基于FPGA的數(shù)字信號處理——浮點數(shù)

科學計數(shù)法

你可能不了解「浮點數(shù)」，但你一定了解「科學記數(shù)法」。

10進制科學記數(shù)法把一個數(shù)表示成a與10的n次冪相乘的形式（1≤|a|<10，a不為分數(shù)形式，n為整數(shù)），例如：

19970000000000 = 1.997 × 10 ^ 13

原本的 19970000000000 表示共需要14位。使用科學計數(shù)法后，小數(shù)部分 1.997 的表示需要4位，指數(shù)部分 13 需要2位，則一共只需要 4+2 = 6 位即可表示這個原本看上去很多很長的數(shù)。

小數(shù)也可以使用科學計數(shù)法來表示，例如：

0.0000001586 = 1.586 × 10 ^ -7

原本的 0.0000001586 表示共需要11位。使用科學計數(shù)法后，小數(shù)部分 1.586 的表示需要4位，指數(shù)部分 -7 需要2位（符號位也占一位），則一共只需要 4+2 = 6 位即可表示該數(shù)。

設想我們現(xiàn)在設計了這么一種格式，它表示的是一種10進制的科學計數(shù)法。為了說明簡單，我們不考慮指數(shù)為負數(shù)和數(shù)值為負數(shù)的情況。它一共有8位，每一位都由10進制數(shù)字0~9組成，前6位表示小數(shù)部分，后2位表示指數(shù)部分。例如：

數(shù)字 12345603 ，它表示的值是 1.23456 × 10 ^ 3 = 1234.56

數(shù)字 12345678 ，它表示的值是 1.23456 × 10 ^ 78 = （一個很大的數(shù)）

所以，當我們要表示或運算某個較大或較小且位數(shù)較多的數(shù)時，用科學記數(shù)法會更加方便。

在關于定點數(shù)的這篇文章《什么是定點數(shù)？》中，我們談到了什么是「定點數(shù)」。簡而言之，定點數(shù)就是小數(shù)點表示固定的數(shù)。那么對應的，「浮點數(shù)」是不是就是小數(shù)點不固定？是浮動的？

恭喜你答對了。

「浮點數(shù)」一詞，來自英文「float point number」，即「浮動小數(shù)點的數(shù)」。和上面所說的科學計數(shù)法類似，它們的小數(shù)點位置都是浮動的。

和10進制的科學計數(shù)法一樣，2進制數(shù)也可以表示成類似的形式，例如：

101.875（D） = 1100101.111（B） = 1.100101111 * 2^6

所以只需要約定好一定的位數(shù)來表示小數(shù)部分，一定的位數(shù)來表示指數(shù)部分，就可以完整地表示一個二進制數(shù)。如何定義這些細節(jié)是個傷腦筋的問題，而且要命的是，如果我定義的標準和同事的標準不一致，那么該聽誰的？

好在IEEE（電氣與電子工程師協(xié)會，Institute of Electrical and Electronics Engineers）幫我們把這些工作都給做了，現(xiàn)在通用的浮點數(shù)算術標準是「IEEE 754」。

浮點數(shù)格式

IEEE 754 規(guī)定了兩種常用的浮點數(shù)格式：

單精度型，也叫32位型，或者float

雙精度型，也叫64位型，或者double

因為這兩種格式的表示規(guī)則是類似的，只是位寬不一樣，了解了其中一種后，就可以快速掌握另一種，所以下文主要介紹 float 類型的浮點數(shù)表示方法。

float類型

float 占用 32 位的存儲空間，32 位被分為了如下的三個部分：

符號位s：sign，符號位為 0 說明該浮點數(shù)為正數(shù)，若為 1 則說明浮點數(shù)為負數(shù)

階碼E：exponent，代表該浮點數(shù)被二進制科學表示法規(guī)范化后的指數(shù)，階碼采用移碼表示

尾數(shù)M：mantissa，被二進制規(guī)約化后要求小數(shù)點前一位數(shù)必須為 1，所以尾數(shù)中實際隱含了最高位 1，例如尾數(shù)為 M，則實際在還原時，相當于是 1.M

（1）關于尾數(shù)M

尾數(shù)是用來表示精度的，因為一個數(shù)的表示其實是有多種方法的，例如：

314（D） = 3.14 × 10 ^ 2 = 31.4 × 10 ^ 1

1011（B） = 1.011 × 2 ^ 3 = 10.11 × 2 ^ 2 = 101.1 × 2 ^ 1

所以需要對小數(shù)部分的表示做出規(guī)定，為此標準規(guī)定小數(shù)部分需要簡化到「小數(shù)點左邊只有一位非0數(shù)」的形式。即規(guī)定：

314（D） 只能表示為 3.14 × 10 ^ 2 ，而不能表示為 31.4 × 10 ^ 1 或其他形式

1011（B） 只能表示為 1.011 × 2 ^ 3 ，而不能表示為 10.11 × 2 ^ 2，也不能表示為 101.1 × 2 ^ 1 或其他形式

因為10進制的非0數(shù)有1~9共9個，所以小數(shù)點最左邊這位是不能省略掉的；但是2進制數(shù)的非0數(shù)只有1這個，所以小數(shù)點最左邊的非0位可以被省略，例如：

1011（B） = 1.011 × 2 ^ 3 ，小數(shù)部分雖然為1.011，但是可以省略為.011，即011

這樣就可以多表示一位信息。float的尾部部分（即小數(shù)部分）定義了23位，因為省略了一個最前面的 1 ，所以它是表示的其實是24位信息。

（2）關于階碼E

階碼是用來表示范圍的。float定義了8位數(shù)的階碼，所以它的表示范圍是0~256（2的256次方）。這種定義有個問題就是無法表示負指數(shù)，將其定義為有符號數(shù)是個不錯的解決辦法，但隨之而來的問題是–比較兩個階碼時不方便。

做兩個有符號數(shù)的某些運算（例如加法）時，首先需要比較二者的階碼大小，然后對其中一個數(shù)的階碼和尾數(shù)進行調整。例如：

計算 （3.14 × 10 ^ 2） + （1.56 × 10 ^ 3）的值時，首先需要比較二者的階碼大小，然后對其中一個數(shù)進行調整，將（1.56 × 10 ^ 3）重新表示為（15.6 × 10 ^ 2），然后尾數(shù)部分相加 3.14 + 15.6 = 15.914，即結果為15.914 × 10 ^ 3，再調整階碼將其規(guī)范化，15.914 × 10 ^ 3 = 1.5914 × 10 ^ 4

可以看到，運算其中一個重要的環(huán)節(jié)就是對兩個數(shù)的階碼大小進行對比。如果2個階碼是一正一負，那么對比二者的大小還需要考慮符號位，這樣就會增加額外邏輯。如果將階碼都加上同一個數(shù)，使二者均為正數(shù)，那么對比大小就方便很多了。

標準是這樣規(guī)定的：階碼的值需要加一個偏移量 127 （至于為什么移127不移128，我也不清楚，如果你知道可以告訴我）。例如：

1.011 × 2 ^ 3的原始階碼是3，按規(guī)定加上127后等于130，存儲到8位空間，即為 1000 0010

光說不練云玩家，接下來看看如何實現(xiàn)浮點數(shù)與10進制數(shù)之間的轉換。

（1）將10進制數(shù)轉換為float類型的浮點數(shù)

將 228 轉換為浮點數(shù)的流程如下：

是正數(shù)，即符號位為0

把10進制轉成2進制：228（D）=11100100（B）

寫成規(guī)范化形式：11100100 = 1.11001 × 2 ^ 7

指數(shù)為7，階碼要加上偏移量127，即E = 7 + 127 = 134（D）= 1000 0110（B）

小數(shù)部分為1.11001，最前面的1是可以被隱含表示的，所以尾數(shù)M = 0.11001 = 11001，因為尾數(shù)一共有23位，所以需要在低位補0直到滿足位寬要求，即 11001000000000000000000

最終結果為：0 10000110 11001000000000000000000

這里有一個浮點數(shù)轉換網站，可以查詢正確結果。

（2）將float類型的浮點數(shù)轉換為10進制數(shù)

將 40490000 （16進制）轉換為10進制數(shù)的流程如下：

將其轉換為2進制，40490000 = 0100 0000 0100 1001 0000 0000 0000 0000，然后分別獲取符號、階碼和尾數(shù)。

最高位的符號位為0，說明是一個正數(shù)

接下來的8位是階碼 10000000（即128），因為加上了偏移量127，所以指數(shù)的實際值是128 - 127 = 1。

剩余的23位是尾數(shù)10010010000000000000000，即0.1001001，再加上默認的前導1，所以小數(shù)部分的值為1+0.1001001 = 1.1001001

該數(shù)的2進制值為 1.1001001 × 2 ^ 1 = 11.001001，將其轉化成10進制數(shù)11.001001（B）= 3. 140625。（這里的轉化有個簡便方法，11.001001可以看做是11001001除以2的6次方即64，而11001001也就是201，即201/64 = 3.140625 ）

這是網站轉換的結果，和我們換算的結果一致。

double類型

double占用 64 位的存儲空間，64 位被分為了如下的三個部分：

這三部分的定義是和float類型一致的，只是位寬不同。需要注意的是，由于位寬的變化，所以double的階碼的偏移值不再是127，而是 1023。

除了這兩種較為常用的類型外，其實IEEE754還規(guī)定了幾種其他類型，但是都不太常用，所以不贅述了。

非規(guī)約化

當階碼E不全為0，也不全為1時，該浮點數(shù)稱為規(guī)約化（normal）形式。上面介紹的都是規(guī)約化形式的浮點數(shù)。當階碼E全為0時，該浮點數(shù)稱為非規(guī)約化（subnormal）形式。根據尾數(shù)的不同，可再分為2種形式：

尾數(shù)M為全 0 時，表示 0 ，視符號位而定是+0還是-0（二者在某些場景有區(qū)別）

尾數(shù)M不全為 0 時，表示非規(guī)約化小數(shù)

非規(guī)約化小數(shù)的定義和規(guī)約化小數(shù)之間存在如下區(qū)別：

規(guī)約化小數(shù)的尾數(shù)約定了含有一個隱藏的前導1，也就說真正表示的值是1.xxx；而非規(guī)約化小數(shù)的尾數(shù)則約定含有一個隱藏的前導0，即真正的值為0.xxx。

規(guī)約化小數(shù)的階碼需要加一個偏移量127，而非規(guī)約化小數(shù)的階碼需要加一個偏移量 126

非規(guī)約化小數(shù)可以用來表示那些非常小的接近0的數(shù)。

特殊值

除此之外，還規(guī)定了一些特殊值的表示方法：

如果階碼為全1，且尾數(shù)為全0時，表示無窮。符號位為0則是正無窮，符號位為1則是負無窮。兩個很大的數(shù)相乘，或者除以零時，無窮可以表示 溢出 的結果。

如果階碼為全1，且尾數(shù)不為全0時，為NaN（not a number），表示這不是一個合法實數(shù)。一些運算的結果不是合法值，就會返回NaN這樣的結果，例如對-1開平方（√-1）

對于以上情況（針對float類型），可以總結如下：