯學(xué)習(xí)的推理過程，使其更加適應(yīng)大數(shù)據(jù)時代的挑戰(zhàn)成為人們考慮的問題。在這一時期許多新的方法和理論將被提出，貝葉斯學(xué)習(xí)也與其他許多方面的知識相結(jié)合，如并行計算、數(shù)據(jù)科學(xué)等，產(chǎn)生很多新的成果?？梢灶A(yù)想，貝葉斯學(xué)習(xí)肯定會有更多更新更好的成果，也會在將來有更廣泛的應(yīng)用。