動(dòng)能定理公式的理解與推導(dǎo)

動(dòng)能定理的概念

動(dòng)能具有瞬時(shí)性，是指力在一個(gè)過程中對(duì)物體所做的功等于在這個(gè)過程中動(dòng)能的變化。動(dòng)能是狀態(tài)量，無負(fù)值。

合外力（物體所受的外力的總和，根據(jù)方向以及受力大小通過正交法［1］能計(jì)算出物體最終的合力方向及大?。?duì)物體所做的功等于物體動(dòng)能的變化。即末動(dòng)能減初動(dòng)能。

動(dòng)能定理一般只涉及物體運(yùn)動(dòng)的始末狀態(tài)，通過運(yùn)動(dòng)過程中做功時(shí)能的轉(zhuǎn)化求出始末狀態(tài)的改變量。但是總的能是遵循能量守恒定律的，能的轉(zhuǎn)化包括動(dòng)能、勢能、熱能、光能（高中不涉及）等能的變化。

動(dòng)能定理公式的理解與推導(dǎo)

推導(dǎo)過程分析：

（1）確定研究對(duì)象，研究對(duì)象可以是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)（單體）也可以是一個(gè)系統(tǒng)。

（2）分析研究對(duì)象的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況，是否是求解“力、位移與速度關(guān)系”的問題。

（3）若是，根據(jù)動(dòng)能定理ΔW=ΔE列式求解。

處理多過程問題：

應(yīng)用動(dòng)能定理處理多過程運(yùn)動(dòng)問題關(guān)鍵在于分清整個(gè)過程有幾個(gè)力做功，及初末狀態(tài)的動(dòng)能，采用動(dòng)能定理處理問題無需考慮其具體的運(yùn)動(dòng)過程，只需注意初末狀態(tài)即可，求往復(fù)運(yùn)動(dòng)的總路程及次數(shù)問題，若用牛頓定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解，必須用數(shù)列求和的方法，但對(duì)于其中的某些問題求解，如用動(dòng)能定理求解，可省去不少復(fù)雜的數(shù)學(xué)推演，使解題過程簡化。

推導(dǎo)步驟：

對(duì)于勻加速直線運(yùn)動(dòng)有：

由牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律得，

①

勻加速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律有，

②

①×②得，

外力做功，記

即

對(duì)于非勻加速直線運(yùn)動(dòng)，

進(jìn)行無限細(xì)分成n段，于是每段都可看成是勻加速直線運(yùn)動(dòng)（微元法思想）

對(duì)于每段運(yùn)動(dòng)有，

W1=Ek1-Ek0

W2=Ek2-Ek1

……

Wn=Ekn-Ek（n-1）將上式全部相加得

推導(dǎo)完畢

應(yīng)用動(dòng)能定理解題的基本步驟

用動(dòng)能定理解題的基本步驟可用六句話十八字概括，即定對(duì)象、明過程、力分析、表達(dá)功、列方程、解后析．

應(yīng)用動(dòng)能定理解題的關(guān)鍵

從動(dòng)能定理表達(dá)式不難看出，應(yīng)用動(dòng)能定理解題關(guān)鍵是在方程的左邊，即各個(gè)力做功的代數(shù)和，為此除了知道物體受幾個(gè)力外，更主要的是掌握各個(gè)力做功的特點(diǎn)及功的大小的求解方法．有關(guān)幾種力做功的特點(diǎn)及求解方法總結(jié)如下：

1）重力、電場力等保守力做功與移動(dòng)的路徑無關(guān)，只與始末2個(gè)位置有關(guān)．如重力做功只與始末位置高度差有關(guān)；

2）方向始終與速度方向垂直的力不做功．典型代表如豎直平面內(nèi)的細(xì)繩或輕桿拴住的物體做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，細(xì)繩或輕桿的彈力不做功．物體在接觸面上動(dòng)時(shí)接觸面的彈力以及帶電粒子在磁場中所受的洛倫茲力同樣不做功（此結(jié)論可用微元法證明）；

3）大小不變，方向始終與速度方向相反的力，典型如摩擦力或空氣阻力等，其做功等于一F路，式中s路表示物體走過的總路程，注意是總路程而非總位移！（此結(jié)論同樣可用微元法證明）

4）同一根繩或輕桿對(duì)與之相連的物體做功之和一定為零．該結(jié)論在解決系統(tǒng)機(jī)械能守恒問題時(shí)非常有效；

5）一對(duì)靜摩擦力做功之和一定為零（意味著靜摩擦力做功不會(huì)產(chǎn)生熱力學(xué)能）．一對(duì)滑動(dòng)摩擦力做功之和一定為負(fù)（意味著滑動(dòng)摩擦力做功一定會(huì)產(chǎn)生熱力學(xué)能）。

動(dòng)能定理解題例題

如圖1所示，質(zhì)量為m的物體與水平轉(zhuǎn)臺(tái)之間的動(dòng)摩擦因素為，物體與轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)軸相距為R，物圖l體隨轉(zhuǎn)臺(tái)由靜止開始轉(zhuǎn)動(dòng)．當(dāng)轉(zhuǎn)速增加到某值時(shí)，物體即將開始滑動(dòng)，在這一過程中，摩擦力對(duì)物體做的功是（）

解析：物體受到的摩擦力提供物體做圓周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力、，顯然其大小及方向均發(fā)生變化，故屬于一般變力，其做功的求解只能用動(dòng)能定理．當(dāng)物體將要開始滑動(dòng)時(shí)，說明物體受到的摩擦力達(dá)到，2最大值．由向心力方程得再由動(dòng)能定理（物體受三個(gè)力，其中只有摩擦力做功）得兩式聯(lián)立解得，答案選A．

借題發(fā)揮：

應(yīng)用動(dòng)能定理求解變力做功要注意的問題；①所求的變力不一定為總功，所以所求的變力的功不一定等于AE；②合力對(duì)物體所做的總功對(duì)應(yīng)物體動(dòng)能的變化，而不是對(duì)應(yīng)物體的動(dòng)能；③若有多個(gè)力做功，必須明確各力做功的正負(fù)．待求的變力的功若為負(fù)功，可以說克服該力做功為W，則表達(dá)式中應(yīng)用一W，也可以設(shè)變力的功為W，則字母w本身含有負(fù)號(hào)．④動(dòng)能定理雖然是通過恒力作用、直線運(yùn)動(dòng)推導(dǎo)出來的，但也適用于變力作用、曲線運(yùn)動(dòng)的情況．

應(yīng)用動(dòng)能定理求解往復(fù)運(yùn)動(dòng)的總路程（應(yīng)用動(dòng)能定理求解多過程問題）

對(duì)大小不變，方向始終與速度方向相反或相同的力如滑動(dòng)摩擦力、空氣阻力等，當(dāng)物體做往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)其做功等于力與物體走過的路程的乘積．根據(jù)該特點(diǎn)可求解物體走過的總路程。