看得懂的傅立葉變換

說起傅立葉變換，大部分科班出身的都上過課，但真正深入理解的，很少，用的起來的，就更少了。

傅立葉變換，本質(zhì)上就是用一組特征量來對一個(gè)信號的一種描述。比如我們描述一個(gè)人，就是把一個(gè)人從地球上70億人口唯一的表達(dá)出來，于是我們引入了一組特征量：

1、國籍，這樣就約束在中國12億人口內(nèi)了

2、省份，大概約束在1億以內(nèi)了

3、縣市，千萬級別了

4、鄉(xiāng)鎮(zhèn)，最多也就是百十萬

5、街道，那就是以萬、千為記了

6、門牌號，就剩下一口幾個(gè)人了

7、姓名

這個(gè)就是，它唯一的表達(dá)了一個(gè)有限量70億分之一。

那么還有其他的表達(dá)方式，用來描述這個(gè)人，比如喬布斯，就問70億人，誰是喬布斯，大家都是知道，設(shè)計(jì)iPhone的那個(gè)人。但對于一般人來說，我們常用的是，身材、臉型，這些就可以把他從70億里面明確出來了

所以確定一個(gè)人，一個(gè)70億分之一的人，方法有很多種，如從地域區(qū)分、相貌區(qū)分、能力區(qū)分、口音區(qū)分、貢獻(xiàn)區(qū)分等等，可以有無限多種方式。

那么我們就明白了一點(diǎn)，一個(gè)信號，只要它是有限的，同樣，也是可以如同人一樣，可以有很多的方式表達(dá)它的，并且能夠表達(dá)它的唯一性，那么這個(gè)就要從數(shù)學(xué)上推理，跟人類比

1、一個(gè)信號，它必須是有限量的，若它是無限的，那么誰都描述不了，所以我們要描述的，都是具體的有限的信號。

2、必須要有一套可以用來描述這個(gè)信號的一系列的完備的（數(shù)學(xué)上往往是無限的）、獨(dú)立不相關(guān)的特征，因?yàn)槲覀円枋龅氖侨我庖粋€(gè)人，而不是喬布斯，所以必須要有一整套的特征體系。那么從數(shù)學(xué)上，就要構(gòu)建一套這樣的特征信息出來，其中，cos（nwt）、sin(nwt),n從1到無窮，這一套三角函數(shù)，就完備的滿足了條件。需要注意的是，數(shù)學(xué)上必須要證明這些cos(nwt)和sin(nwt)組合起來的三角函數(shù)系必須能夠描述任意的曲線，這個(gè)就是靠高數(shù)里面的級數(shù)展開證明的。

3、把信號與參考的這整套特征比對，把信號在這套特征上的分量都表示出來即可，這個(gè)就如同三維坐標(biāo)，一個(gè)點(diǎn)投影在其上面，于是就有了X、Y、Z三個(gè)坐標(biāo)，只是三維坐標(biāo)是一套有限的直角坐標(biāo)，現(xiàn)在換成了一套無限的三角函數(shù)坐標(biāo)罷了。

4、三角函數(shù)坐標(biāo)，是傅立葉先發(fā)明的，所以以他的名字來命名。

最后結(jié)論，傅立葉變換本質(zhì)上就是一個(gè)有限的信號量在無限維三角坐標(biāo)系下的投影，因?yàn)樾盘柌皇且粋€(gè)點(diǎn)，而是一個(gè)曲線，所以不能以有限的直角坐標(biāo)來描述。

現(xiàn)在流行的3G的擴(kuò)頻，采用了另外一套數(shù)字化的坐標(biāo)，類似傅立葉變換，叫沃爾什函數(shù)，今后將在GSM與CDMA區(qū)別中介紹。